最新精选高中数学第三章三角恒等变换3.docx
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最新精选高中数学第三章三角恒等变换3
【2019最新】精选高中数学第三章三角恒等变换3
学习目标:
1.能用二倍角公式导出半角公式,体会其中的三角恒等变换的基本思想方法,以及进行简单的应用.(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法,能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.(难点、易错点)
[自主预习·探新知]
半角公式
(1)sin=±,
(2)cos=±,
(3)tan=±,
(4)tan===,
tan===.
[基础自测]
1.思考辨析
(1)cos=.( )
(2)存在α∈R,使得cos=cosα.( )
(3)对于任意α∈R,sin=sinα都不成立.( )
(4)若α是第一象限角,则tan=.( )
[解析]
(1)×.只有当-+2kπ≤≤+2kπ(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,cos=.
(2)√.当cosα=-+1时,上式成立,但一般情况下不成立.
(3)×.当α=2kπ(k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不成立.
(4)√.若α是第一象限角,则是第一、三象限角,此时tan=成立.
[答案]
(1)×
(2)√ (3)× (4)√
2.已知180°<α<360°,则cos的值等于( )
A.- B.
C.-D.
C [∵180°<α<360°,∴90°<<180°,
又cos2=,∴cosα=-.]
3.已知2π<θ<4π,且sinθ=-,cosθ<0,则tan的值等于________.
-3 [由sinθ=-,cosθ<0得cosθ=-,
∴tan===
==-3.]
[合作探究·攻重难]
化简求值问题
(1)设5π<θ<6π,cos=a,则sin等于( )
A. B.
C.-D.-
(2)已知π<α<,化简:
+.
【导学号:
84352339】
[思路探究]
(1)先确定的范围,再由sin2=得算式求值.
(2)1+cosθ=2cos2,1-cosα=2sin2,去根号,确定的范围,化简.
(1)D [
(1)∵5π<θ<6π,∴∈,∈.
又cos=a,
∴sin=-=-.
(2)原式=+.
∵π<α<,∴<<,∴cos<0,sin>0,
∴原式=+
=-+=-cos.]
[规律方法] 1.化简问题中的“三变”
(1)变角:
三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:
观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:
观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.
2.利用半角公式求值的思路
(1)看角:
看已知角与待求角的2倍关系.
(2)明范围:
求出相应半角的范围为定符号作准备.
(3)选公式:
涉及半角公式的正切值时,常用tan==,涉及半角公式的正、余弦值时,常利用sin2=,cos2=计算.
(4)下结论:
结合
(2)求值.
提醒:
已知cosα的值可求的正弦、余弦、正切值,要注意确定其符号.
[跟踪训练]
1.已知cosθ=-,且180°<θ<270°,求tan.
[解] 法一:
∵180°<θ<270°,∴90°<<135°,即是第二象限角,∴tan<0,
∴tan=-=-=-2.
法二:
∵180°<θ<270°,即θ是第三象限角,
∴sinθ=-=-=-,
∴tan===-2.
三角恒等式的证明
求证:
=sin2α.
[思路探究] 法一:
切化弦用二倍角公式由左到右证明;
法二:
cos2α不变,直接用二倍角正切公式变形.
[证明] 法一:
用正弦、余弦公式.
左边=
==
==sincoscosα
=sinαcosα=sin2α=右边,
∴原式成立.
法二:
用正切公式.
左边==cos2α·=cos2α·tanα=cosαsinα=sin2α=右边,
∴原式成立.
[规律方法] 三角恒等式证明的常用方法
执因索果法:
证明的形式一般化繁为简;
左右归一法:
证明左右两边都等于同一个式子;
拼凑法:
针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同;
比较法:
设法证明“左边-右边=”或“左边右边=”;
分析法:
从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立
[跟踪训练]
2.求证:
=.
【导学号:
84352340】
[证明] 左边=
==
====右边.
所以原等式成立.
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合
已知函数f(x)=cos-2sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)求证:
当x∈时,f(x)≥-.【导学号:
84352341】
[思路探究] →→
→
[解]
(1)f(x)=cos-2sinxcosx=cos2x+sin2x-sin2x=sin2x+cos2x=sin,
所以T==π.
(2)证明:
令t=2x+,因为-≤x≤,
所以-≤2x+≤,
因为y=sint在上单调递增,在上单调递减,
所以f(x)≥sin=-,得证.
[规律方法] 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略:
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asinωx+bcosωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asinωx+φ+k或y=Acosωx+φ+k的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.
[跟踪训练]
3.已知函数f(x)=sin+2sin2(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
[解]
(1)∵f(x)=sin+2sin2
=sin+1-cos
=2+1
=2sin+1
=2sin+1,∴T==π.
(2)当f(x)取得最大值时,
sin=1,
有2x-=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z),
∴所求x的集合为.
三角函数在实际问题中的应用
[探究问题]
1.用三角函数解决实际问题时,通常选什么作为自变量?
求定义域时应注意什么?
提示:
通常选角作为自变量,求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响.
