北师大版八年级数学上册期末复习.docx

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北师大版八年级数学上册期末复习

北师大版《数学》（八年级|:

»知识点总结

第一章勾股定理

1、勾股定理

<1）直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2

（2）勾股定理的验证：

测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱岀入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）

（3）勾股定理的适用范围：

仅限于直角三角形

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a,b,c有关系丿+胪=己那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：

满足的三个正整数队橫c,称为勾股数。

常见的勾股数有：

（6,8,10）（3,4,5）（5,12,,13）（9,12,15）（70125）（9,40.41）

规律：

（1）.短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。

即当a为奇数且a

（5,12,,13）（72425）（9,40,41）

（2）大于2的任創禺数，2n（n>l）都可构成一组勾股数分别是：

2n,rM,i?

+]

如：

（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）

4、常见题型应用：

（1）己知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……

（2）己知任意一条的边长以及另夕卜两条边长之间的关系，求各边的长度//斜虹的高级周纳积……

（3）判定三角形形状：

a2+b2>c2锐角a2+哓4直角〜，a2+b2

判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之冋的大小关系；c.确定形状

（4）构建直角三角形解题

例1.己知直角三角形的两直角边之比为3：

4,斜边为10。

求直角三角形的两直角边。

解：

设两直角边为3x,4x,由题意知：

（3x）2+（4x）2=100,9x2+16x2=100,25x2=100,x2=4

.・・x=2,则3x=6,4x=8,故两直角边为6,8。

中卷嗽

（1）中考典题

例如图

（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图

（2）所示，测得得BD=0.5米,求梯子顶端A下落了多少米？

A

E

CBCBD

<1）（2〉

思维入门指串梯子顶端A下落的距离为AE,即求AE的长。

己知AB和BC.根据勾股定理可求AC,只要求出EC即可。

解:

在RtAACB中，AC2=AB2-BC?

=2.52-1.52=4,

...AC=2

VBD=0.5,:

.CD=2

在及AECD中，EC2=ED2-CD2=252-22=225

・・・EC=1.5

:

..4E=AC-EC=2-15=0.5答：

梯子顶端下滑了0.5米。

点拨：

要考虑梯子的长度不变。

例5.如图所示的一块地，AD=12m,CD=9m,ZADC=90°,AB=39m.BC=36m.求这块地的面积。

CB

思维入门指导：

求面租时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD，似乎不得要领，连结AC,求岀Sy-Sg即可。

AC2=CD2+AD2=122+92=225

・•・AC=15

在Z\ABC中，AB2=1521

AC2+BC2=152+362=1521

/.AB2=AC2+BC1,:

.Z.ACB=90°

■•-S皿-Sg=^ACBC-^.ADCD

=1x15x36-1x12x9=270-54=216（w2）

答：

这块地的面积是216平方米。

点拨：

此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。

第二章藏

基本知识回顾

1.无理数的引入。

无理数的定义无限不循环小数。

算术平方根定义如果一个非负数X的平方等于即亍=。

那么这个非负数X就叫做。

的算术平方根，记为石，算术平方根为非负数栃20

'正数的平方根有乏个，它们互为相反数

平方根＜0的平方根是0

负数没有平方根

2.无理数的表示

定义：

如果一个数的平方等于a,即x）=a,那么这个数就

叫做。

的平方根，记为±名

'正数的立方根是正数

立方根J负数的立方根是亜

0的立方根是g

定义：

如果一个数x的立方等于力即”=a,那么这个数x

就叫做。

的立方根，记为柘.

MM奥數和形懒淋谈

-、实数的概念及分类

1、实数的分类

正有理数

实数

负有理数

正无理数

无理数

无限不循环小数

负无理数

2、无理数：

无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如万眾等；

（2）有特定意义的数，如圆周率払或化简后含有兀的数，W3+8等；

（3）有一定规律，但并不循环的数，如0.1010010001—等；

（4）某些三角函数值，如sin60°等

二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数时一•对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0‘a=—b,反之亦成立。

2、绝对值

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a|R）。

零的绝对值是它本身，也可看■成它的相反数，若|a|=a,则归）；若|a|=・a,则定丄

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和・1。

零没有倒数。

4、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是——对应的，并能灵活运用。

5、估算

利用作负数解題的常见类型

例］.已知Vx-5+|y-3|=0,求子-2y的值。

解：

V7x^5>0,|j-3|>0,HVx^5+|v-3|=0

/.Jx-5=0,\y—3|=0

.•.x—5=0,y-3=0

.・・x=5,y=3

:

