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圆锥曲线的方程与性质
1.椭圆
(1)椭圆概念
平面内与两个定点F1、
F2的距离的和等于常数
2a(大于厅店2丨)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆
的焦点,两焦点的距离
2c叫椭圆的焦距。
若M
为椭圆上任意一点,则有
|MF1||MF2|2a。
上)。
椭圆的标准方程为:
22
xy
2,2
ab
0)(焦点在
x轴上)
2
y_
2
a
2
x
笃1(ab0)
b2
(焦点在
注:
①以上方程中
a,b的大小
ab0,其中b2
1两个方程中都有a
0的条件,要分清焦点的位置,只要看
x2和y2
的分
母的大小。
例如椭圆
2
y
n
n)当mn时表示焦点在x轴上的椭圆;
表示焦点在y轴上的椭圆。
(2)椭圆的性质
2
x
1
1知|x|a,|y|b,说明椭圆位于直线xa,
b所围成的矩形里;
范围:
由标准方程笃
a
②对称性:
在曲线方程里,
若以
y代替y方程不变,所以若点(x,y)在曲线上时,
占
八、、
(x,y)也在曲线上,
所以曲线关于x轴对称,同理,以
x代替x方程不变,则曲线关于y轴对称。
若同时以
x代替x,y代替y
方程也不变,则曲线关于原点对称。
所以,椭圆关于x轴、y轴和原点对称。
这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心
叫椭圆的中心;
3顶点:
确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与
x轴、y轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中,令
x0,得yb,则B1(0,b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。
同理令y0得xa,即A(a,0),
A(a,O)是椭圆与x轴的两个交点。
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时,线段aa、b1b2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长
半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知:
椭圆的短轴端点到焦点的距离为a;在RtOB2F2中,|OB2|b,|OF2Ic,|B2F2|a,
222222
且IOF2||B2F21IOB2I,即cab;
c
④离心率:
椭圆的焦距与长轴的比e叫椭圆的离心率。
:
ac0,•••0e1,且e越接近1,c就
a
越接近a,从而b就越小,对应的椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近于0,从而b越接近于a,这时椭圆越接近于圆。
当且仅当ab时,c0,两焦点重合,图形变为圆,方程为x2y2a2。
2.双曲线
(1)双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(||PF1||PF2||2a)。
注意:
①式中是差的绝对值,在02a|F1F2|条件下;|PF1||PF2|2a时为双曲线的一支;
IPF2IIPF1I2a时为双曲线的另一支(含F1的一支);②当2a厅汀2丨时,||PF11IPF2II2a表示两条射
线;③当2a|F1F21时,||PF1|
IPF2II2a不表示任何图形;④两定点
F1,F2叫做双曲线的焦点,
IF1F21叫做
焦距。
(2)双曲线的性质
①范围:
从标准方程
xa的外侧。
即
22
—21,看出曲线在坐标系中的范围:
双曲线在两条直线
ab
29
xa,xa即双曲线在两条直线xa的外侧。
22
2对称性:
双曲线笃笃1关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点ab
22
是双曲线笃每1的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
ab
③顶点:
双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。
在双曲线
x2
2yb2
1的方程里,对称轴是x,y轴,所
22
以令y0得xa,因此双曲线和x轴有两个交点A(a,0)A2(a,0),他们是双曲线笃爲1的顶点。
ab
令x0,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点。
1)注意:
双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2)实轴:
线段AA2叫做双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。
虚轴:
线段BB?
叫做双
曲线的虚轴,它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。
4渐近线:
注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线。
从
22
图上看,双曲线笃爲1的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。
a2b2
5等轴双曲线:
1)定义:
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
定义式:
ab;
2)等轴双曲线的性质:
(1)渐近线方程为:
yx;
(2)渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。
亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。
3)注意到等轴双曲线的特征
ab,则等轴双曲线可以设为:
(0),当
0时交点在x轴,
当0时焦点在y轴上。
⑥注意
2x
16
22
1与—-1的区别:
三个量a,b,c中a,b不同(互换)c相同,还有焦点所在的坐标
916
轴也变了。
3.抛物线
(1)抛物线的概念
平面内与一定点
F和一条定直线
I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
(定点F不在定直线I上)。
定点F叫做
抛物线的焦点,定直线I叫做抛物线的准线。
方程y22pxp0叫做抛物线的标准方程。
注意:
它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F(卫,0),它的准线方程是x卫;
22
(2)抛物线的性质
一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其
他几种形式:
y22px,x22py,x22py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如
F表:
标准方程
y22px(p0)
y
y22px
(p0)
2x
(p
2py
0)
x22py
(p0)
图形
l
\
1
o
kF数
l
焦点坐标
(-,0)
2
p
(与,0)
p
(0,*)
2
p
准线方程
x匸
2
x卫
2
yi
y1
范围
x0
x0
y0
y0
对称性
x轴
x轴
y轴
y轴
顶点
(0,0)
(0,0)
(0,0)
(0,0)
离心率
e1
e1
e1
e1
说明:
(1)通径:
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径;
(2)抛物线的几何性质的特点:
有一个顶
点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线;(3)注意强调p的几何意义:
是焦点到准线
的距离。
4.高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线:
在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=O的
实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上
的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系:
若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点Po(xo,y0)在曲线C上f(xo,yo)=0;点Po(xo,yo)不在曲线C上f(xo,yo)丰O。
两条曲线的交点:
若曲线Ci,C的方程分别为fi(x,y)=O,f2(x,y)=O,则点Po(xo,yo)是C,G的交点
{fi(xo,yo)O方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没
f2(x),yo)o
2、方程:
⑴标准方程:
圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心在坐标原点,半径为r的圆方程是x2+y2=r2
⑵一般方程:
①当D2+E2-4F>O时,一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=O叫做圆的一般方程,圆心为(——)半径
2、2
是DE4F。
配方,将方程x2+y2+Dx+Ey+F=O化为(x+—)2+(y+—)2=DE-4F
2224
2当D2+E2-4F=O时,方程表示一个点(-—,-E);
22
3当D2+E2-4FVO时,方程不表示任何图形.
