《向量知识框架》.docx
- 文档编号:17325836
- 上传时间:2023-07-24
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:109.75KB
《向量知识框架》.docx
《《向量知识框架》.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《向量知识框架》.docx(13页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
《向量知识框架》
目M归模块框架
高考要求
向量
要求层
次
重难点
平面向量的相关概念
B
1理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.
2理解向量的几何表示.
向量加法与减法
C
1掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.
2掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含.
3了解向量线性运算的性质及其几何意义.
向量的数乘
C
两个向量共线
B
平面向量的基本定理
A
1了解平面向量的基本定理及其意义.
2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3会用坐标表示平面向量的加法、减法
与数乘运算.
④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
平面向量的正交分解及其坐标表示
B
1理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
4能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
C
用坐标表示的平面向量共线的条件
C
数量积
C
数量积的坐标表示
C
1会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
用数量积表示两个向量的夹角
B
用数量积判断两个平面向量的垂直关系
C
用向量方法解决简单的问题
B
知识内容
(1)向量的概念:
在高中阶段,我们把具有大小和方向的量称为向量.
有些向量不仅有大小和方向,而且还有作用点.例如,力就是既有大小和方向,又有作用点的向量.有些量只有大小和方向,而无特定的位置.例如,位移、速度等,通常把后一类向量叫做自由向量.高中阶段学习的主要是自由向量,以后我们说到向量,如无特别说明,指的都是自由向量.是可以任意平行移动的.向量不同于数量,数量之间可以进行各种代数
运算,可以比较大小,两个向量不能比较大小.
(2)向量的表示:
①几何表示法:
用有向线段表示向量,有向线段的方向表示向量.
的方向,线段的长度表示向量的长度.②字母表示法:
AB,注意起点在前,
终点在后.
⑶相等向量:
同向且等长的有向线段表示同一向量,或相等向量.可根据右图的正六边形,或根据下题平行四边形讲解相等向量.
已知E、F、G、H分别是平行四边形ABC£>边AB、DC、BC、AD的中点,O为
对角线AC与BD的交点,分别写图中与丽,丽,帀相等的向量.
解:
DF=FC^GO=OH=AE=EB
BH=HC=AG=GD
AO=OC
⑷向量共线或平行:
通过有向线段亦的直线,叫做向量殛的基线.如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或平行.向量方平行于向量云,记作a//b.
说明:
共线向量的方向相同或相反,
注意:
这里说向量平行,包含向量基线重合的情形,与两条直线平行的概念有点不同.事实上,在高等数学中,重合直线是平行直线的特殊情形.
(5)零向量:
长度等于零的向量,叫做零向量.记作:
6.零向量的方向不确定,零向量与任意向量
平行.
(6)用向量表示点的位置:
任给一定点O和向量方,过点O作有向线段OA=a,则点A
相对于点O位
置被向量方所唯一确定,这时向量鬲又常叫做点人相对于点O的位置向量.
ABAC=3.
1.向量的加法:
a+b
b
A
(1)向量加法的三角形法则:
已知向量a,bf在平面上任取一点A,作AB=a,BC=b,再作向量疋,则向量走叫做方和乙的和(或和向量),i己作&+B,即a+b=AB+BC=AC.
(2)向量求和的平行四边形法则:
1己知两个不共线的向量乳云,作AB=a,AD=b,则A,B,D三点不共线,以殛,丽为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量AC=a+S,这个法则叫做向量求和的平行四边形法则.
2向量的运算性质:
向量加法的交换律:
a+b=b+a
向量加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
关于6:
a+O=O+a=a
(3)向量求和的多边形法则:
己知”个向量,依次把这”个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点,第“个向量的终点为终点的向量叫做这“个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法贝IJ.
2.
向量的减法:
⑴相反向量:
与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量,记作-a.零向量的相反向量仍是零向量.
⑵差向量定义:
如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减
向量的终点为终点的向量.
推论:
一个向量丽等于它的终点相对于点O的位置向量丙减去它的始点相对于点O的位置向量
0B,或简记“终点向量减始点向量”.
⑶一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量
3.数乘向量:
定义:
实数2和向量方的乘积是一个向量,记作跖,且站的长岡=|刈冋v教师备案〉判断正误:
已知几,“eR.
