九上第一次月考数学.docx
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九上第一次月考数学
江苏省盐城市东台市第一教研片2015届九年级上学期第一次月考数学试卷
一、选择题(每题3分,计24分.)
1.(3分)如图所示,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,E为AB延长线的上一点,∠CBE=40°,则∠AOC等于()
A.20°B.40°C.80°D.100°
2.(3分)如图,△ABC内接于⊙O,∠A=30°,若BC=4cm,则⊙O的直径为()
3.(3分)(1997•武汉)已知圆的半径为6.5cm,圆心到直线z的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是()
A.0B.1C.2D.不能确定
4.(3分)如图,△ABC内接于圆O,∠A=50°,∠ABC=60°,BD是圆O的直径,BD交AC于点E,连接DC,则∠AEB等于()
A.70°B.110°C.90°D.120°
5.(3分)已知P为⊙O内一点,OP=2,如果⊙O的半径是3,那么过P点的最短弦长是()
A.1B.2C.
D.2
6.(3分)在同圆中,下列四个命题:
①圆心角是顶点在圆心的角;
②两个圆心角相等,它们所对的弦也相等;
③两条弦相等,它们所对的弧也相等;
④等弧所对的圆心角相等.
其中真命题有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
7.(3分)如图,点A、B、C都在⊙O上,若∠C=34°,则∠AOB的度数为()
A.34°B.56°C.60°D.68°
8.(3分)如图,⊙O的半径为4,点O到直线l的距离为7,点P是直线l上的一个动点,PB切⊙O于点B
,则PB的最小值是()
A.
B.
C.3D.11
二、填空题(每题3分,计30分)
9.(3分)平面上有⊙O及一点P,P到⊙O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则⊙O的半径为cm.
10.(3分)直角三角形两条直角边长为a、b,斜边长为c,则直角三角形的内切圆半径是.
11.(3分)(1999•西安)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=80°,点O是内心,则∠BOC的度数为度.
12.(3分)把一元二次方程3x(x﹣2)=4化为一般形式是.
13.(3分)某校去年投资2万元购买实验器材,预计今明2年的投资总额为8万元.若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x,则可列方程为.
14.(3分)⊙O的半径为6厘米,弦AB的
长为6厘米,则弦AB所对的圆周角是.
15.(3分)已知圆锥的侧面积为8πcm2,侧面展开图的圆心角为45°,则该圆锥的母线长为cm.
16.(3分)如图,AB是⊙O的直径,点C,D是圆上两点,∠AOC=100°,则∠D=度.
17.(3分)如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线.若大圆半径为10
cm,小圆半径为6cm,则弦AB的长为cm.
18.(3分)如图,PA、PB切⊙O于A、B两点,若∠APB=60°,⊙O的半径为3,则阴影部分的面积为.
三、用心解一解
19.(16分)解下列方程
(1)x(2x﹣7)=2x
(2)x2﹣2x+4=0
(3)(y+2)2=(3y﹣1)2
(4)2y2+7y﹣3=0.
2
0.(8分)已知四边形ABCD外切于⊙O,四边形ABCD的面积为24,周长24,求⊙O的半径.
21.(8分)如图,P是∠BAC的平分线上一点,PD⊥AC,垂足为D,AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗?
请说明理由.
22.(8分)如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,若∠APB=40°,则∠ACB=°.
23.(8分)如图,AB是⊙O的弦,OC⊥OA,交AB与点P,且PC=BC,求证:
BC是⊙O的切线.
24.(8分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,以OA为直径的⊙D与AC相交于点E,AC=10,求AE的长.
25.(8分)已知:
如图,△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于点D,过点D作DE⊥AC于点E,交BC的延长线于点F.
求证:
(1)AD=BD;
(2)DF是⊙O的切线.
26.(10分)如图,I是△ABC的内心,∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D,交BC于点E.
(1)求证:
BD=ID;
(2)求证:
ID2=DE•DA.
27.(10分)百货大搂服装柜在销售中发现:
“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“十•一”国庆节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存.经市场调查发现:
如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?
28.(12分)如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAF,交⊙O于点E,过点E作直线ED⊥AF,交AF的延长线于点D,
交AB的延长线于点C.
(1)求证:
CD是⊙O的切线;
(2)若CB=2,CE=4,求AE的长.
