勾股定理的简单应用 答案版.docx
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勾股定理的简单应用答案版
2018年10月18日勾股定理的简单应用
一.选择题(共6小题)
1.如图,一个梯子AB长2.5米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米,梯子滑动后停在DE的位置上,测得BD长为0.9米,则梯子顶端A下落了( )
A.0.9米B.1.3米C.1.5米D.2米
2.如图,盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm,盒内可放木棒最长的长度是( )
A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm
3.如图,已知1号、4号两个正方形的面积和为7,2号、3号两个正方形的面积和为4,则a,b,c三个正方形的面积和为( )
A.11B.15C.10D.22
4.如图①所示,有一个由传感器A控制的灯,要装在门上方离地高4.5m的墙上,任何东西只要移至该灯5m及5m以内时,灯就会自动发光.请问一个身高1.5m的学生走到D处,灯恰好自动发光,则BD的长为( )
A.3米B.4米C.5米D.7米
5.某中学旁边有一块三角形空地,为了保持水土,美化环境,全校师生一齐动手,在空地的三条边上栽上了树苗(如图).已知三边上的树苗数分别为50、14、48,空地的三个角均有一棵树,且每条边上的树苗株距均为1米,那么这块空地的形状为( )
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定
6.(读诗解题)有诗曰:
“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士好奇,算出索长有几?
”(注:
一步合五尺)( )
A.12尺B.13.5尺C.14.5尺D.15.5尺
二.填空题(共3小题)
7.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图,根据图中的尺寸(单位:
cm),计算两个圆孔中的A和B的距离为 cm.
8.图中的两个滑块A,B由一个连杆连接,分别可以在垂直和水平的滑道上滑动.开始时,滑块A距O点20厘米,滑块B距O点15厘米.问:
当滑块A向下滑到O点时,滑块B滑动了 厘米.
9.一长方体容器(如图1),长、宽均为2,高为8,里面盛有水,水面高为5,若沿底面一棱进行旋转倾斜,倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示,若倾斜容器使水恰好倒出容器,则CD= .
三.解答题(共5小题)
10.如图,小明所在学校的旗杆BD高约为13米,距离旗杆20米处刚好有一棵高约为3米的香樟树AE,活动课上,小明有意在旗杆与香樟树之间的连线上来回踱步,发现有一个位置到旗杆顶部与树顶的距离相等,请你求出该位置与旗杆之间的距离.
11.设在一条小巷内,∠A=∠B=90°,一个梯子的底脚位于点P处,当该梯子顶端靠在小巷一侧的墙上点Q时,梯子的倾斜角为45°,当顶端靠在小巷的另一侧墙上时,其顶端R离开地面高度为4米,且此时梯子的倾斜角为75°.
(1)求证:
△PQR是等边三角形;
(2)求小巷的宽度AB的长.
12.唐代诗人王之涣说“欲穷千里目,更上一层楼”,下面我们利用数学知识计算,到底要登上多少层楼才能“穷千里目”.如图,圆弧代表地球剖面的一部分,圆心为O,AB为直立于地面的某高层建筑,AC为站在楼顶处的视线,与地球半径OB、OC构成了Rt△AOC.设AC=500km(即1000里),取地球半径为6400km,楼AB每层高约3.2m.求楼AB至少要多少层才能“穷千里目”?
(参考数据:
64.22≈4121)
13.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造,测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形.求扩建后的等腰三角形花圃的周长.
14.如图1,四根长度一定的木条,其中AB=6cm,CD=15cm,将这四根木条用小钉绞合在一起,构成一个四边形ABCD(在A、B、C、D四点处是可以活动的).现固定AB边不动,转动这个四边形,使它的形状改变,在转动的过程中有以下两个特殊位置.
位置一:
当点D在BA的延长线上时,点C在线段AD上(如图2);
位置二:
当点C在AB的延长线上时,∠C=90°.
(1)在图2中,若设BC的长为x,请用x的代数式表示AD的长;
(2)在图3中画出位置二的准确图形;(各木条长度需符合题目要求)
(3)利用图2、图3求图1的四边形ABCD中,BC、AD边的长.
2018年10月18日勾股定理的简单应用
参考答案与试题解析
一.选择题(共6小题)
1.如图,一个梯子AB长2.5米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米,梯子滑动后停在DE的位置上,测得BD长为0.9米,则梯子顶端A下落了( )
A.0.9米B.1.3米C.1.5米D.2米
【解答】解:
在Rt△ACB中,AC2=AB2﹣BC2=2.52﹣1.52=4,
∴AC=2,
∵BD=0.9,
∴CD=2.4.