®X(a+b)=Aa+Ab;(V)@(A+/.i)a=Aa+pa:
(V)
3兄(/m)=(2“)a;(J)@Aa+/.tb=(A++b).(X)
4.向量共线的条件
(1)平行向量基本定理:
如果a=Abf则a//b\反之,如果a//bf且b^Q,则一定存在唯一的一个实数;I,使a=Ab.
(2)单位向量:
给定一个非零向量方,与丘同方向且长度等于1的向量,叫做向量方的单
位向量.如果&的单位向量记作石,由数乘向量的定义可知2=|d应或石=各.
1.平面向量基本定理:
如果石和百是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量a,存在
唯一的一对实数勺,a2,使a=a^+a^.
基底:
我们把不共线向量石,瓦叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记作{&,&}.厲勺+冬乞叫做向量a关于基底{£百}的分解式.
说明:
(1)定理中匚瓦是两个不共线向量;
(2)方是平面内的任一向量,且实数对厲,冬是惟一的;
(3)平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底.
v教师备案〉⑴平面向量基本定理的证明:
在平面内任取一点O,作西=瓦,死虫,OA=a.由于石与石不平行,可以进行如下作图:
过点A作0屁的平行(或重合)直线,交直线于点M,过点A作0耳的平行(或重合)直线,交直线0E,于点N,于是依据平行向量基本定理,存在两个唯一的实数坷和冬分别有OM=d何,ON=a2e^,
所以a=OA=OM+ON=ate[+a2e^
证明表示的唯一性:
如果存在另对实数兀,y使OA=x^+y^,则勺勺+a2e2=xel+ye2,
即(x-a1)e^+(y-a2)e^=6,由于呂与百不平行,如果x-ci^与y-冬中有一个不等于0,
不妨设y-血工0,则石=一乂0石,
・y—a?
由平行向量基本定理,得石与瓦平行,这与假设矛
盾,因此尤一坷=0,y-a2=O,即x=q,y=a2.
⑵证明A,B,P三点共线矗点在线上的方法:
已知A、B是直线/上的任意两点,O是/外一点,则对直线/上任意一点P,存在实数/,使丽关于基底{鬲,面}的分解式为OP=(L-t)OA+tOB
……①,并且满足①式的点P—定在/上.
证明:
设点P在直线/上,则由平行向量定理知,存在实数
t,^AP=tAB=t(OB-OA)f
:
.OP=OA+AP=OA+tOB-tdA=(L-t)OA+tOB
设点P满足等式西=(L-t)OA+tOB,则AP=tAB,即P在/上.
其中①式可称为直线/的向量参数方程式,当『=丄时,
2
点M是初的中点,则OM=^(OA+OB),这是向量廳的中点的向量表达式.可推广到
△Q4B中,若M为边AB中点,则有OM=^(OA+OB)存在.
2.向量的正交分解与向量的直角坐标运算:
(1)向量的直角坐标:
如果基底的两个基向量石,占互相垂直,则称这个基底为正交基底.在正交基底
下分解向量,叫做正交分解.
向量的坐标表示:
在直角坐标系中,一点A的位置被点人的位置向量丙所唯一确定.设点A的坐
标为(x,y),由平面向量基本定理,有OA=xe[+yZ=(x,y),即点A的位置向量更的坐标(x,y),
也就是点A的坐标;反之,点A的坐标也是点A相对于坐标原点的位置向量更的坐标.
v教师备案〉在直角坐标系xOy内,分别取与兀轴和『轴方向相同的两个单位向量瓦,瓦.这时,我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{£瓦},这个基底也叫做直角坐标系xQy的基底.对于平面内的一个向量方,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数4»a2,使得。
=4勺+°2勺,这样,平面内的任一向量&都可由勺,冬唯一确定,我们把有序数对(4,①)叫做向量方的坐标,记作方=(©,%)②.其中q叫做方在兀轴上的坐标,冬叫做方在『轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.
⑵向量的直角坐标运算:
设a=(al9a2)fb=(bl9b2)f则
①a+5=(d]+勺,佝+$);=-bl9a2-b2);®Aa=2(^,a2)=,Aa2)
说明:
1两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差;
2数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积.
V教师备案〉若BgyJ,则向量AB=OB-OA=(x2-xx,y2-y\):
一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标.