2.建立三角函数模型后,通常要将函数解析式化为何种形式?
提示:
化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式.
如图321所示,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样截取,才能使△OAB的周长最大?
【导学号:
84352342】
图321
[思路探究] →→
[解] 设∠AOB=α,△OAB的周长为l,则AB=Rsinα,OB=Rcosα,
∴l=OA+AB+OB
=R+Rsinα+Rcosα
=R(sinα+cosα)+R
=Rsin+R.
∵0<α<,∴<α+<,
∴l的最大值为R+R=(+1)R,此时,α+=,即α=,
即当α=时,△OAB的周长最大.
母题探究:
1.在例4条件下,求长方形面积的最大值.
[解] 如图所示,设∠AOB=α,则AB=Rsinα,OA=Rcosα.
设矩形ABCD的面积为S,则S=2OA·AB,
∴S=2Rcosα·Rsinα=R2·2sinαcosα=R2sin2α.
∵α∈,∴2α∈(0,π).
因此,当2α=,
即α=时,Smax=R2.
这时点A,D到点O的距离为R,
矩形ABCD的面积最大值为R2.
2.若例4中的木料改为圆心角为的扇形,并将此木料截成矩形,(如图322所示),试求此矩形面积的最大值.
图322
[解] 如图,作∠POQ的平分线分别交EF,GH于点M,N,连接OE,
设∠MOE=α,α∈,在
Rt△MOE中,ME=Rsinα,OM=Rcosα,
在Rt△ONH中,=tan,
得ON=NH=Rsinα,
则MN=OM-ON=R(cosα-sinα),
设矩形EFGH的面积为S,
则S=2ME·MN=2R2sinα(cosα-sinα)
=R2(sin2α+cos2α-)=2R2sin-R2,
由α∈,则<2α+<,
所以当2α+=,
即α=时,Smax=(2-)R2.
[规律方法] 应用三角函数解实际问题的方法及注意事项
方法:
解答此类问题,关键是合理引入辅助角,确定各量之间的关系,将实际问题转化为三角函数问题,再利用三角函数的有关知识求解
注意:
在求解过程中,要注意三点:
①充分借助平面几何性质,寻找数量关系②注意实际问题中变量的范围③重视三角函数有界性的影响
提醒:
在利用三角变换解决实际问题时,常因忽视角的范围而致误.
[当堂达标·固双基]
1.已知cosα=,α∈,则sin等于( )
【导学号:
84352343】
A. B.-
C.D.
A [由题知∈,∴sin>0,sin==.]
2.(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是减函数,则a的最大值是( )
A.B.
C.D.π
C [f(x)=cosx-sinx=cosx+.当x∈[0,a]时,x+∈,a+,所以结合题意可知,a+≤π,即a≤,故所求a的最大值是.故选C.]
3.函数f(x)=sin2x的最小正周期为________.
π [因为f(x)=sin2x=,
所以f(x)的最小正周期T==π.]
4.设a=sin2°+cos2°,b=1-2sin213°,c=,则a,b,c的大小关系是________.
c<a<b [a=cos60°sin2°+sin60°cos2°=sin62°,
b=1-2sin213°=cos26°=sin64°,
c==sin60°,又y=sinx在上为增函数,
∴c<a<b.]
5.召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图323所示).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,求cos2θ.
图323
[解] 由题意,5cosθ-5sinθ=1,θ∈,
所以cosθ-sinθ=.
由(cosθ+sinθ)2+(cosθ-sinθ)2=2,
所以cosθ+sinθ=,
所以cos2θ=cos2θ-sin2θ=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=.
小学语文学习必须了解的59个通假字,你的孩子都知道吗?
1、说(yuè):
通“悦”,愉快。
学而时习之,不亦说乎?
(《论语十则》)
2、女:
通“汝”,你。
知:
通“智”,聪明。
诲女知之乎?
……是知也。
(《论语十则》)
3、还:
通“旋”,回转,掉转。
扁鹊望桓侯而还走。
(扁鹊见蔡桓公))
4、齐:
通“剂”。
在肠胃,火齐之所及也。
(《扁鹊见蔡桓公》)
5、止:
通“只”。
担中肉尽,止有剩骨。
(《狼》)
6、亡:
通“无”
河曲智叟亡以应。
(《愚公移山》)
亡:
通“无”。
日之其所亡。
(《乐羊子妻》)
7、屏:
通“摒”。
屏弃而不用,其与昏与庸无以异也。
(《为学》)
8、帖:
通“贴”。
火:
通“伙”。
对镜帖花黄。
……火伴皆惊忙。
(《木兰诗》)
9、尔:
通“耳”,相当于“罢了”。
无他,但手熟尔。
(《买油翁》)
10、争:
通“怎”。
争渡,争渡,惊起一滩鸥鹭。
(《如梦令》李清照)
11、见,通“现”。
路转溪头忽见。
(《西江月》辛弃疾)
见:
通“现”。
才美不外见……(《马说》)
见:
通“现”。
何时眼前突兀见此屋。
(《茅屋为秋风所破歌》)
12、(《口技》)坐:
通“座”。
满坐寂然,无敢哗者。
13、扳:
通“攀”,牵,引。
日扳仲永环谒于邑人。
(《伤仲永》)
14、反:
通“返”。
寒暑易节,始一反焉。
(《愚公移山》)
15、惠:
通“慧”,聪明。
甚矣,汝之不惠。
(《愚公移山》)
16、厝:
通“措”,放置。
一厝逆东,一厝雍南。
(《愚公移山》)
17、那:
通“哪”,怎么。
问渠那得清如许。
(《观书有感》)
18、阙:
通“缺”。
两岸连山,略无阙处。
(《三峡》)
19、强:
通“僵”,僵硬。
昂首观之,项为之强。
(《闲情记趣》)
20、道:
通“导”,引导。
傧者更道,从大门入。
(《晏子故事两篇》)
21、曷:
通“何”。
缚者曷为者也?