(3)点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(xo,yo),则丨MC|Vr点M在圆C内,丨
MC|=r点M在圆C上,|MC|>r点M在圆C内,其中丨MC|=.,(xo-a)2(yo-b)2。
(4)
有两个公共点;直
直线和圆的位置关系:
①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:
直线与圆相交
线与圆相切有一个公共点;直线与圆相离没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定:
(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=O的距离d
AaBbC
A2B2
与半径r的大小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义:
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,O)的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e(e
>O),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中定点F(c,O)称为焦点,定直线I称为准线,正常数e称为离心率。
当O
vev1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双曲线。
四、椭圆、双曲线、抛物线:
椭圆
双曲线
抛物线
定义
1.到两定点Fl,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2I)的
点的轨迹
2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.
(0 1.到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2I) 的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e>1) 与定点和直线的距离相等的点的轨迹• 轨迹条件 点集: ({M| =2a,|F |MF+|MF| 1F2|v2a}. 点集: {M =±2a, MF F2F2 |-|MF|. 1>2a}. 点集{M| 线 |MF|=点M至悄l的距离}. 图形 17 tr r h Ip — 1」 一■ 1一 方程 标准 方程 22 1(ab>0)ab 22 Xy —2~21(a>0,b>0) ab y22px 参数 方程 xacosybsin (参数为离心角) xasecybtan (参数为离心角) C丄2 x2pt(t为参数)y2pt 范围 —axa,—byb |x|a,yR x0 中心 原点0(0,0) 原点O(0,0) 顶点 (a,0),(—a,0), (0,b),(0,—b) (a,0),(—a,0) (0,0) 对称轴 x轴,y轴; 长轴长2a,短轴长2b x轴,y轴;实轴长2a,虚轴长2b. x轴 焦占 八'、八\、 F1(c,0),F2(—c,0) F1(c,0),F2(—c,0) F(^0) 准线 2 ax=±— c 准线垂直于长轴,且在椭圆 外. 2 ax=±— c 准线垂直于实轴,且在两顶点的 内侧. x=-2 2 准线与焦点位于顶点两侧,且到顶点的距离相等. 焦距 2c(c=Ja2b2) I22 2c(c=wab) 离心率 ec(0e1) a e—(e1)a e=1 【备注1】双曲线: ⑶等轴双曲线: 双曲线x2y2a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率e.2. ⑷共轭双曲线: 以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线 22 xy 2.2 ab 22 △L0.a2b2 222 ⑸共渐近线的双曲线系方程: 与与(0)的渐近线方程为笃 aba 22它的双曲线方程可设为笃爲(0). ab 【备注2】抛物线: (1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(卫,0) 2 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: 2 与0如果双曲线的渐近线为 b 准线方程x=-—,开口向右; 2 抛物线 0时, y2=-2px(p>0)的焦点坐标是(-—,0),准线方程乂=卫,开口向左; 22 抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标是 (0, 号), 准线方程y=-—,开口向上; 2 抛物线xSpy(p>0)的焦点坐标是(0,普),准线方程 2 (2)抛物线y=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离 MF p X°;抛物线y=-2px(p>0)上的点 2 M(x0,y0) 与焦点F的距离MF X。 (3)设抛物线的标准方程为 =2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为 卫,顶点到准线的距离 2 卫焦占 •)八'、八\、 2 到准线的距离为p. (4)已知过抛物线y2=2px(p>0) 焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则弦长AB=X! x2+p或AB 2p .2 sin (a为直线AB的倾斜角),y-1y2 2 2pp p,X1X2一,AF为—(AF 42 叫做焦半径). 五、坐标的变换: (1)坐标变换: 在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施 坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程 (2)坐标轴的平移: 坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平 移,简称移轴。 (3)坐标轴的平移公式: 设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是(x,y) ,在新坐标系 O'y' x'h或 y'ky' 中的坐标是(x,y).设新坐标系的原点O'在原坐标系xOy中的坐标是(h,k),则 叫做平移(或移轴)公式. (4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表: 方程 焦占 八\、八、、 焦线 对称轴 椭圆 (x-h)2+(y-k)2 2.2 ab (±c+h,k) 2 a-x=±—+h c x=h y=k (x-h)2+(y-k)2=1 .22 ba (h,±c+k) 2 a,y=±—+k c x=h y=k 双曲线 22 (x-h)(y-k)=1 2.21 ab (±c+h,k) 2 丄a, x=±——+k c x=h y=k 22 (y-k)(x-h) a2b2 (h,±c+h) 2 丄a, y=±——+k c x=h y=k 抛物线 2 (y-k)=2p(x-h) (卫+h,k) 2 x=-—+h 2 y=k 2 (y-k)=-2p(x-h) (--+h,k) 2 x=^+h 2 y=k 2 (x-h)=2p(y-k) (h,卫+k) 2 y=-—+k 2 x=h 2 (x-h)=-2p(y-k) (h,-卫+k) 2 『=卫+k 2 x=h 六、椭圆的常用结论: 1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. 