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圆柱的体积
圆柱的体积
福建省沙县城关第三小学吴细仔
教学内容:
北师大版第十二册第8页——第9页圆柱的体积
教材及学情分析及教学:
圆柱与圆锥是小学阶段学习的空间与图形的最后一部分。
这部分内容例来是学生学习空间与图形的难点,对学生的空间思维又是一次挑战。
这节课是在学生已掌握了圆、圆柱和长方体的有关知识的基础上进行教学的。
学生已理解了体积的意义,已经几次接触过“转化”的思想方法,对“转化”思想已经有一定的基础。
教学目的:
1、让学生经历提出问题——猜想验证——解决问题等数学活动过程数学活动过程,理解圆柱体积计算公式的推导过程,会正确地计算圆柱的体积。
2、在图形的变换中,培养学生的迁移能力、逻辑思维能力,并进一步发展其空间观念,领悟学习数学的方法。
3、引导学生探索问题和解决问题,体验转化和极限的思想。
教学重、难点:
经历圆柱体积公式推导的过程
课前准备:
教学课件、圆柱体切拼成近似长方体的实物教具
教学过程:
一、提出问题,激疑引入
师谈话:
今天老师带来了两样物品,请看:
出示圆柱形水杯和圆柱形橡皮泥,问:
观察一下,它们有什么共同点?
以这两个物品为例,你能提出哪些数学问题?
生提问题。
师板书:
水杯的容积是多少?
橡皮泥的体积是多少?
问:
用我们以前学过的知识和方法,你能解决这两个问题吗?
生思考解决。
师强调转化。
板书:
转化
[设计意图:
进一步对学生渗透转化的数学思想方法,让学生进一步感受一个形体形状变化了,但体积不变。
这是实现由形的转化过渡到体的转化做必要的铺垫。
]
过渡激疑:
是不是有了这些方法所有的圆柱形物体的体积都能解决了呢?
出示压路机的前轮,和大厅的圆柱形柱子,问:
要求它们的体积用刚才同学样想出的办法行吗?
这节课这们来研究解决求任意圆柱体体积的方法。
板书课题:
圆柱的体积
[设计意图:
制造知识冲突,引发学生思考,引入新课]
二、经历体验,探究新知
1、回顾旧知,帮助迁移。
(1)猜想:
①圆柱的体积与圆柱的什么条件有关?
你是怎么想的?
生小组讨论
师课件演示:
等高的两个圆柱,底不积不同,体积显然不同
等底的两个圆柱,高不同,体积也显然不同
小结,圆柱的体积可能和底面积与高有关
②圆柱的体积与它的底面积和高有什么关系呢?
(有的学生可能已经知道底面积乘以高)
你想用什么办法来找出它的体积也它的底面积和高的关系?
(或问:
你想用什么办法来验证它的体积等于底面积乘高?
)
生思考后交流——转化成学过的形体
③圆柱体可能可以转化成什么图形来求它的体积?
你是怎么想到的?
在我们以往的学习中遇到过类似的问题吗?
我们是怎样解决的?
请举例?
)
(2)回忆旧知:
学生主动回忆学习圆的面积时,怎样将圆转化成已学习图形,来推导出圆面积公式的?
配合学生回答课件演示
[设计意图产:
通过这些问题,迫使学生主动回忆旧知,通过圆面积推导过程的再现,为实现经验和方法的迁移做好铺垫。
]
2、小组合作,探究新知。
(1)我们怎么把圆柱体转化成长方体?
(启发:
不能捏,不能倒,得怎么把圆柱体转化成长方体呢?
启发学生想到切与拼)
通过学生议论得出:
把圆柱的底面积分成许多相等的扇形,然后圆柱切开,再把它拼起来,就转化成近似的长方体了。
(2)小组合作操作体验
生小组合作,把圆柱体切拼成体积相等的长方体
生操作后小组之间交流
拼成的长方体是近似的长方体还是长方体?
(生已有圆剪拼成长方形的经验,已经初步体会过极限思想)
课件演示:
分的份数从少到多一直到无数份,从近似的长方体一直到长方体
生操作拼组交流后问:
①把圆柱转化成长方体后,什么不变?
什么变了?
②圆柱与所拼成的长方体之间有什么联系?
