湖南省届高三六校联考试题数学理科含答案解析.docx
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湖南省届高三六校联考试题数学理科含答案解析
湖南省2019届高三六校联考试题
数学(理科)
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
时量120分钟,满分150分。
答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.作答选择题,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
作答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束时,监考员将题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.复数z满足(1+i)z=,则z=
A.2+2iB.1+2iC.1-2iD.2-2i
2.已知集合A=,则∁RA=
A.[-3,1)B.(-∞,-3)∪[1,+∞)
C.(-3,1)D.(-∞,-3]∪(1,+∞)
3.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位:
分)进行统计得到如下折线图,下面是关于这两位同学的数学成绩分析.
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,故平均成绩为130分;
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间[110,120]内;
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关;
④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.
其中正确的个数为
A.1B.2C.3D.4
4.如图是一个几何体的三视图,且这个几何体的体积
为8,则俯视图中三角形的高x等于
A.2B.3C.4D.1
5.已知f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=-,则函数在x=-1处的切线方程是
A.2x-y-1=0B.x-2y+2=0C.2x-y+1=0D.x+2y-2=0
6.如图,在矩形OABC中的曲线分别是y=sinx,y=cosx的一部分,A,C(0,1),在矩形OABC内随机取一点,若此点取自阴影部分的概率为P1,
取自非阴影部分的概率为P2,则
A.P1>P2B.P1 C.P1=P2D.大小关系不能确定 7.已知△ABC中,AB=2,AC=3,∠A=60°,AD⊥BC于D,=λ+μ,则= A.6B.3C.3D.2 8.已知双曲线C: -=1(a>0,b>0),以点P(b,0)为圆心,a为半径作圆P,圆P与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若∠MPN=90°,则C的离心率为 A.B.C.D. 9.若m,n均为非负整数,在做m+n的加法时各位均不进位(例如: 2019+100=2119,则称(m,n)为“简单的”有序对,而m+n称为有序对(m,n)的值,那么值为2019的“简单的”有序对的个数是 A.30B.60C.96D.100 10.若x1是方程xex=1的解,x2是方程xlnx=1的解,则x1x2等于 A.eB.1C.D.-1 11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,且f(x)在上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1,最小值为-1),则ω的取值范围是 A.B. C.D. 12.已知函数f(x)=ex-ax-1在区间内存在极值点,且f(x)<0恰好有唯一整数解,则a的取值范围是(其中e为自然对数的底数,e=2.71828…) A.B.∪ C.∪D.(e-1,e) 第Ⅱ卷 二、填空题: 本大题共4小题,每小题5分,共20分。 13.已知二项式的展开式中的常数项为-160,则a=________. 14.若实数x,y满足不等式组则目标函数z=3x-y的最大值为________. 15.在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂 直的四棱锥称之为阳马.如图,若四棱锥P-ABCD为阳马,侧棱 PA⊥底面ABCD,且PA=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径 为R,内切球半径为r,则=________. 16.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若c=2b,△ABC的面积为1,则a的最小值为________. 三、解答题: 共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题,共60分。 17.(本小题满分12分) 已知数列{an}中,a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,且对任意的r、t∈N*,都有=. (Ⅰ)判断{an}是否为等差数列,并证明你的结论; (Ⅱ)若数列{bn}满足=2n-1(n∈N*),设Tn是数列{bn}的前n项和,证明: Tn<6. 18.(本小题满分12分) 在Rt△ABC中,∠ABC=90°,tan∠ACB=.已知E,F分别是BC,AC的中点.将△CEF沿EF折起,使C到C′的位置且二面角C′-EF-B的大小是60°.连接C′B,C′A,如图: (Ⅰ)求证: 平面C′FA⊥平面ABC′; (Ⅱ)求平面AFC′与平面BEC′所成二面角的大小. 19.(本小题满分12分) 已知平面上一动点P到定点F(,0)的距离与它到直线x=的距离之比为,记动点P的轨迹为曲线C. (Ⅰ)求曲线C的方程; (Ⅱ)设直线l: y=kx+m与曲线C交于M,N两点,点M在x轴上的射影为G,O为坐标原点,若4·=9·,求△MON面积的最大值. 20.