专题最短路径求最值问题.docx
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专题最短路径求最值问题
专题最短路径求最值问题
最短路径,求最值问题,已知都是考试的高频考点,而且求最值问题的各种变式题型特别多,但是不管怎么变,不外乎两个常用的性质定理:
一个是,两点之间线段最短。
二个是,垂线段最短。
其实大多数求最值的问题,都是把看似复杂的问题,通过转化成简单的常见问题,在用这两个定理来解决。
今天总结了这么13个模型,大家可以保存,转发,打印下来。
我们可以一起探讨,相互学习。
比如将军饮马问题,比如造桥选址问题,比如费马点,比如圆外任意一点到圆的最近和最远问题。
在这13个模型之后详解之后,还附有30到常
见考试题型,最后有参考答案。
求最值(最短路径问题)13个模型30道培优考题
1.如图,在直线上取一点P使得PA+PB最小?
连接AB与直线交于点P即可.两点异侧:
2.将军饮马问题:
如图,在直线上取一点P使得PA+PB最小?
作点B关于直线的对称点B’,连接AB'与直线交于点P即可.两点同侧:
3.如图,在直线上取一点P使得|PA-PB|最大?
连接AB并与直线交于点P即可。
两点同侧:
4.如图,在直线上取一点P使得|PA-PB|最大?
作点B关于直线的对称点B',连接AB'并与直线交于点P即可。
两点异侧:
5.点A在∠0的内部,在角的两边上分别取两个点M、N使得AAMN的周长最小?
分别作点A关于角两边的对称点A’,A''。
连接A'A',并与角的两边分别交于点M,N即可.
6.点A,B如图所示,在两条直线上分别取两个点P,Q使得AP+PQ+QB最小?
连接AB并与两条直线分别交于点P,Q即可.
7.点A,B如图所示,在两条直线上分别取两个点P,Q使得AP+PQ+QB最小?
作点A的对称点A',连接A'B并与两条直线分别交于点P,Q即可.
8.点A,B如图,在两条直线上分别取两个点P,Q使得AP+PQ+QB最小?
分别作点A,B的对称点A’,B',连接A'B'并与两条直线分别交于点P,Q即可.
第8种情况常见的变形:
9.点A的位置如图所示,点B是水平直线上的一个动点,点P在另外一条直线上,如何确定点P与B的位置,使得AP+PB最小?
过点A作垂线段AB垂直于水平的直线,垂足为B,AB与另一直线的交点P即为所求。
第9种情况常见变形:
还有如下图的变形.当点A位于两直线之间时,先作点A的对称点,再作垂线段即可.
10.如图,点A、B位于直线的上方,点C、D在直线上且CD长度等于定值a,如何确定点C、D的位置使得AC+BD最小?
以A、C、D为边构造平行四边形ACDA',并作点B的对称点B’,连接A'B',与直线交于点D'即可确定CD的位置。
11.造桥选址问题:
分别以两条平行的直线代表一条河的两岸,河两岸分别是A村和B村,现在准备在河上修座桥MN(桥垂直河岸),问修在哪个位置,从A村到B村的路程最短?
做平行四边形AMNC,连接NC,交直线于N',点N'就是修桥的位置)
12.如图,∠BOC=90°,△ABC的两个顶点B,C分别在OB和0C.上,求OA的最大值?
取BC的中点M,分别连接0M,AM。
当A,M,0三点共线时,OA最大。
13.在O0外有一点P,分别求出P点到00上距离最近和最远的点?
连接OP,交00于点A,此时PA是最小值;(反向延长PO,交00于点B,此时PB就是最大值.)
课后巩固练习20题(常见考题)
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线,若P,Q分别是AD和AC上的动点,求PC+PQ的最小值.
2.(2015绥化中考)如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5.若点M,N分别是线段AC,AB.上的两个动点,求BM+MN的最小值.