学生小组汇报交流:
把圆柱转化成近似的长方体后,近似长方体的体积等于圆柱的体积;近似长方体的高就是圆柱的高。
根据长方体的体积等于底面积乘高,得出圆柱体的体积也等于底面积乘高。
(学生汇报课件动态演示。
)
板书:
长方体的体积=底面积×高
圆柱体的体积=底面积×高
V=Sh
[设计意图:
通过猜想,小组合作,操作及课件演示,让学生从形象具体的知识形成过程中抽象出圆柱的体积公式。
同时对学生渗透极限的思想。
]
三、实践应用,巩固新知
运用公式,尝试解答
出示例1:
一根圆柱形钢材,底面积是50平方厘米,高是2.1米,它的体积是多少?
实践应用,解决问题
1、提供创设情境中圆柱形容器的内底面和水面的高,求出水的体积。
2、压路机前轮是圆柱形,轮宽2.5米,直径2米,它的体积是多少立方米?
3、出示大厅里的圆柱形的柱子图,问:
要知道这根柱子的体积,应测量哪些数据较方便?
请求出它的体积。
[及时练习,从生活来到生活中去,用自己探究的知识解决课前提出的问题,体会成功的喜悦,体验数学与生活的密切联系。
]
四、全课总结:
这节课我们探究了什么问题?
你有什么收获?
课后反思:
《圆柱的体积》无论是新教材还是老教材,无论哪个版本的教材都安排了这一教学内容,很多老师公开课也都上过这节课。
这节课,结论很简单,就是底面积乘以高,其实很多学生已经知道这一结果。
这一点我有心理准备,本节课我的出发点是根据2011版课标要求,夯实学生的四基。
以问题为主线,让学生经历提出问题,猜想验证,解决问题的过程。
理解圆柱体积公式的推导过程。
体会从多角度解决问题。
纵观整节课的教学全过程,我感觉本节课基本达到了我预期的教学目标。
反思本课教学,总结出以下得失。
一、教学过程中,比较注重数学知识形成的严密性与逻辑性,教学过程的思路比较清晰。
整节课的基本思路:
猜想圆柱的体积和什么条件有关,和这些条件有什么关系,怎样验证这种关系。
启发转化,回顾转化,为什么要转化?
可能可以转化成什么形体?
怎样转化成需要的形体?
学生动手操作。
之后就是借助计算长方体的体积,从多角度推导出圆柱的体积公式。
二、教学过程中比较注重夯实学生的“四基”。
即基本知识,基本技能,基本思想方法,基本活动经验。
教学中,教学步骤设计得比较细,目的让学生对知识的形成,对转化的思想,对猜想验证操作交流等数学活动经验有较深刻的体验。
三、给学生比较充分的数学活动的时间。
教学过程,以问题为主线,让学生经历提出问题,猜想验证,解决问题的过程。
理解圆柱体积公式的推导过程。
体会从多角度解决问题。
在圆柱转化成长方体过程中,让全体学生亲手操作,亲身体验,从同桌合作,到小组合作,充分利用学具的优势,引导学生观察,比较,归纳,总结。
四、注重数学与生活实际的联系,整节课做到从生活中来到生活中去。
整节课首尾呼应,课始提出疑问,课末解决问题,解决疑问。
练习比较生活化,有一定的层次性,。
出示压路机和大厅,让学生求出压路机前轮和大厅圆柱形柱子的体积,给学生设置适当的“障碍”,让学生产生“困惑”与“疑问”,以疑激思,使学生产生探究新知的意向。
课末,在学生经历了圆柱体积公式的推导过程的基础上,让学生解决新课前提出的实际问题,使学生深切地体会到数学知识和生活实际的紧密联系,体会成功的喜悦。
课前的愿望是美好的,但,课中不如人意之处很多很多。
圆柱转化成长方体之后,借助求长方体的体积,导出圆柱的体积公式时,由于时间关系,我没学生充分地表达自己的思考过程,提示过多,自己说的过多。
在比较长方体与圆柱体的关系时,由于课件触发器的操作失误,显得有些忙乱,因此,在比较的引导还不到位。
也由于时间关系,全课总结不到位,基本活动经验的总结不到位。
每次上课总是感觉引导体验与教学时间矛盾,如何正确处理这一矛盾有待和老师们的进上步探讨。
教学实录:
师:
同学们请看,今天老师带来了两样物品,请看[出示两样物品:
橡皮泥、水杯],观察一下,它们有什么共同点?
生:
都是圆柱形的。
师:
对,圆柱形的物体在生活中有很多。
就以这两样为例,你能提出哪些数学问题?
