全国中考数学压轴题分类解析汇编专题09几何综合问题学生版.docx
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全国中考数学压轴题分类解析汇编专题09几何综合问题学生版.docx
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全国中考数学压轴题分类解析汇编专题09几何综合问题学生版
几何综合问题
1.(2012宁夏区10分)在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P是BC上的任意一点(P与B、C不重合),过点P作AP⊥PE,垂足为P,PE交CD于点E.
(1)连接AE,当△APE与△ADE全等时,求BP的长;
(2)若设BP为x,CE为y,试确定y与x的函数关系式。
当x取何值时,y的值最大?
最大值是多少?
(3)若PE∥BD,试求出此时BP的长.
2.(2012山西省12分)问题情境:
将一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图1所示的方式摆放,其中∠ACB=90°,CA=CB,∠FDE=90°,O是AB的中点,点D与点O重合,DF⊥AC于点M,DE⊥BC于点N,试判断线段OM与ON的数量关系,并说明理由.
探究展示:
小宇同学展示出如下正确的解法:
解:
OM=ON,证明如下:
连接CO,则CO是AB边上中线,
∵CA=CB,∴CO是∠ACB的角平分线.(依据1)
∵OM⊥AC,ON⊥BC,∴OM=ON.(依据2)
反思交流:
(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指:
依据1:
依据2:
(2)你有与小宇不同的思考方法吗?
请写出你的证明过程.
拓展延伸:
(3)将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置,使点D落在BA的延长线上,FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M,BC的延长线与DE垂直相交于点N,连接OM、ON,试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系,并写出证明过程.
3.(2012福建厦门10分)已知
ABCD,对角线AC与BD相交于点O,点P在边AD上,过点P分
别作PE⊥AC、PF⊥BD,垂足分别为E、F,PE=PF.
(1)如图,若PE=
,EO=1,求∠EPF的度数;
(2)若点P是AD的中点,点F是DO的中点,BF=BC+3
-4,求BC的长.
4.(2012甘肃白银10分)如图,点A,B,C,D在⊙O上,AB=AC,AD与BC相交于点E,
,延长DB到点F,使
,连接AF.
(1)证明:
△BDE∽△FDA;
(2)试判断直线AF与⊙O的位置关系,并给出证明.
5.(2012广东广州14分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD的中点,CE⊥AB于E,设∠ABC=α(60°≤α<90°).
(1)当α=60°时,求CE的长;
(2)当60°<α<90°时,
①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?
若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
②连接CF,当CE2﹣CF2取最大值时,求tan∠DCF的值.
6.(2012广东肇庆10分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC于点E,交BC于点D,连结BE、AD交于点P.求证:
(1)D是BC的中点;
(2)△BEC∽△ADC;
(3)ABCE=2DPAD.
7.(2012贵州毕节14分)如图,AB是⊙O的直径,AC为弦,D是
的中点,过点D作EF⊥AC的延长线于E,交AB的延长线于E,交AB的延长线于F。
(1)求证:
EF是⊙O的切线;
(2)若
∠F=
,AE=4,求⊙O的半径和AC的长。
8.(2012江苏泰州12分)如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5,OA与⊙O相交于点
P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C.
(1)试判断线段AB与AC的数量关系,并说明理由;
(2)若PC=
,求⊙O的半径和线段PB的长;
(3)若在⊙O上存在点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,求⊙O的半径r的取值范围.
9.(2012江苏南京10分)如图,A、B为⊙O上的两个定点,P是⊙O上的动点(P不与A、B重合),我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角。
(1)已知∠APB是
上关于点A、B的滑动角。
①若AB为⊙O的直径,则∠APB=
②若⊙O半径为1,AB=
,求∠APB的度数
(2)已知
为
外一点,以
为圆心作一个圆与
相交于A、B两点,∠APB为
上关于点A、B的滑动角,直线PA、PB分别交
于点M、N(点M与点A、点N与点B均不重合),连接AN,试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。
10.(2012四川宜宾10分)如图,⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点,其中⊙O1的半径r1=2,⊙O2的半径r2=
.过点Q作CD⊥PQ,分别交⊙O1和⊙O2于点C.D,连接CP、DP,过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A.B,连接AP、BP、AC.DB,且AC与DB的延长线交于点E.
(1)求证:
;
(2)若PQ=2,试求∠E度数.
11.(2012四川广安9分)如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求证:
直线CP是⊙O的切线.