3.(2016贵阳)如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1,N为对角线AC上任意-一点,求DN+MN的最小值.
4.如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点,点M,N分别是AB,BC边上的中点,PM+PN的最小值是_
5.已知,矩形ABCD,AB=3,AD=4,点P在AD边上移动,点Q在BC边上移动,求BP+PQ+QD的最小值是
6.如图,Rt△ABC中,AB_LBC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一动点,且满足∠PAB=∠PBC,求线段CP长的最小值.
7.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,点E是边BC的中点,连接AE,与对角线BD交于点F,点M是AD边上的一个动点,连接MF、MC,则MF+MC的最小值为
8.如图,正方形ABCD的边长为15,点E在CD上,CE=3,点F是直线AD.上不与A、D重合的一个动点,将△DEF沿EF折叠,使点D落在点G处,则线段BG的最小值为
9.如图,菱形ABCD的边长为3,∠BAD=60°,点E、F在对角线AC.上,点E在F的左侧,且EF=1,求DE+BF的最小值是_
10.(2018广东深圳期末)如图,直线y=x+2与两坐标轴分别交于A、B两点,点C是0B的中点,D、E分别是直线AB和y轴上的动点,则ACDE周长的最小值是__.
11.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=22.5°,BC=4,D为AB垂直平分线与AC的交点,P为AB上的动点,连接PD、PC.求PD+PC的最小值.
12.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,D是斜边AB的中点,E、F分别是直线AC、BC上的动点,∠EDF=90°,则线段EF长度的最小值是
13.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点G是边CD边的中点,点E、F分别是AG、AD上的两个动点,则EF+ED的最小值是_.
14.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点,若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形,则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为
15.如图,四边形ABCD中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E、F分别是BC、DC.上的点,当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为_
16.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,E、F分别是边AB和BC的中点,AC=4,点P为对角线AC上一动点,则PE+EF的最小值为
17.如图,在等腰梯形ABCD中,上底AD=2,∠BCD=60°,对角线AC平分∠BCD,E、F分别是底边AD、BC的中点,连接EF.点P是EF上的任意一点,连接PA、PB,则PA+PB的最小值为
18.(2018山东滨州)如图,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点,且0P=
若点M、N分别是射线0A、0B上异于点0的动点,则△PMN周长的最小值是_
19.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC边上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F,连接B'D,则B'D的最小值是
20.如图,边长为10的等边△ABC的顶点A、B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动,则动点C到原点0的距离m的取值范围是
21.如图,四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A(1,3),B(m,0),C(m+2,0),D(5,1),当四边形ABCD的周长最小时,m的值为
22.如图,∠MON=20°,A、B分别为射线OM、ON上两定点,且0A=2,0B=4,点P、Q分别为射线0M、ON两动点,当P、Q运动时,线段AQ+PQ+PB的最小值是()
23.如图,点P是等腰直角三角形ABC内一动点,AB=2
求PA+PB+PC的最小值.
24.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,P是直线AB.上的动点(不与点B重合),将△BCP沿CP所在的直线翻折,得到△B'CP,连接B'A,B'A长度的最小值是m,B'A长度的最大值是n,则m+n的值等于上.
25.如图,矩形ABCD边AD上有一动点F,在矩形内部有一动点E,AB=6,BC=10,求BE+CE+EF的最小值.
26.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,以A为圆心,1为半径画A,E是圆A上-一动点,P是BC上一动点,求PE+PD的最小值.
27.如图,点P是∠AOB内任意-一点,0P=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,若△PMN周长的最小值是5cm,则∠AOB的度数是_
28.如图,E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是__.
29.如图,在Rt△AOB中,0A=0B=2
0的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作0的一条切线PQ(Q点为切点),则切线长PQ的最小值为__
30.如图,在正方形ABCD中,AB=4,E是BC边的中点,F是CD边上的一点,且DF=1,若M、N分别是线段AD、AE.上的动点,则MN+MF的最小值为
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