江苏省盐城市东台市第一教研片2015届九年级上学期第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每题3分,计24分.)
1.(3分)如图所示,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,E为AB延长线的上一点,∠CBE=40°,则∠AOC等于()
A.20°B.40°C.80°D.100°
考点:
圆周角定理;圆内接四边形的性质.
分析:
先根据圆内接四边形的外角等于内对角求出∠D,再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解.
解答:
解:
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
∴∠CBE=∠D,
∴∠AOC=2∠D=80°.故选C.
点评:
本题考查的是对圆心角和圆周角的关系,以及圆的内接四边形的外角和相应的内对角关系的应用.解答此类题关键是通过角的关系,在解题中应用中间角来寻找等量关系.
2.(3分)如图,△ABC内接于⊙O,∠A=30°,若BC=4cm,则⊙O的直径为()
考点:
圆周角定理;含30度角的直角三角形.
分析:
作直径BD.连接CD,得到直角三角形BCD.根据同弧所对的圆周角相等,得到∠D=∠A,再根据直角三角形的性质即可求得BD的长.
解答:
解:
做直径BD,连接CD,得到直角三角形BCD.
∵∠D=∠A=30°,BC=4cm,
∴BD=2BC=8cm.
故选B.
点评:
已知一圆周角的度数,作辅助线通常要作出与之相等的过圆心的圆周角得到直角三角形求解.
3.(3分)(1997•武汉)已知圆的半径为6.5cm,圆心到直线z的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是()
A.0B.1C.2D.不能确定
考点:
直线与圆的位置关系.
分析:
根据半径大于距离判断直线与圆相交,从而得出公共点的个数.
解答:
解:
∵圆的半径为6.5cm,圆心到直线z的距离为4.5cm,
∴圆心到直线z的距离小于圆的半径,
∴直线与圆相交,
∴这条直线和这个圆有两个公共点.
故选C.
点评:
此题主要考查了直线与圆的位置关系的判定及相应的公共点的个数的判断.
解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径r大小关系完成判定:
若d<r,则直线与圆相交,有两个公共点;
若d=r,则直线于圆相切,有唯一公共点;
若d>r,则直线与圆相离,没有公共点.
4.(3分)如图,△ABC内接于圆O,∠A=50°,∠ABC=60°,BD是圆O的直径,BD交AC于点E,连接DC,则∠AEB等于()
A.70°B.110°C.90°D.120°
考点:
圆周角定理;三角形内角和定理.
专题:
应用题
.
分析:
因为∠A=50°,∠ABC=60°,所以利用三角形的内角和可得∠ACB=70°,利用同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D=50°,又因为∠BCD是直径所对的圆周角,所以等于90°,因此可得∠ECD=20°,利用内角和与对顶角相等可得∠AEB等于110°.
解答:
解:
∵∠A=50°,∠ABC=60°
∴∠ACB=70°
∵BD是圆O的直径
∴∠BCD=90°
∴∠ACD=20°
∴∠ABD=∠ACD=20°
∴∠AEB=180°﹣(∠B
AE+∠ABE)=180°﹣(50°+20°)=110°.
故选B.
点评:
本题重点考查了直径所对的圆周角是直角,同弧所对的圆周角相等,三角形的内角和等知识点.本题是一道难度中等的题目.
5.(3分)已知P为⊙O内一点,OP=2,如果⊙O的半径是3,那么过P点的最短弦长是()
A.1B.2C.
D.2
考点:
垂径定理;勾股定理.
专题:
计算题.
分析:
过点P作弦AB⊥OP,此时AB为过P点的最短弦,如图,根据垂径定理得AP=BP,然后在Rt△APO中利用勾股定理计算出AP=
,则AB=2AP=2
.
解答:
解:
过点P作弦AB⊥OP,此时AB为过P点的最短弦,如图,
∵OP⊥AB,
∴AP=BP,
在Rt△APO中,∵OP=2,OA=3,
∴AP=
=
,
∴AB=2AP=2
.
故选D.
点评:
本题考查了垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理.
6.(3分)在同圆中,下列四个命题:
①圆心角是顶点在圆心的角;
②两个圆心角相等,它们所对的弦也相等;
③两条弦相等,它们所对的弧也相等;
④等弧所对的圆心角相等.
其中真命题有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
考点:
命题与定理.
分析:
利用圆的有关性质及定义对各个题目进行判断后即可确定正确的答案.