.x2-2y=25-6=19

点拨：

利用算术平方根，绝对值非负性解题。

三、平方根、算数平方根和立方根

1、算术平方根：

一般地，如果一个正数x的平方等于a,即』，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：

记作“*”，读作根号a。

性质：

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：

一般地，如果一个数x的平方等于a,即宀，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方粉。

表示方法：

正数a的平方根记做“土石”，读作“正、负根号a”。

性质：

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：

求f数a的平方根的运算，叫做开平方。

注意切的双重非负性：

被开方数与结果均为非负数。

即a\0,

3、立方根

一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方勘。

表示方法：

记作栃性质：

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：

代=-布，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

四、实数大小的比较

1、实数比较大小：

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

2、实数大小比较的几种常用方

（1）数轴比较：

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：

设a、b是实数，

a-b>0Oa>b,

a-b=0Oa=b,

a-b<0a

（3）求商比较法：

设a、b是两正实数，

—>1<=><7>d;—=1=a=b,—v1=。

vb;

bbb

（4）绝对值比较法：

设a、b是两负实数，则同>㈣。

々<》。

（5）平方法：

设a、b是两负实数，则。

2>b2^a

（6）倒数法：

设a、b是同正，如果l/a>l/b,则。

勺；同负，如果l/a>l/b,则a>b

五、算术平方根有关计算（二次根式）

1、含有二次根号“丁被开方数a必须是非负数。

2、渤：

（1）（V^）2=a（a>0）

（2）=同=rQ（。

20）

1-a（a<0）

（3）4ab=4a9y[b（a>0;b>0）（.Ja•4b=4ab{a>0,6>0））

（a>Q,b>Q）

（普睁*>o））

3、运算结果若含有“4a“形式，必须满足:

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

六、实数的运算

（1）六种运算：

加、减、乘、除、乘方、开方

（2）实数的运算顺序

先算乘方和开方,

再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

加法交换律

乘法对加法的分配律a（b+c'）=ab+ac

例.计算：

（1）（心+1）（整-1）=；

（2）（右+75）（占-很）=；

（3）（2+妁（2-搭）=;

（4）（右+2）（右-2）=

通过以上计算，观察规律，写出用n（n为正整数）表示上面规律的等式解.（盘）2-1=1；（右F-（很）2=1；4-（Vi）'”（名）二4=1规律：

（扁1+佝（向一仞=1

第三章图形的平移与旌转

一、平移

1、定义：

在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

2、要素（或条件）：

方向，即前后对应点的射线方向；距离，即对应点之间的距离

3、性质：

平移前后两个图形的形状和大小不变（即全等图形），对应点龄平行（或在同

一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。

4、平移作图：

线段的平移作法：

作法1：

将线段两端点分别平移，然后将两个平移后的点连成线段，即为原线段平移

后的线段；

作法2：

将线段一端点平移，然后过平移后的点作原线段的平行线，在该平行线适当

方向截取长度为指定线段长度，则所得线段为所求

二旋转

1、定义：

在平面内，将f图形绕某一定点沿某个方向转动f角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、要素（或条件）：

旋转中心（定点）、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度（3368）

3、性质：

旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角o

4、旋转作图：

⑴作图步骤：

观察基本图案（确定关键点）一确定旋转的三要素找到对应点一连接对应点~脩

（2）旋转作图的方法：

1、把各关键点依次与旋转中心连接

2、按要求向顺时针/逆时针旋转相应角度

3、截取对应題

4、连接对应点

5、作答

三、简氓的图案设计：

第四章四边形性顚索

一、四边形的相关概念

1、四边形：

在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。

2、四边形具有不稳定性

3、四边形的内角和定理及外角和定理

四边形的内角和定理：

四边形的内角和等于360°o

四边形的外角和定理：

四边形的夕卜角和等于360°o

推论：

多边形的内角和定理：

n边形的内角和等于（n-2）X180°?

多边形的外角和定理：

任意多边形的夕卜角和等于360°。

6、设多边形的边数为n,从n边形的f顶点出发能引3-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形。

多边形的对角线共有匹尸条。

二、平行四边形

1、平行四边形的定义

两组对边分别平行的.四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的慟

（1）平行四边形的对边平行且相等。

（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：

（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：

夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定

（1）定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：

对角线互相平分的四边形是平行四边形

（5）定理4：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、两条平行线之间的距离（平行线间的距离处处相等）