在Rt△ECD中,EC2=ED2﹣CD2=2.52﹣2.42=0.49,
∴EC=0.7,
∴AE=AC﹣EC=2﹣0.7=1.3.
故选:
B.
2.如图,盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm,盒内可放木棒最长的长度是( )
A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm
【解答】解:
本题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长为
=3
cm.
这根最长的棍子和矩形的高,以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形.
盒内可放木棒最长的长度是
=7cm.
故选:
B.
3.如图,已知1号、4号两个正方形的面积和为7,2号、3号两个正方形的面积和为4,则a,b,c三个正方形的面积和为( )
A.11B.15C.10D.22
【解答】解:
利用勾股定理可得Sa=S1+S2,Sb=S2+S3,Sc=S3+S4,
∴Sa+Sb+Sc=Sa=S1+S2+S2+S3+S3+S4=7+4+4=15.
故选:
B.
4.如图①所示,有一个由传感器A控制的灯,要装在门上方离地高4.5m的墙上,任何东西只要移至该灯5m及5m以内时,灯就会自动发光.请问一个身高1.5m的学生走到D处,灯恰好自动发光,则BD的长为( )
A.3米B.4米C.5米D.7米
【解答】解:
由题意可知.BE=CD=1.5m,AE=AB﹣BE=4.5﹣1.5=3m,AC=5m
由勾股定理得BD=CE=
=4m,
故离门4米远的地方,灯刚好打开.
故选:
B.
5.某中学旁边有一块三角形空地,为了保持水土,美化环境,全校师生一齐动手,在空地的三条边上栽上了树苗(如图).已知三边上的树苗数分别为50、14、48,空地的三个角均有一棵树,且每条边上的树苗株距均为1米,那么这块空地的形状为( )
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定
【解答】解:
∵三边上的树苗数分别为50、14、48,空地的三个角均有一棵树,且每条边上的树苗株距均为1米,
∴三边的长分别为13米、47米、49米,
假设为直角三角形且直角三角形的最长边为x,
则:
x2=132+472=2378,
∵492=2401>2378,
∴该三角形为钝角三角形.
故选:
B.
6.(读诗解题)有诗曰:
“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士好奇,算出索长有几?
”(注:
一步合五尺)( )
A.12尺B.13.5尺C.14.5尺D.15.5尺
【解答】解:
设绳索长为x尺,
则由题意得(x﹣4)2+102=x2
解得x=14.5(尺)
故选:
C.
二.填空题(共3小题)
7.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图,根据图中的尺寸(单位:
cm),计算两个圆孔中的A和B的距离为 10 cm.
【解答】解:
∵AC=10﹣4=6(cm),BC=12﹣4=8(cm),
∴AB=
=
=10(cm).
故答案为:
10.
8.图中的两个滑块A,B由一个连杆连接,分别可以在垂直和水平的滑道上滑动.开始时,滑块A距O点20厘米,滑块B距O点15厘米.问:
当滑块A向下滑到O点时,滑块B滑动了 10 厘米.
【解答】解:
由勾股定理得,AB=
=25厘米,
当滑块A向下滑到O点时,滑块B滑动了25厘米﹣15厘米=10厘米,
故答案为:
10.
9.一长方体容器(如图1),长、宽均为2,高为8,里面盛有水,水面高为5,若沿底面一棱进行旋转倾斜,倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示,若倾斜容器使水恰好倒出容器,则CD= 2
.
【解答】解:
如图所示:
设DE=x,则AD=8﹣x,
根据题意得:
(8﹣x+8)×2×2=2×2×5,
解得:
x=6,
∴DE=6,
∵∠E=90°,
由勾股定理得:
CD=
=
=2
,
故答案为:
2
.
三.解答题(共5小题)
10.如图,小明所在学校的旗杆BD高约为13米,距离旗杆20米处刚好有一棵高约为3米的香樟树AE,活动课上,小明有意在旗杆与香樟树之间的连线上来回踱步,发现有一个位置到旗杆顶部与树顶的距离相等,请你求出该位置与旗杆之间的距离.
【解答】解:
根据题意可得:
AE=3m,AB=20m,BD=13m.