解答:
解:
①圆心角是顶点在圆心的角,正确,为真命题;
②同圆或等圆中,两个圆心角相等,它们所对的弦也相等,故正确,为真命题;
③同圆或等圆中,两条弦相等,它们所对的弧也相等,故正确,为真命题;
④等弧所
对的圆心角相等,正确,为真命题,
故选:
A.
点评:
本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解圆的有关性质及定义等知识,属于基础题,比较简单.
7.(3分)如图,点A、B、C都在⊙O上,若∠C=34°,则∠AOB的度数为()
A.34°B.56°C.60°D.68°
考点:
圆周角定理.
分析:
由圆周角定理知,∠AOB=2∠C=68°.
解答:
解:
∵∠C=34°,
∴∠AOB=2∠C=68°.
故选D.
点评:
本题利用了圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
8.(3分)如图,⊙O的半径为4,点O到直线l的距离为7,点P是直线l上的一个动点,PB切⊙O于点B,则PB的最小值是()
A.
B.
C.3D.11
考点:
切线的性质.
分析:
因为PB为切线,所以△OPB是Rt△.因为OB为定值,所以当OP最小时,PB最小.根据垂线段最短,知OP′=7时P′B′最小.运用勾股定理求解即可.
解答:
解:
作OP′⊥l于P′点,则OP′=7.
根据题意,在Rt△OP′B′中,
P′B′=
=
.
故选A.
点评:
此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点,如何确定PQ最小时点P的位置是解题的关键,难度中等偏上.
二、填空题(每题3分,计30分)
9.(3分)平面上有⊙O及一点P,P到⊙O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则⊙O的半径为4或2cm.
考点:
点与圆的位置关系.
分析:
解答此题应进行分类讨论,点P可能位于圆的内部,也可能位于圆的外部.
解答:
解:
当点P在圆内时,则直径=6+2=8cm,因而半径是4cm;
当点P在圆外时,直径=6﹣2=4cm,因而半径是2cm.
所以⊙O的半径为4或2cm.
故答案为:
4或2.
点评:
考查了点与圆的位置关系,解决本题的关键是首先要进行分类讨论,其次是理解最长距离和最短距离和或差的意义.
10.(3分)直角三角形两条直角边长为a、b,斜边长为c,则直角三角形的内切圆半径是
.
考点:
三角形的内切圆与内心;三角形的面积.
分析:
利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半,即可计算出内切圆半径.
解答:
解:
∵直角三角形两条直角边长为a、b,斜边长为c,
∴直角三角形的内切圆半径是:
.
故答案为:
.
点评:
此题考查了三角形的内切圆的知识.解题的关键是掌握直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半.
11.(3分)(1999•西安)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=80°,点O是内心,则∠BOC的度数为110度.
考点:
三角形的内切圆与内心;三角形的外角性质.
分析:
连接OC,由于BA、BC都与⊙O相切,由切线长定理知∠OBC、∠OCB分别是∠ABC、∠ACB的一半,由此可求得它们的度数和,再由三角形内角和定理即可求得∠BOC的度数.
解答:
解:
连接OC;
∵BC、BA都与△ABC的内切圆相切,
∴∠ABO=∠OBC=
∠ABC,∠OCB=∠OCA=
∠ACB;
∴∠OBC=30°,∠ACB=40°;
∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=110°.
点评:
此题主要考查了三角形内切圆、切线长定理及三角形内角和定理的综合应用能力.
12.(3分)把一元二次方程3x(x﹣2)=4化为一般形式是3x2﹣6x﹣4=0.
考点:
一元二次方程的一般形式.
分析:
一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0,去括号,移项把方程的右边变成0即可.
解答:
解:
把一元二次方程3x(x﹣2)=4去括号,移项合并同类项,转化为一般形式是3x2﹣6x﹣4=0.
点评:
本题需要同学们熟练掌握一元二次方程一般形式的概念,在去括号时要注意符号的变化.
13.(3分)某校去年投资2万元购买实验器材,预计今明2年的投资总额为8万元.若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x,则可列方程为2(1+x)+2(1+x)2=8.
考点:
由实际问题抽象出一元二次方程.
专题:
增长率问题.
分析:
本题为增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x,根据题意可得出的方程.
