北师大版数学八年级下册第一章12直角三角形课时练习.docx
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北师大版数学八年级下册第一章12直角三角形课时练习.docx
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北师大版数学八年级下册第一章12直角三角形课时练习
北师大版数学八年级下册第一章1.2直角三角形课时练习
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.下列命题中不正确的是( )
A.平行四边形是中心对称图形
B.斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等
C.两个锐角分别相等的两直角三角形全等
D.一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等
2.将一副直角三角尺如图放置,若∠AOD=20°,则∠BOC的大小为()
A.140°B.160°C.170°D.150°
3.Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=46°,则∠A=
A.44°B.34°C.54°D.64°
4.如图所示,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1+∠2的度数是( )
A.30°B.60°C.90°D.120°
5.如图,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需补充的条件是( )
A.∠BAC=∠BADB.AC=AD或BC=BDC.AC=AD且BC=BDD.以上都不对
6.下列可使两个直角三角形全等的条件是( )
A.一条边对应相等B.两条直角边对应相等
C.一个锐角对应相等D.两个锐角对应相等
7.如图,O是∠BAC内一点,且点O到AB,AC的距离OE=OF,则△AEO≌△AFO的依据是()
A.HLB.AASC.SSSD.ASA
8.如图所示,AB⊥BD,AC⊥CD,∠D=35°,则∠A的度数为( )
A.65°B.35°C.55°D.45°
9.在直角三角形中,其中一个锐角是另一个锐角的2倍,则此三角形中最小的角是
A.15°B.30°C.60°D.90°
10.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为( )
A.100度B.120度C.135度D.140度
11.如图所示,H是△ABC的高AD,BE的交点,且DH=DC,则下列结论:
①BD=AD;②BC=AC;③BH=AC;④CE=CD中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
12.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么这两个直角三角形全等的依据是( )
A.SSSB.AASC.SASD.HL
13.如图,在△ABC中,∠C=60°,∠B=50°,D是BC上一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则∠EDF的度数为( )
A.90°B.100°C.110°D.120°
14.已知,如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,则图中相等的锐角的对数有( )
A.4对B.3对C.2对D.1对
15.下列说法错误的是( )
A.直角三角板的两个锐角互余
B.经过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
C.如果两个角互补,那么,这两个角一定都是直角
D.平行于同一条直线的两条直线平行
二、填空题
16.如图:
△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件:
_____,使△ABD≌△CEB.
17.如图,已知AB⊥CD,垂足为B,BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是__________.
18.如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,∠1=∠2,有下列结论:
(1)AC∥DE;
(2)∠A=∠3;(3)∠B=∠1;(4)∠B与∠2互余;(5)∠A=∠2.其中正确的有(填写所有正确的序号).
19.在一个直角三角形中,有一个锐角等于30°,则另一个锐角的大小为______度.
20.如图,△ABC中,H是高AD、BE的交点,且BH=AC,则∠ABC=________.
三、解答题
21.如图,已知∠A=∠D=90°,E、F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF.求证:
Rt△ABF≌Rt△DCE.
22.已知:
AB⊥BC,AD⊥DC,∠1=∠2,问:
△ABC≌△ADC吗?
说明理由.
23.如图,∠A=∠B=90°,E是AB上一点,且AE=BC,∠1=∠2.求证:
△ADE≌△BEC.
24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠ACD=∠B,求证:
CD⊥AB.
25.在△ABC中,OE⊥AB,OF⊥AC且OE=OF.
(1)如图,当点O在BC边中点时,试说明AB=AC;
(2)如图,当点O在△ABC内部时,且OB=OC,试说明AB与AC的关系;
(3)当点O在△ABC外部时,且OB=OC,试判断AB与AC的关系.(画出图形,写出结果即可,无须说明理由)
参考答案
1.C
【解析】
解:
A.平行四边形是中心对称图形,说法正确;
B.斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等,说法正确;
C.两个锐角分别相等的两直角三角形全等,说法错误;
D.一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等,说法正确.
故选C.
2.B
【解析】
试题分析:
根据∠AOD=20°可得:
∠AOC=70°,根据题意可得:
∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+70°=160°.
考点:
角度的计算
3.A
【解析】
解:
∵∠C=90°,∠B=46°,∴∠A=90°﹣46°=44°.故选A.
4.C
【解析】
试题分析:
由题意得,剩下的三角形是直角三角形,
所以,∠1+∠2=90°.
故选C.
考点:
直角三角形的性质
5.B
【分析】
根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,因图中已经有AB为公共边,再补充一对直角边相等的条件即可.