生1:
这个水杯的表面积和容积各是多少?
生2:
橡皮泥的体积是多少?
……
师板书三个本节课研究的问题:
(1)水杯的容积是多少?
(2)橡皮泥的体积是多少?
师:
表面积的问题之前我们已经研究过了,这节课我们来研究圆柱的体积问题。
板书:
圆柱体积
师:
想一想,以你现有的知识和本领,黑板上的这三个问题,你能解决哪一个?
生:
第一个问题很简单,求水杯的容积,可以把水杯装满水,然后把水倒进长方体的玻璃缸里,然后算出水的体积。
师:
同学们觉得他的方法可行吗?
他的回答中有一个字非常关键,谁听出来了?
生:
“满”字。
因为水杯的容积就是指它所容纳的水的体积,所以水必须是满的,半杯水不能代表水杯的容积。
师:
求水杯的容积,可以把圆柱形水杯装满水,然后把水倒进长方体的玻璃缸里,然后算出水的体积。
师:
现在我们回顾一下长方体的体积应该怎么求?
生1:
长方体的体积=长×宽×高
生2:
长方体的体积=底面积×高
生3:
长方体的体积=横截面积×长
师:
说的好。
这其实是运用了我们数学上一种很重要的思想方法,是什么?
生:
转化。
师:
在这个转化的过程中,水的什么变了,什么没有变?
生:
水的形状变了,体积没有变。
师:
这一点很关键。
来,我们继续交流。
生:
求橡皮泥的体积,可以把橡皮泥揉成长方体或正方体形状的,再算出它的体积。
师:
这也是运用了转化的方法,把什么转化成了什么?
生:
把圆柱转化成长方体。
师:
嗯,两个问题迎刃而解了。
同学们真了不起,根据两种物体的不同特点,巧妙地运用了转化,找到了解决问题的不同方法。
有了这些方法,是不是就可以解决所有有关圆柱体积的问题呢?
师:
(出示压路机前轮和大厅的柱子)要求它们的体积用刚才同学样想出的办法行吗?
生:
不行。
师:
看来这些方法实际运用起来还有很大的局限性,因此,我们需要寻找一种更简便、通用的圆柱体体积的计算方法,是吧?
生:
是
师:
那么你来猜测一下,圆柱的体积可能与什么有关?
生:
底面积和高。
师:
你的猜测有依据吗?
(师根据学生的回答进行课件演示:
两个圆柱高相等,底面积大的,体积显然更大;两个等底面积的圆柱,更高的一个体积显然更大。
)
师:
看来圆柱的体积的确与它的底面积和高有关系。
那么,圆柱的体积与它的底面积和高究竟有什么关系呢?
生:
圆柱体积=底面积×高
师:
(板书这一公式,并写上问号)这只是我们的猜测,是否正确还要加以验证。
怎样才能验证我们的想法是否正确呢?
生:
把圆柱转化成长方体就可以计算出来了
师:
你的这种灵感来自哪里?
生3:
以前学习圆形的面积计算公式时,把圆形转化成了近似的长方形,所以我想把圆柱体转化成长方体。
师:
(演示圆转化成长方形求圆的面积)这种方法叫……?
生:
化曲为直,化圆为方
师:
太棒了,同学们。
我们怎么把圆柱转化成长方体呢?
不能捏,不能倒,那怎么转化呢?
生:
(思考,讨论后)用切和拼,把圆柱沿着直径和高竖着切成若干等份,然后拼近似的成长方体。
师:
(课件演示)同学们你们也想到这种办法了吗?
他说的是不是这样切,怎样拼?
现在请同学们小组合作,就用这种方法来试试看,好吗?
请同学们拿出学具,拼一拼,看一看。
(师展示拼成的长方体)
师:
现在请同学们以小组为单位,认真观察拼成的长方体对照原来的圆柱体想一想:
①把圆柱转化成长方体后,什么不变?
什么变了?
②圆柱与所拼成的长方体之间有什么联系?
你发现了什么?
(3)由此,你能得出怎样的结论?
[学生操作,组内讨论,师巡视指导]
师:
哪位同学愿意上来交流一下,你是怎么想,怎么做的?
生边操作边交流:
把圆柱平均分成16份,拼成一个长方体,长方体的底面积等于圆柱的底面积,长方体的高等于圆柱的高。
长方体的体积=底面积乘高,所以;圆柱体的体积也等于底面积乘高。
师:
听明白了吗?