解答:
解:
设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x,
今年的投资金额为:
2(1+x);
明年的投资金额为:
2(1+x)2;
所以根据题意可得出的方程:
2(1+x)+2(1+x)2=8.
故答案为:
2(1+x)+2(1+x)2=8.
点评:
增长率问题,一般形式为a(1+x)2=b,a为起始时间的有关数量,b为终止时间的有关数量.
14.(3分)⊙O的半径为6厘米,弦AB的长为6厘米,则弦AB所对的圆周角是30°或150°.
考点:
圆周角定理;等边三角形的判定与性质.
分析:
由,⊙O的半径为6厘米,弦AB的长为6厘米,可得△OAB等边三角形,因此∠AOB=60°,再利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求出弦AB所对的圆周角.注意AB所对的圆周角有两种情形.
解答:
解:
如图,
∵OA=OB=AB=6,
∴△ABO为等边三角形,则∠AOB=60°.
设弦AB所对的圆周角为∠ACB,
当点C在弦AB所对的优弧上,则∠ACB=60°÷2=30°;
当点C在弦AB所对的劣弧上
,则∠ACB=180°﹣30°=150°.
所以弦AB所对的圆周角为30°或150°,
故答案为:
30°或150°
点评:
本题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角相等,并且等于它所对的圆心角的一半.同时考查了圆内接四边形的对角互补和等边三角形的性质.
15.(3分)已知圆锥的侧面积为8πcm2,侧面展开图的圆心角为45°,则该圆锥的母线长为8cm.
考点:
圆锥的计算.
分析:
圆锥的侧面展开后是扇形,扇形面积=
.
解答:
解:
设母线长为R,圆锥的侧面展开后是扇形,侧面积S=
=8π,∴R=8cm.
点评:
本题利用了扇形的面积公式求解.
16.(3分)如图,AB是⊙O的直径,点C,D是圆上两点,∠AOC=100°,则∠D=40度.
考点:
圆周角定理.
分析:
根据互补的性质可求得∠BOC的度数,再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得∠D的度数.
解答:
解:
∵∠AOC=100°,
∴∠BOC=180°﹣100°=80°,∴∠D=40°.
点评:
本题利用了圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
17.(3分)如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线.若大圆半径为10cm,小圆半径为6cm,则弦AB的长为16cm.
考点:
垂径定理;勾股定理.
专题:
压轴题.
分析:
只需连接过切点的半径,构造直角三角形.根据勾股定理和垂径定理解答.
解答:
解:
设切点是C,连接OA,OC.
则在Rt△OAC中,AC=
=8cm,所以AB=16cm.
点评:
主要考查了切线的性质,以及勾股定理和垂径定理的综合运用.
18.(3分)如图,PA、PB切⊙O于A、B两点,若∠APB=60°,⊙O的半径为3,则阴影部分的面积为.
考点:
扇形面积的计算;切线长定理.
专题:
压轴题.
分析:
阴影部分的面积等于四边形OAPB的面积减去扇形AOB的面积.
解答:
解:
连接OA,OB,OP.
根据切线长定理得∠APO=30°,
∴OP=2OA=6,AP=OP•cos30°=3
,∠AOP=60°.
∴四边形的面积=2S△AOP=2×
×3×3
=9
;扇形的面积是
=3π,
∴阴影部分的面积是9
﹣3π.
点评:
此题综合运用了切线长定理、切线的性质定理以及30°的直角三角形的性质.关键是熟练运用扇形的面积计算公式,能够把四边形的面积转化为三角形的面积计算.
三、用心解一解
19.(16分)解下列方程
(1)x(2x﹣7)=2x
(2)x2﹣2x+4=0
(3)(y+2)2=(3y﹣1)2
(4)2y2+7y﹣3=0.
考点:
解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-直接开平方法;解一元二次方程-配方法.
分析:
(1)首先去括号,进而利用因式分解法解一元二次方程即可;
(2)利用配方法直接解方程即可;
(3)利用平方差公式因式分解进而求出方程的根即可;
(4)直接利用公式法解方程得出即可.