(《晏子故事两篇》)
22、熙:
通“嬉”,开玩笑。
圣人非所与熙也。
(《晏子故事两篇》)
23、辑:
通“缉”,连缀。
饰以玫瑰,辑以翡翠。
(《买椟还珠》)
24、遽:
通“讵”,岂。
此何遽不为福乎?
(《塞翁失马》)
25、距:
通“拒”,挡。
……子墨子九距之。
(《公输》)
26、诎:
通“屈”,折服。
公输盘诎,而曰……(《公输》)
27、有:
通“又”。
舟首尾长约八分有奇。
(《核舟记》)
28、衡:
通“横”。
左手倚一衡木。
(《核舟记》)
衡:
通“横”,梗塞,这里指不顺。
困于心,衡于虑。
(《生于忧患,死于安乐》)
29、甫:
通“父”。
虞山王毅叔远甫刻。
(《核舟记》)
30、简:
通“拣”,挑选。
盖简桃核修狭者为之。
(《核舟记》)
31、错:
通“措”。
以君为长者,故不错意也。
(《唐雎不辱使命》)
32、仓:
通“苍”。
要离之刺庆忌也,仓鹰击于殿上。
(《唐雎不辱使命》)
33、裁:
通“才”,仅仅。
数至八层,裁如星点。
(《山市》)
34、適:
通“谪”。
发闾左適戍渔阳九百人。
(《陈涉世家》)
35、唱:
通“倡”,倡导。
为天下唱,宜多应者。
(《陈涉世家》)
36、以:
通“已”。
得鱼腹中书,固以怪之矣。
(《陈涉世家》)
37、被:
通“披”。
将军身被坚执锐。
(《陈涉世家》)
被:
通“披”。
同舍生皆被绮绣。
(《送东阳马生序》)
38、食:
通“饲”,喂。
食马者不知其能千里而食也。
(《马说》)
39、材:
通“才”。
食之不能尽其材。
(《马说》)
40、邪:
通“耶”,表示疑问,相当于“吗”。
其真无马邪?
(《马说》)
41、僇:
通“戮”,遭到贬谪。
自余为僇人,……(《始得西山宴游记》)
42、暴:
通“曝”。
而游者皆暴日中。
(《峡江寺飞泉亭记》)
43、畔:
通“叛”。
寡助之至,亲戚畔之。
(《得道多助,失道寡助》)
44、曾:
通“增”。
曾益其所不能。
(《生于忧患,死于安乐》)
45、拂:
通“弼”,辅佐。
入则无法家拂士。
(《生于忧患,死于安乐》)
46、具:
通“俱”,全,皆。
政通人和,百废具兴。
(《岳阳楼记》)
47、属:
通“嘱”。
属予作文以记之。
(《岳阳楼记》)
48、赀:
通“资”,资财,钱财。
馔酒食,持其赀去。
(《越巫》)
49、不:
通“否”。
客问元方:
“尊君在不?
”(《陈太丘与友期》)
50、直:
通“值”。
玉盘珍馐直万钱。
(《行路难》其一)
51、辟:
通“避”,躲避。
故患有所不辟也。
(《鱼我所欲也》)
52、辩:
通“辨”,辨别。
万钟则不辩礼义而受之。
(《鱼我所欲也》)
53、得:
通“德”,恩惠,这里是感激。
与:
通“欤”,语气词。
所识穷乏者得我与?
(《鱼我所欲也》)
54、乡:
通“向”,从前。
乡为身死而不受。
(《鱼我所欲也》)
55、信:
通“伸”。
欲信大义于天下。
(《隆中对》)
56、已:
通“以”。
自董卓已来……(《隆中对》)
57、徧:
通“遍”,遍及,普及。
小惠未徧,民弗从也。
(《曹刿论战》)
58、支:
通“肢”。
四支僵硬不能动。
(《送东阳马生序》)
59、埘:
通“橛”,指为栖鸡做的木架。
鸡栖于埘,日之夕矣,牛羊下来(《君子于役》)
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