3.用平面向量坐标表示向量共线条件:
设a=(aiya2),b=(brb2),则atb2-a2b{=0就是两个向量平行的条件.
若向量云不平行于坐标轴,即b严0,QhO,则两个向量平行的条件是,相应坐标成比例.
v教师备案〉根据力与功的计算,引入向量的数量积运算.
一个力F作用于一个物体,使该物体位移s,由于图示的力F的方向与位移方向有一个夹角&,真正使物体前进的力是F在物体唯一方向上的分力,这个分力与物体位移距离的乘积才是力F做的功.即力F使物体惟一s所做的功W可以用W=|s||F|cos&计算.
1.向量数量积的物理背景与定义
(1)两个向量的夹角:
己知两个非零向量2,by作04=5,0B=b,则ZAOB称作向量厶和向量云的夹角,记作,
并规定在这个规定下,两个向量的夹角被唯一确定了,并且有
2
(2)向量的数量积(内积)定义
问网cosv亦〉叫做向量方和云的数量积(或内积),记作a-b,即a-£=|a||S|cos
v教师备案〉可通过下题,讲解向量的数量积的概念及应用.
(1)已知|«|=5,|/?
|=6,=135°,求
(2)已知ab=—9f|a||5|=18,求.
解:
(1)Va-/>=|a||/?
|cos >=5x6xcosl35o=-15V2,«5=-15^/2 (2)Vfl-5=|a||Zj|cos 5>,・*.cos==—? =一丄,・\^=120° 1111Pl^l182 v教师备案〉若两个向量是首尾相接,需要注意向量所成的角: 己知正AABC的边长为2,设BC=a,CA=b,AB=cf求a5+5-c+ca. 如图,&与5、乙与厶、方与2夹角为120°, ・°・原式=\a\-\b\-cos120°+\b\-\c\-cos120°+|cr|-|c|-cos120°=2x2x(^-— ⑶向量内积的性质 1e是单位向量,则ae=e-a=^cos; 2a丄b=>ab=0,且aB=0=>a丄云; 3aa=p|",即p|=\fa~a: ④cos=;⑤|a-S|^|a||S|. v教师备案〉可通过以下判断题,检验学生关于向量垂直条件的掌握情况 1对任意向量方,有a=|«|2-(V) 2若oh。 ,则对任一非零向量5,有ab^O;(X) (3)若gh6,a-b=0,贝0b=6: (X) 4若ab=O,则方上至少有一个为零向量;(X) 5若atf=ac,则S=c当且仅当&工6时成立;(X) 2.向量数量积的运算律 ⑴交换律: ab=baiA(a-b)=(Aa)b=a(Ab). (2)分配律: (a+b)c=ac+bc v教师备案〉根据向量数量积的性质及运算律,可得到以下公式: 1完全平方公式: (a+b)2=pl'+2ab+15|~: 2平方差公式: (a+b)(a-b)=|a|"-15|' 3.向量数量积的坐标运算与度量公式 ⑴向量内积的坐标运算: 建立正交基: {勺,勺},己知"(勺宀),b2), ab=+ajb2 (2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件: 方丄bo4血+a少2=0 (3)向量的长度、距离和夹角公式 1已知2=(©,冬),则p卜,即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平 方根. 2如果人(召,yj,B(x2,y2),则殛={(吃一西),+(%一必)'• 3两个向量夹角余弦的坐标表达式: cos W+a/Jbj+ v教师备案> (1)向量内积的坐标运算: a乙=(®q+a匕)-(々勺+力匕)=坷勺弓勺+*心匕+(1少宀-e1+atb2e2-e2*.*el=e2-e2=l,e1e2=e2el=O,/.得到表达式a-B=勺勺+a2b2 (2)在向量垂直条件中,当奉h0时,条件a血+砧,=0,可以写成台-=^=k也就是说,如果方丄云,贝IJ向量(坷4)与(迪,々)平行,上式中的R是比例系数. 对任意实数向量£(-$,$)与向量你bj垂直. 例如,向量(3,4)与向量(-4,3),(12,-9)…垂直. (注: 素材和资料部分来自网络,供参考。 请预览后才下载,期待你的好评与关注! )
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 向量知识框架 向量 知识 框架