2.PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的 两个端点• 3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 5. 若P°(xo,y°)在椭圆 2 冷1上,则过R的椭圆的切线方程是竽 ba yoy 1. 6. 若Po(xo,yo)在椭圆 2 冷1夕卜,则过F0作椭圆的两条切线切点为 b P、Pa, 则切点弦PP的直线方程是 x°x a yoy b2 1. 7. 2 椭圆笃 a (a >b>0)的左右焦点分别为Fi,Fa,点P为椭圆上任意一点 F1PF2 ,则椭圆的焦点 角形的面积为 F1PF2 b2tan 2 2 8.椭圆— a b2 (a>b>0)的焦半径公式 IMF1Iaexo,IMF2|aexo(F,c,0),F2(c,0)M(x°,y°)). 9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于MN两点,贝UMFLNF. 10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A为椭圆长轴上的顶点,AP和AQ交于点M,AP和AQ 交于点N,贝UMFLNF. 22 11.AB是椭圆xy^1的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,贝UkOMkAB ab Kab b2x° 2 ay° 2x 12.若P°(x0,y0)在椭圆~ a 1内,则被Po所平分的中点弦的方程是 X0Xy°y a2b2 2 a2 2 y。 b2; 【推论】: 22XV仁右P0(x0,y0)在椭圆一22 ab 1内,则过Po的弦中点的轨迹方程是 b2 XoX a 2 VoVx 2。 椭圆r ba b2 (a>b>o)的两个顶点为 Ai(a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于 Pi-R时AP与A2P2交点的轨迹方程 22 是笃書1. ab 22 2、过椭圆笃每1(a>0,b>0)上任一点A(Xo,Vo)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直 ab 线BC有定向且kBC聖(常数). ay° 22 3、若P为椭圆笃再 ab 1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点 F1,F2是焦点, PF1F2 PF2F1 贝H-_ctan—cot—.ac22 x2y2 4、设椭圆—务1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PFF2中,记 ab sinc F1PF2,PF1F2,F1F2P,则有e. sinsina 22 5、若椭圆^2V^1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0veh21时,可在椭圆上 ab 求一点P,使得PR是P到对应准线距离d与PF>的比例中项. 22 XV 6、P为椭圆—21(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,贝U ab 2a|AF2||PA| |PR|2a〔ARI,当且仅当代F2,P三点共线时,等号成立 7、椭圆 (XX。 )2 2 a (VV0)2 b2 1与直线AxBvC 0有公共点的充要条件是 22222 AaBb(AX0By。 C). 2 x &已知椭圆r a 2yb2 1(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且 OPOQ. (1) 1 Popi2 1 |OQ|F g; (2)|OP|2+|OQ|2的最大值为學厶;(3)Sopq bab 2r2 的最小值是一 a2b2 9、过椭圆 (a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于 M,N两点, 弦MN的垂直平分线交 x轴于P, 则四 |MN| 10、已知椭圆 >b>0),A、B是椭圆上的两点,线段 AB的垂直平分线与x轴相交于点 P(Xo,O), 2.2 则a_±_ a a2 b2 Xo 11、设P点是椭圆 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点 F1、F2为其焦点记 F1PF2 ,则 (1)|PF1||PF2| 出•⑵ 1cos prf2 b2tan 2 12、设A、 2 B是椭圆笃 a 2yb2 (a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,PAB PBA BPA e分别是椭圆的半焦距离心率,则有 2 2ab|cos| (1)|PA|222. (2) accos tantan SPAB 2a2b2 2COt a b2 13、已知椭圆 2 y_ b2 1(a>b>0)的右准线I与x轴相交于点 E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、 的中点• 则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 B两点,点C在右准线I上,且BCx轴,则直线AC经过线段EF 14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交, 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 e(离心率). .) 16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 (注: 在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项• 七、双曲线的常用结论: 1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角. 2、PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点• 3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交• 4、以焦点半径PFi为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切•(内切: P在右支;外切: P在左支) 2卄x 5、右P)(x0,y0)在双曲线一2 a 2 y 21(a>0,b>0) b2 上, x0x 则过F0的双曲线的切线方程是与 a g1 了1. 2 x 6、右P)(x0,y0)在双曲线一2
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