解答:
解:
(1)x(2x﹣7)=2x
整理得:
2x2﹣9x=0
x(2x﹣9)=0,
解得:
x1=0,x2=4.5;
(2)x2﹣2x+4=0
配方得:
(x﹣1)2=﹣3,
故此方程无实数根;
(3)(y+2)2=(3y﹣1)2
(y+2)2﹣(3y﹣1)2=0
[(y+2)+(3y﹣1)][(y+2)﹣(3y﹣1)]=0,
整理得:
(4y+1)(﹣2y+3)=0
解得:
y1=﹣
,y2=
;
(4)2y2+7y﹣3=0
b2﹣4ac=49﹣4×2×(﹣3)=73,
故x=
,
则x1=
,x2=
.
点评:
此题主要考查了公式法以及因式分解法分解因式,熟练记忆公式是解题关键.
20.(8分)已知四边形ABCD外切于⊙O,四边形ABCD的面积为24,周长24,求⊙O的半径.
考点:
切线长定理;三角形的面积.
分析:
利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出⊙O的半径.
解答:
解:
设四边形ABCD是⊙O的外切四边形,切点分别为:
F,G,M,E,
连接FO,AO,OG,CO,OM,DO,OE,
四边形ABCD的面积为:
S四边形ABCD=
×EO×AD+
OM×DC+
GO×BC+
FO×AB
=
EO(AD+AB+BC+DC)
=
EO×24
=24,
解得:
EO=2.
故r=2.
点评:
此题主要考查了三角形面积以及切线的性质,正确将四边形分割成三角形是解题关键.
21.(8分)如图,P是∠BAC的平分线上一点,PD⊥AC,垂足为D,AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗?
请说明理由.
考点:
切线的判定;角平分线的性质.
专题:
常规题型.
分析:
作PE⊥AB于E,如图,先根据角平分线定理得到PE=PD,然后根据切线的判定定理即可得到AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切.
解答:
解:
AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切.理由如下:
作PE⊥AB于E,如图,
∵P是∠BAC的平分线上一点,PD⊥AC,PE⊥AB于E,
∴PE=PD,
∴AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切.
点评:
本题考查了切线的判定:
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段
,证明该线段的长等于半径.也考查了角平分线定理.
22.(8分)如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,若∠APB=40°
,则∠ACB=70°.
考点:
切线的性质;圆周角定理.
分析:
首先连接OA,OB,由PA、PB是⊙O的切线,即可得∠PAO=∠PBO=90°,又由∠APB=40°,即可求得∠AOB的度数,然后由圆周角定理,即可求得答案.
解答:
解:
连接OA,OB,
∵PA、PB是⊙O的切线,
∴∠PAO=∠PBO=90°,
∵∠APB=40°,
∴∠AOB=360°﹣∠APB﹣∠PAO﹣∠PBO=140°,
∴∠ACB=
∠AOB=70°.
故答案为:
70.
点评:
此题考查了切线的性质与圆周角定理.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
23.(8分)如
图,AB是⊙O的弦,OC⊥OA,交AB与点P,且PC=BC,求证:
BC是⊙O的切线.
考点:
切线的判定.
专题:
证明题.
分析:
由PC=BC得到∠CPB=∠CBP,利用对顶角相等得∠APO=∠CPB,则∠CBP=∠APO,再利用OC⊥OA得到∠A+∠APO=90°,加上∠A=∠ABO,所以∠CBP+∠ABO=90°,于是根据切线的判定定理可得BC是⊙O的切线.
解答:
证明:
∵PC=BC,
∴∠CPB=∠CBP,
而∠APO=∠CPB,
∴∠CBP=∠APO,
∵OC⊥OA,
∴∠A+∠APO=90°,
而OA=OB,
∴∠A=∠ABO,
∴∠CBP+∠ABO=90°,
∴OB⊥BC,
∴BC是⊙O的切线.
点评:
本题考查了切线的判定:
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
24.(8分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,以OA为直径的⊙D与AC相交于点E,AC=10,求AE的长.
考点:
垂径定理;圆周角定理.
分析:
首先连接BC,OE,由AB是⊙O的直径,OA为⊙D的直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得∠C=∠AEO=90°,即可得OE∥BC,继而求得AE的长.
解答:
解:
连接BC,OE,
∵AB是⊙O的直径,OA为⊙D的直径,
∴∠C=∠AEO=90°,
∴OE∥BC,
∴AO:
AB=AE:
AC,
∵OA=
AB,
∴AE=
AC=
×10=5.
点评:
本题考查了圆周角定理与平行线的判定与性质.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
25.(8分)已知:
如图,△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于点D,过点D作DE⊥AC于点E
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- 第一次 月考 数学
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