(本小题满分12分) 随着食品安全问题逐渐引起人们的重视,有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎,同时生产-运输-销售一体化的直销供应模式,不仅减少了成本,而且减去了蔬菜的二次污染等问题. (Ⅰ)在有机蔬菜的种植过程中,有机肥料使用是必不可少的.根据统计某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用量有关系,每个有机蔬菜大棚产量的增加量y(百斤)与使用堆沤肥料x(千克)之间对应数据如下表: 使用堆沤肥料x(千克) 2 4 5 6 8 产量增加量y(百斤) 3 4 4 4 5 依据表中的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+;并根据所求线性回归方程,估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克,则每个有机蔬菜大棚产量增加量y是多少百斤? (Ⅱ)某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装,以每份10元的价格销售到生鲜超市.“乐购”生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客,如果当天前8小时卖不完,则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客(根据经验,当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕,且处理完毕后,当天不再进货).该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量(单位: 份),制成如下表格(注: x,y∈N*,且x+y=30): 每日前8个小时 销售量(单位: 份) 15 16 17 18 19 20 21 频数 10 x 16 16 15 13 y 若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率,该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据,当购进17份比购进18份的利润的期望值大时,求x的取值范围. 21.(本小题满分12分) 已知f(x-1)=2ln(x-1)-+k(x>1). (Ⅰ)判断当-1≤k≤0时f(x)的单调性; (Ⅱ)若x1,x2(x1≠x2)为f(x)两个极值点,求证: x[f(x1)+f(x2)]≥(x+1)[f(x)+2-2x]. (二)选考题: 共10分。 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.(本小题满分10分)选修4—4: 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2=. (Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; (Ⅱ)设P为曲线C上的点,PQ⊥l,垂足为Q,若的最小值为2,求m的值. 23.(本小题满分10分)选修4—5: 不等式选讲 已知函数f(x)=|x-2a|-|x-a|,a∈R. (Ⅰ)若f (1)>1,求a的取值范围; (Ⅱ)若a<0,对x,y∈(-∞,a],都有不等式f(x)≤+|y-a|恒成立,求a的取值范围. 湖南省2019届高三六校联考试题 数学(理科)参考答案 一、选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 D B B C C A A C B B D C 1.D 【解析】(1+i)z=4,z==2-2i. 2.B 【解析】∵(x+3)(x-1)≤0且x≠1,∴A=,∴∁RA=(-∞,-3)∪[1,+∞). 3.B 【解析】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,最高130分,平均成绩为低于130分,①错误;②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间[110,120]内,②正确;③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关,③正确;④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步,故④不正确.故选B. 4.C 【解析】该几何体为四棱锥,体积为 V=·x=8, ∴x=4. 5.C 【解析】当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-,∴f(x)=(x<0), k=f′(-1)=2,切点为(-1,-1),∴切线方程为y+1=2(x+1). ∴切线方程为2x-y+1=0. 6.A 【解析】根据题意,阴影部分的面积的一半为 ∫0(cosx-sinx)dx=-1, 于是此点取自阴影部分的概率为P1=2×=>=. 又P2=1-P1<,故P1>P2. 7.A 【解析】=-,∵⊥, ∴(λ+μ)·(-+)=0, ∴-λ2+μ2+(λ-μ)·=0,∴λ=6μ,∴=6. 8.C 【解析】不妨设双曲线C的一条渐近线bx-ay=0与圆P交于M,N,因为∠MPN=90°,所以圆心P到bx-ay=0的距离为==a,即2c2-2a2=ac,解得e=.故选C. 9.B 【解析】值为2019的“简单的”有序对的个数是3×1×2×10=60.故选B. 10.B 【解析】考虑到x1,x2是函数y=ex、函数y=lnx与函数y=的图象的公共点A,B的横坐标,而A,B两点关于y=x对称,因此x1x2=1. 11.D 【解析】由题意知,f(x)=sin(ωx+φ),∵f(0)=,φ∈,∴φ=, ∵x∈[0,2π],∴≤ωx+≤2πω+,∴≤2πω+<, ∴≤ω<. 12.C 【解析】由题意得,f′(x)=ex-a=0在上有解,∵f′(x)在上单调递增,∴ 又∵f(x)<0恰好有唯一整数解,即ex 设g(x)=ex,h(x)=ax+1,结合两函数的图象可知: ①若1 ∴e-1 故e-1
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