如图,设该位置为点C,且AC=xm.
由AC=xm得:
BC=(20﹣x)m(1分)
由题意得:
CE=CD,则CE2=CD2,
∴32+x2=(20﹣x)2+132,
解得:
x=14,
∴CB=20﹣x=6,
由0<14<20可知,该位置是存在的.
答:
该位置与旗杆之间的距离为6米.
11.设在一条小巷内,∠A=∠B=90°,一个梯子的底脚位于点P处,当该梯子顶端靠在小巷一侧的墙上点Q时,梯子的倾斜角为45°,当顶端靠在小巷的另一侧墙上时,其顶端R离开地面高度为4米,且此时梯子的倾斜角为75°.
(1)求证:
△PQR是等边三角形;
(2)求小巷的宽度AB的长.
【解答】解:
(1)∵∠RPA=75°,∠QPB=45°,
∴∠QPR=60°.
∵PQ=PR,
∴△QPR为等边三角形.
(2)过点Q作QC⊥AR,垂足为C.
∵∠RPA=75°,
∴∠PRA=15°.
∵△QPR为等边三角形,
∴∠QRP=60°,PR=QR.
∴∠CRQ=75°.
∴∠CRQ=∠RPA.
在△RAP和△QCR中,
,
∴△RAP≌△QCR.
∴CQ=AR=4米.
∵∠A=∠B=∠ACQ=90°,
∴四边形ABQC为矩形.
∴AB=CQ=4米.
∴小巷的宽度AB的长为4米.
12.唐代诗人王之涣说“欲穷千里目,更上一层楼”,下面我们利用数学知识计算,到底要登上多少层楼才能“穷千里目”.如图,圆弧代表地球剖面的一部分,圆心为O,AB为直立于地面的某高层建筑,AC为站在楼顶处的视线,与地球半径OB、OC构成了Rt△AOC.设AC=500km(即1000里),取地球半径为6400km,楼AB每层高约3.2m.求楼AB至少要多少层才能“穷千里目”?
(参考数据:
64.22≈4121)
【解答】解:
在直角三角形AOC中,AC=500,OC=6400,
∴AO=
=
≈6420
∵OB=6400,
∴AB=20km=20000m,
∴楼AB的层数为:
20000÷3.2=62500
答:
至少要登上62500层楼才能穷千里目.
弧BC是可以近似看成AC的
13.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造,测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形.求扩建后的等腰三角形花圃的周长.
【解答】
解:
如图1,在Rt△ABC中,∵AC=8m,BC=6m,
∴AB=10m,
(1)如图1,当AB=AD时,CD=6m,
△ABD的周长为10m+10m+6m+6m=32m;
(2)如图2,当AB=BD时,CD=4m,AD=4
m
△ABD的周长是10m+10m+4
m=(20+4
)m;
(3)如图3,当DA=DB时,设AD=x,则CD=x﹣6,
则x2=(x﹣6)2+82,
∴x=
,
∴△ABD的周长是10m+
m+
m=
m,
答:
扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m或20+4
m或
m.
14.如图1,四根长度一定的木条,其中AB=6cm,CD=15cm,将这四根木条用小钉绞合在一起,构成一个四边形ABCD(在A、B、C、D四点处是可以活动的).现固定AB边不动,转动这个四边形,使它的形状改变,在转动的过程中有以下两个特殊位置.
位置一:
当点D在BA的延长线上时,点C在线段AD上(如图2);
位置二:
当点C在AB的延长线上时,∠C=90°.
(1)在图2中,若设BC的长为x,请用x的代数式表示AD的长;
(2)在图3中画出位置二的准确图形;(各木条长度需符合题目要求)
(3)利用图2、图3求图1的四边形ABCD中,BC、AD边的长.
【解答】解:
(1)∵在四边形ABCD的转动过程中,BC、AD边的长度始终保持不变,BC=x,
∴在图2中,AC=BC﹣AB=x﹣6,AD=AC+CD=x+9.
(2)∴位置二的图见图3.
(3)∵在四边形ABCD转动的过程中,BC、AD边的长度始终保持不变,
∴在图3中,BC=x,AC=AB+BC=6+x,AD=x+9,
∵图3中,△ACD为直角三角形,∠C=90°,
由勾股定理得:
AC2+CD2=AD2,
∴(6+x)2+152=(x+9)2
整理,得6x=180,
解得x=30
即BC=30,
∴AD=39.
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