【详解】
解:
从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边,也是公共边.根据“HL”定理,证明Rt△ABC≌Rt△ABD,还需补充一对直角边相等,即AC=AD或BC=BD,
故选B.
【点睛】
此题主要考查学生利用“HL”证明直角三角形全等这一知识点的理解和掌握,比较简单,属于基础题.
6.B
【解析】
解:
两直角三角形隐含一个条件是两直角相等,要判定两直角三角形全等,起码还要两个条件,故可排除A、C;
而D构成了AAA,不能判定全等;
B构成了SAS,可以判定两个直角三角形全等.
故选B.
7.A
【解析】
试题分析:
利用点O到AB,AC的距离OE=OF,可知△AEO和△AFO是直角三角形,然后可直接利用HL求证△AEO≌△AFO,即可得出答案.
解:
∵OE⊥AB,OF⊥AC,∴∠AEO=∠AFO=90°,
又∵OE=OF,AO为公共边,∴△AEO≌△AFO.
故选A.
点评:
此题考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握,解答此题的关键是利用题目中给出的已知条件判定△AEO和△AFO是直角三角形.
8.B
【解析】
【分析】
先由AB⊥BD,AC⊥CD可得∠B=∠C=90°,再根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°,由对顶角相等有∠AEB=∠CED,然后利用等角的余角相等得出∠A=∠D=35°.
【详解】
解:
∵AB⊥BD,AC⊥CD,
∴∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°.
又∵∠AEB=∠CED,
∴∠A=∠D=35°.
故选B.
【点睛】
本题考查了直角三角形两锐角互余的性质,对顶角相等的性质,等角的余角相等的性质,还考查了垂直的定义.
9.B
【解析】
解:
设较小的锐角是x°,则另一个锐角是2x°.
由题意得:
x+2x=90,解得x=30.
即此三角形中最小的角是30°.
故选B.
10.C
【解析】
解:
如图,∵∠C=90°,∴∠BAC+∠ABC=180°﹣90°=90°.
∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的平分线,∴∠OAB+∠OBA=
×90°=45°,
∴∠AOB=180°﹣(∠OAB+∠OBA)=180°﹣45°=135°.故选C.
点睛:
本题考查了直角三角形两锐角互余的性质,角平分线的定义,三角形内角和定理,整体思想的利用是解答本题的关键,作出图形更形象直观.
11.B
【解析】
解:
①∵BE⊥AC,AD⊥BC,∴∠AEH=∠ADB=90°.
∵∠HBD+∠BHD=90°,∠EAH+∠AHE=90°,∠BHD=∠AHE,∴∠HBD=∠EAH.
∵DH=DC,∴△BDH≌△ADC(AAS),∴BD=AD,BH=AC;
②∵BC=AC,∴∠BAC=∠ABC.
由①知,在Rt△ABD中,∵BD=AD,∴∠ABC=45°,∴∠BAC=45°,∴∠ACB=90°.
∵∠ACB+∠DAC=90°,∠ACB<90°,∴结论②为错误结论.
③由①证明知,△BDH≌△ADC,∴BH=AC;
④∵CE=CD,∠ACB=∠ACB;∠ADC=∠BEC=90°,∴△BEC≌△ADC,由于缺乏条件,无法证得△BEC≌△ADC,∴结论④为错误结论.
综上所述,结论①,③为正确结论,结论②,④为错误结论,根据题意故选B.
故选B.
点睛:
本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
12.C
【解析】解:
两边及夹角对应相等的两个三角形全等,这为“边角边”定理,简写成“SAS”.故选C.
13.C
【解析】
解:
在△ABC中,∵∠C=60°,∠B=50°,∴∠A=70°.
∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴∠AED=∠AFD=90°,∴∠EDF=360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=110°.故选C.
点睛:
本题考查了直角三角形的性质.注意利用隐含在题中的已知条件:
三角形内角和是180°、四边形的内角和是360°.
14.C
【解析】
解:
相等的锐角有:
∠B=∠CAD,∠C=∠BAD共2对.故选C.
15.C
【解析】解:
A.直角三角形中的两个锐角互余,所以直角三角板的两个锐角互余,故本选项说法正确;
B.根据平行公理可知:
过直线外一点作已知直线的平行线,能作且只能作一条,故本选项说法正确;
C.如果两个角互补,那么,这两个角和一定是180°,但是它们不一定都是直角,故本选项说法错误;
D.根据平行线的传递性知平行于同一条直线的两条直线平行.故本选项说法正确.
故选C.