谁还有问题或是需要补充的地方?
生:
我们发现长方体的长等于圆柱体底面周长的一半,长方体的宽等于圆柱体的高,长方体的高就是圆柱体的底面半径。
师:
然后呢?
你们得出了怎样的结论?
生:
最后也能推导出圆柱体的体积等于底面积乘高。
师:
嗯,非常棒,殊途同归,再次验证了我们的猜想是正确的。
好,让我们共同来回顾一下这个过程:
[播放课件,演示圆柱分别被平均分成16份拼接成的近似长方体]
师:
这里有一个问题大家注意到了没有?
这样拼接成的只是一个近似的长方体,并不是标准的长方体呀?
生:
那是因为我们切的块太大了,要是使劲分,切成很细很细的小条,就跟长方体一样了。
师:
是这样吗?
让我们一起来看一下。
[继续播放等分成32、64等份后的效果]
师:
还能继续分吗?
想像一下,这样无限地分下去,会怎样?
生:
越来越接近长方体了。
师:
好,继续。
[结合课件演示、总结并板书相关内容:
长方体体积=圆柱的体积,长方体的底面积与圆柱的底面积相等,长方体的高与圆柱的高相等。
长方体的体积=底面积×高,所以圆柱的体积=底面积×高]
师:
由此证明,我们的猜想是正确的[擦除公式后的“?
”]。
那么用计算法求圆柱体积时,只要知道什么就可以了?
生1:
底面积和高。
师:
那么,你现在会用计算法求圆柱体体积了吗?
试试看。
出示例1:
一根圆柱形钢材,底面积是50平方厘米,高是2.1米,它的体积是多少?
生练习,汇报。
师:
现在大家能求出刚才看到的这个压路机前轮的体积了吗?
出示:
压路机前轮是圆柱形,轮宽2.5米,直径2米,它的体积是多少立方米?
生:
练习,汇报。
师:
出示大厅的柱子,问:
要知道这根柱子的体积,应测量哪些数据较方便?
请求出它的体积。
生:
思考后,量出柱子的底面周长和高可以求出柱子的体积
师:
出示:
这根柱子的底面周长是125.6厘米,高4米,求出它的体积
生:
计算后汇报。
师:
这节课,你有哪些收获?
生1:
我学会了计算圆柱体体积的方法。
生2:
我发现圆柱体的体积跟长方体、正方体一样,都是用底面积乘高,记一个公式就行了。
师:
听出来了吗同学们?
他发现了一个规律,既然三个立体图形的体积计算方法有共同之处,说明它们三个必然有共同的特点,是什么?
生3:
正方体、长方体、圆柱体都是上下一样的,中间没有凸出来,也没有凹下去的地方。
师:
同意吗?
[课件出示:
长方体、正方体和圆柱体],像这样的形状我们叫它“直柱体”。
生活中,还能找到哪些物体是直柱体的?
生1:
小熊饼干的包装盒,上下两个面是正六边形的。
生2:
还有那种两头是三角形的铁。
生3:
水库大坝的两头是梯形的。
[师随着学生的回答,依次画出相应的形状]
师:
猜猜看,它们的体积怎样算?
生:
都是“底面积×高”。
师:
嗯,猜想的对不对,还是需要验证?
有兴趣的同学不妨试一试。
课后评议:
一、教学内容处理科学得当,教学过程层次清楚,富有条理性和逻辑性,能促使学生主动学习。
二、教学过程以猜想、操作、验证、应用为主线,让学生经历观察、操作、讨论等数学活动过程,经历知识形成的过程。
三、教学过程中,注重数学思想方法的渗透,注重引导学生利用旧知引出新知。
四、注重数学与生活实际的联系,让学生从生活中来到生活中去。
课始,出示压路机和大厅,让学生求出压路机前轮和大厅圆柱形柱子的体积,给学生设置适当的“障碍”,让学生产生“困惑”与“疑问”,以疑激思,使学生产生探究新知的意向。
课末,在学生经历了圆柱体积公式的推导过程的基础上,让学生解决新课前提出的实际问题,使学生深切地体会到数学知识和生活实际的紧密联系。
但,转化过程的启发引用的例子过多,在小组合作中,讨论题:
①圆柱与所拼成的长方体之间有什么联系?
这个问题问的太泛,最好改成:
拼成的近似长方体的长与圆柱有什么联系?
宽与圆柱有什么联系?
这样学生讨论的目标更明确。
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