北工大数学建模实验3.docx
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北工大数学建模实验3.docx
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北工大数学建模实验3
解:
设生产玩具火车、玩具卡车和玩具汽车的数量分别为X1,X2,X3,
则目标函数为:
3X1+2X2+5X3
约束条件:
X1+2X2+X3<=430
3X1+2X3<=460
X1+4X2<=420
X1>=0;X2>=0;X3>=0
最优值为目标函数取得最大。
LINGO程序
max=3*x1+2*x2+5*x3;
x1+2*x2+x3<=430;
3*x1+2*x3<=460;
x1+4*x2<=420;
运行结果
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
1350.000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
2
ModelClass:
LP
Totalvariables:
3
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
0
Totalconstraints:
4
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
10
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X10.0000004.000000
X2100.00000.000000
X3230.00000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
11350.0001.000000
20.0000001.000000
30.0000002.000000
420.000000.000000
(1)由运行结果可得,最优的生产方案为:
玩具火车、玩具卡车和玩具汽车的生产数量分别为:
0、100、230;收入为1350.
(2)由DualPrice第二行可知,当操作1每增加1分钟收入增加1美元,所以50/60<1,使用加班在经济上是有利的;
Rangesinwhichthebasisisunchanged:
ObjectiveCoefficientRanges:
CurrentAllowableAllowable
VariableCoefficientIncreaseDecrease
X13.0000004.000000INFINITY
X22.0000008.0000002.000000
X35.000000INFINITY2.666667
RighthandSideRanges:
CurrentAllowableAllowable
RowRHSIncreaseDecrease
2430.000010.00000200.0000
3460.0000400.000020.00000
4420.0000INFINITY20.00000
分析可知,最多增加10分钟。
(3)由运算结果第三行可知,当操作2每加班1分钟时,收入增加2美元,若每天加班2小时,则收入增加2*120=240美元,成本为(45+10)*2=110美元,240-110=130美元。
所以,每天收入增加130美元。
(4)不需要操作3加班,因为其影子价格为0。
解:
设工程1、2、3、4在第i年工程完成量分别为Xi、Yi、Zi、Wi,其中i=1,2,3,4。
则:
工程1的收入为:
50X1+50(X1+X2)+50(X1+X2+X3)+50(万元)
工程2的收入为:
70Y2+70(Y2+Y3)+70(Y2+Y3+Y4)(万元)
工程3的收入为:
150Z1+150(Z1+Z2)+150(Z1+Z2+Z3)+150(Z1+Z2+Z3+Z4)(万元)
工程4的收入为:
20W3+20(W3+W4)(万元)
目标函数为:
50X1+50(X1+X2)+50(X1+X2+X3)+50+70Y2+70(Y2+Y3)+70(Y2+Y3+Y4)+150Z1+150(Z1+Z2)
+150(Z1+Z2+Z3)+150(Z1+Z2+Z3+Z4)+20W3+20(W3+W4)
约束条件:
5000X1+1500Z1<=3000
5000X2+8000Y2+15000Z2<=6000
5000X3+8000Y3+15000Z3+1200W3<=7000
8000Y4+15000Z4+1200W4<=7000
8000Y5+15000Z5<=7000
X1+X2+X3=1
Y2+Y3+Y4+Y5>=0.25
Y2+Y3+Y4+Y5<=1
Z1+Z2+Z3+Z4+Z5<=1
Z1+Z2+Z3+Z4+Z5>=0.25
W3+W4=1
最优值为目标函数取得最大值。
LINGO程序
max=50*x1+50*(x1+x2)+50*(x1+x2+x3)+50*(x1+x2+x3)+70*y2+70*(y2+y3)+70*(y2+y3+y4)+150*z1+150*(z1+z2)+150*(z1+z2+z3)+150*(z1+z2+z3+z4)+20*w3+20*(w3+w4);
5000*x1+15000*z1<=3000;
5000*x2+8000*y2+15000*z2<=6000;
5000*x3+8000*y3+15000*z3+1200*w3<=7000;
8000*y4+15000*z4+1200*w4<=7000;
8000*y5+15000*z5<=7000;
x1+x2+x3=1;
y2+y3+y4+y5>=0.25;
y2+y3+y4+y5<=1;
z1+z2+z3+z4+z5>=0.25;