16.BD=BE或AD=CE或BA=BC
【解析】
∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,
∴∠BEC=∠AEC=90°,
在Rt△AEH中,∠EAH=90°﹣∠AHE,
又∵∠EAH=∠BAD,
∴∠BAD=90°﹣∠AHE,
在Rt△AEH和Rt△CDH中,∠CHD=∠AHE,
∴∠EAH=∠DCH,
∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE,
所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB;
根据ASA添加AE=CE.
可证△AEH≌△CEB.
故填空答案:
AH=CB或EH=EB或AE=CE.
【点睛】开放型题型,根据垂直关系,可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等,就只需要找它们的一对对应边相等就可以了.
17.AC=DE
【解析】
用“HL”判定△ABC≌△DBE,已知BC=BE,再添加斜边DE=AC即可.
18.
(1)、
(2)、(3)
【解析】
试题分析:
根据∠1=∠2,即内错角相等,两直线平行可得AC∥DE,则①正确;根据∠1+∠3=∠1+∠A=90°可得∠3=∠A,则②正确;根据∠1+∠3=∠3+∠B=90°可得∠B=∠1,则③正确;根据平行可得DE⊥BC,则∠3+∠2=∠B+∠3=90°,则∠2=∠B,则④错误;根据∠1=∠2,∠1≠∠A可得∠2≠∠A,则⑤错误.
考点:
(1)、平行线的判定;
(2)、角互余的性质
19.60
【解析】
解:
∵三角形是直角三角形,一个锐角等于30°,∴另一个锐角为90°﹣30°=60°.
故答案为60.
20.45°
【解析】
【分析】
根据题意证△HBD≌△CAD,推出AD=DB,推出∠DAB=∠DBA,根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠ABD,即可求出答案.
【详解】
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°,
∴∠HBD+∠C=∠CAD+∠C=90°,
∴∠HBD=∠CAD,
∵在△HBD和△CAD中,
,
∴△HBD≌△CAD(AAS),
∴AD=BD,
∴∠DAB=∠DBA,
∵∠ADB=90°,
∴∠ABD=45°,
即∠ABC=45°
故答案为:
45°
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质,解题关键在于掌握判定定理.
21.证明见解析.
【解析】
【分析】
由于△ABF与△DCE是直角三角形,根据直角三角形全等的判定的方法即可证明.
【详解】
∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,
∵∠A=∠D=90°,
∴△ABF与△DCE都为直角三角形,
在Rt△ABF和Rt△DCE中,
BF=CE,AB=CD,
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).
22.见解析
【解析】
试题分析:
根据全等三角形的判定定理AAS进行证明.
试题解析:
解:
△ABC≌△ADC.理由如下:
∵AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B=∠D=90°.
在△ABC与△ADC中,∵
,∴△ABC≌△ADC(AAS).
点睛:
本题考查了全等三角形的判定.注意挖掘出隐含在题中的已知条件:
AC是公共边.
23.证明见解析
【解析】
试题分析:
由∠1=∠2,可得DE=CD,根据证明直角三角形全等的“HL”定理,证明即可.
试题解析:
∵∠1=∠2,
∴DE=EC.
又∵∠A=∠B=90°,AE=BC,
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).
点睛:
本题主要考查了全等三角形的判定与性质和直角三角形的判定,证明三角形全等时,关键是根据题意选取适当的条件.
24.证明过程见解析
【解析】
试题分析:
由
可得
,由
,根据等量代换可得
,从而
,接下来,依据垂线的定义可得到AB和CD的位置关系.
证明:
在
中,
,
∴
,
又∵
,
∴
,
∴
,
∴
.
点睛:
本题主要就是依据三角形的内角和定理和垂线的定义求解的.当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.
25.见解析
【解析】
试题分析:
(1)证△BOE≌△COF,可得∠B=∠C,通过等角对等边,得出AB=AC;
(2)与
(1)类似,在证得△BOE≌△COF后,得∠OBE=∠OCF,OB=OC;则∠OBC=∠OCB,可证得∠ABC=∠ACB,根据等角对等边得出AB=AC;
(3)由前两问的解答过程可知,BC的垂直平分线与∠A的角平分线重合时,AB=AC的结论才成立(等腰三角形三线合一).
试题解析:
(1)证明:
∵OE=OF,OB=OC,∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL),∴∠B=∠C,∴AB=AC.
(2)AB=AC.证明如下:
同
(1)可证得Rt△OBE≌Rt△OCF,∴∠OBE=∠OCF.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC.
解:
当BC的垂直平分线与∠A的平分线重合时,AB=AC成立,如图①;
当BC的垂直平分线与∠A的平分线不在一条直线上时,结论不成立,如图②.(图形不唯一,符合题意,画图规范即可).
点睛:
此题主要考查的是全等三角形的判定和性质,以及等腰三角形的判定.
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