(2)若BC=2
,sin∠BCP=
,求点B到AC的距离.
(3)在第
(2)的条件下,求△ACP的周长.
12.(2012四川达州7分)如图,C是以AB为直径的⊙O上一点,过O作OE⊥AC于点E,过点A作
⊙O的切线交OE的延长线于点F,连结CF并延长交BA的延长线于点P.
(1)求证:
PC是⊙O的切线.
(2)若AF=1,OA=
,求PC的长.
13.(2012四川德阳14分)如图,已知点C是以AB为直径的⊙O上一点,CH⊥AB于点H,过点B作⊙O的切线交直线AC于点D,点E为CH的中点,连结并延交BD于点F,直线CF交AB的延长线于G.
⑴求证:
AE·FD=AF·EC;
⑵求证:
FC=FB;
⑶若FB=FE=2,求⊙O的半径r的长.
14.(2012四川资阳9分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点
,连结DE,过点B作BP平行于DE,交⊙O于点P,连结EP、CP、OP.
(1)(3分)BD=DC吗?
说明理由;
(2)(3分)求∠BOP的度数;
(3)(3分)求证:
CP是⊙O的切线;
如果你解答这个问题有困难,可以参考如下信息:
为了解答这个问题,小明和小强做了认真的探究,然后分别用不同的思路完成了这个题目.在进行小组交流的时候,小明说:
“设OP交AC于点G,证△AOG∽△CPG”;小强说:
“过点C作CH⊥AB于点H,证四边形CHOP是矩形”.
15.(2012山东滨州12分)如图1,l1,l2,l3,l4是一组平行线,相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度,正方形ABCD的4个顶点A,B,C,D都在这些平行线上.过点A作AF⊥l3于点F,交l2于点H,过点C作CE⊥l2于点E,交l3于点G.
(1)求证:
△ADF≌△CBE;
(2)求正方形ABCD的面积;
(3)如图2,如果四条平行线不等距,相邻的两条平行线间的距离依次为h1,h2,h3,试用h1,h2,h3
表示正方形ABCD的面积S.
16.(2012山东泰安10分)如图,E是矩形ABCD的边BC上一点,EF⊥AE,EF分别交AC,CD于点M,F,BG⊥AC,垂足为C,BG交AE于点H.
(1)求证:
△ABE∽△ECF;
(2)找出与△ABH相似的三角形,并证明;
(3)若E是BC中点,BC=2AB,AB=2,求EM的长.
17.(2012山东聊城10分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC=10,BC=12,P是
上的一个动点,过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D.
(1)当点P在什么位置时,DP是⊙O的切线?
请说明理由;
(2)当DP为⊙O的切线时,求线段DP的长.
18.(2012山东东营10分)
(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:
CE=CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用
(1)的结论证明:
GE=BE+GD.
(3)运用
(1)
(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.
19.(2012广西来宾10分)如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E.
(1)求证:
DE是⊙O的切线;
(2)如图AD=5,AE=4,求⊙O的直径.
20.(2012广西柳州10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦.
(1)请你按下面步骤画图(画图或作辅助线时先使用铅笔画出,确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑);
第一步,过点A作∠BAC的角平分线,交⊙O于点D;
第二步,过点D作AC的垂线,交AC的延长线于点E.
第三步,连接BD.
(2)求证:
AD2=AE•AB;
(3)连接EO,交AD于点F,若5AC=3AB,求
的值.
21.(2012广西桂林10分)如图,等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,⊙O1经过⊙O2的圆心,顺次连接A、O1、B、O2.
(1)求证:
四边形AO1BO2是菱形;
(2)过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E,连接CO2交AE于D,求证:
CE=2O2D;
(3)在
(2)的条件下,若△AO2D的面积为1,求△BO2D的面积.
22.(2012广西北海10分)如图,AB是O的直径,AE交O于点E,且与O的切线CD互相垂直,垂足为D。
(1)求证:
∠EAC=∠CAB;
(2)若CD=4,AD=8:
①求O的半径;
②求tan∠BAE的值。
23.(2012内蒙古呼和浩特8分)如图,已知AB为⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,线段OP与弦AC垂直并相交于点D,OP与弧AC相交于点E,连接BC.
(1)求证:
∠PAC=∠B,且PA•BC=AB•CD;
(2)若PA=10,sinP=
,求PE的长.
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