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

5、平行四边形的面积：

S边长乂高二北

三、菱形

1、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

（1）菱形的四条边相等，对边平行

（2）菱形的相邻的角互补，对角相等

（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角

（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3、菱形的判定

（1）定义：

有-＜邻边相等的平行四边形是菱形

（2）定理1：

四边都相等的四边形是菱形

（3）定理2：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积

S剛=底边长X高=两条对角线乘积的一半

四、矩形

1、矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

（1）矩形的对边平行且相等

（2）矩形的四个角相等，都是直角

（3）矩形的对角线相等且互相平分

（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。

3、矩形的判定

（1）定义：

有f角是直角的平行四边形是矩形

（2）定理1：

有三个角是直角的四边形是矩形

（3）定理2：

对角线相等的平行四边形是矩形

4、矩形的面积：

S^=K：

X®=ab

五、正方形（3~10分）

1、正方形的定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

（1）正方形四条边都相等，对边平行

（2）正方形的四个角都是直角

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条,是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。

3、正方形的判定

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证它是菱形。

先证它是菱形，再证它是矩形。

4、正方形的面积

设正方形边长为a,对角线长为b

Si2=守

例1.菱形的周长为20cm,相邻两内角的比为1：

2,求菱形的面积？

解:

如图所示，菱形ABCD.由于周长为20cm,..・AB=5cm

又•.•£：

4=2：

1,

.•.匕4=120°,ZB=60°

.过点A作BC的垂线，垂足为E.贝iJZBAE=30°

ae=Jab2-be

S瑟=—V3x5=-用cm《

另-•种解法：

如图所示，连结AC、BD,相交于点O。

AD

BC

vZBAD:

ZABC=2:

1

.\ZABC=60c,又•；AB=8C

.•.△ABC是等边三角形，.・・AC=5

又"*.

5LAO1BD,OB=^AB2-OA2

点拨：

菱形的两种求面积的方法都比较常用，注意根据题中所给的条件灵活选择。

有时要与一些特殊角，比如30°、60。

角的特殊性质联系起来。

六、梯形

（_）1、梯形的相关概念

组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。

梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。

梯形的两底的距离叫做梯形的高。

2、梯形的判定

（1）定义法：

对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

（二）直角梯形的定义：

一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地，梯形的分类如下：

r一般梯形

梯2r直角梯形

特殊食形

等腰梯形

（三）等腰梯形

1、等腰梯形的定义

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2、等腰梯形的性质

（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。

⑵等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补，不同底的两个角互补。

（3）等腰梯形的对角线相等。

⑷等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

3、等腰梯形的判定

（1）定义：

两腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

（3）对角缴目等的梯形是等腰梯形。

（选择题硒空题可直接用）

（四）梯形的面积

⑴如图'5_=舟+狈•班

（2）梯形中有关图形的面积：

①公必-、阻虻；

2S^OD~S昭OC；

3S&4DC=SMCD

七、有关中点瞰形问题的知识点：

（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是'I行四边形;

（2）顺次连接坦虚的四边中点所得的四边形是空；

⑶顺次连接菱虚的四边中点所得的四边形是_2；

（4）顺次连接箸腰梯形的四边中点所得的四边形是菱巳;

⑸顺次连接对甘线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形;

（6）顺次连接对角线里延直的四边形四边中点所得的四边形是―；

（7）顺次连接对角线心II材［IL相等的四边形四边中点所得的四边形是"3

八、中心对称图形

1、定义

在平面内，一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

2、慟

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3、判定

如果两个图形的对应点龄都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

例作图，作岀AABC绕。

点旋转180。

后的图形。

解：

作法：

（1）连结AO并延长在延长线上截取AO=AO

（2）连结BO并延长在延长线上截取B'O=BO

（3）连结CO并延长在延长线上截取CO=CO

（4）顺次堡吉A'B',B'C',CAo

△ABC即为所求。

九、四逝眩、桐眩、爲眩、正方形、梯形、舞辭形、直角梯形fi眺系:

例如图所示，梯形ABCD.AC=BD,这个梯形是等腰梯形吗？

说明理由。

解：

是等腰梯形，理由如下:

把AC平移到DE的位置，则四边形ACED是平行四边形

•「DE=BD,Z1=Z2

AZ2=Z3,AZ1=Z3

在Z\DBC和/XACB中，DB=AC.Z1=Z3,BC=CB

.•.△DBC竺/XACB（SAS）

.*.DC=AB

.•・梯形ABCD是等腰梯形。

例1.如豳i示，適?

ABCD中，AB=4,BC=8,将矩畛SAC折叠，点D落在点。

处，则重疊部分AAEC的硒核少？

解：

VCD,=CD=AB.ZCED^ZAEB.ZD'=ZB=90°

ACED'=^AEB

:

.CE=AE,D'E=BE

=x,贝iJCE=8-x,贝【U£=8—x在mMBE中，有42+x2=（8-x）2

x=3

则S淄=!

><4x3=6

=?

x4x8=16

,SMEC=1°

点拨：

设未知数列方程有时是解决几何问题的重要方法。