z1+z2+z3+z4+z5<=1;
w3+w4=1;
运行结果
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
523.7500
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
10
ModelClass:
LP
Totalvariables:
14
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
0
Totalconstraints:
12
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
49
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X10.60000000.000000
X20.40000000.000000
X30.0000000.000000
Y20.00000020.00000
Y30.00000010.00000
Y40.22500000.000000
Z10.0000000.000000
Z20.26666670.000000
Z30.38666670.000000
Z40.34666670.000000
W31.0000000.000000
W40.0000008.000000
Y50.77500000.000000
Z50.00000018.75000
RowSlackorSurplusDualPrice
1523.75001.000000
20.0000000.3875000E-01
30.0000000.2875000E-01
40.0000000.1875000E-01
50.0000000.8750000E-02
6800.00000.000000
70.0000006.250000
80.75000000.000000
90.0000000.000000
100.75000000.000000
110.00000018.75000
120.00000017.50000
所以最优进度如下表所示:
第一年
第二年
第三年
第四年
第五年
工程1
60%
40%
0
工程2
0
0
22.5%
77.5%
工程3
0
26.7%
38.7%
34.7%
工程4
100%
0
总收入最大为:
523.75万元
解:
设xi和yi分别表示第i年给A、B的投资金额,其中,i=1,2,3。
第1年,将100000美元全部用于A、B两个计划的投资,则:
x1+y1=100000;
第2年,将第一年的本金加利息用于A、B两个计划的投资,则:
x2+y2=(1+0.7)x1=1.7x1;
第三年,由于计划B只能在两年后收回本息,所以,第3年只能投资计划A,则:
x3=1.7x2+4y2。
第3年末的收入即为所求目标函数:
1.7x2+4y2
最优值为
LINGO程序
max=1.7*x3+4*y2;
x1+y1=100000;
-1.7*x1+x2+y2=0;
-1.7*x2+x3-4*y1=0;
运行结果
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
680000.0
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
0
ModelClass:
LP
Totalvariables:
5
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
0
Totalconstraints:
4
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
10
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X3400000.00.000000
Y20.0000000.000000
X10.0000000.000000
Y1100000.00.000000
X20.0000001.110000
RowSlackorSurplusDualPrice
1680000.01.000000
20.0000006.800000
30.0000004.000000
40.0000001.700000
由运行结果可得:
第一年将100000钱全部投入B计划,第三年再将钱全部投入A计划。
第三年年末可以获得最大收入为680000美元。
解:
本问题变量包括每月的生产时间和月底的库存量
设六、七、八月份生产A、B两种产品的时间分别为:
xiA,xiB,其中i=1,2,3,
设六、七月底A、B两种产品的库存量为IiA、IiB,其中i=1,2。
则总成本为总的生产成本和总的库存成本:
总的生产成本为:
1.25*x1A*30+1*x1B*28+1.25*x2A*30+1*x2B*28+1.25*x3A*30+1*x3B*28
总的库存成本为:
0.90*(I1A+I2A)+0.75*(I1B+I2B)
可得目标函数为:
1.25*x1A*30+1*x1B*28+1.25*x2A*30+1*x2B*28+1.25*x3A*30+1*x3B*28+0.90*(I1A+I2A)+0.75*(I1B+I2B)
约束条件为:
1.25*x1A-I1A=500
I1A+1.25*x2A-I2A=5000
I2A+1.25*x3A=750
1*x1B-I1B=1000
I1B+1*x2B-I2B=1200
I2B+1*x3B=1200
x1A+x1B<=3500
x2A+x2B<=3500
x3A+x3B<=3000
最优值为目标函数取得最小。
LINGO程序
min=1.25*X1A*30+1*X1B*28+1.25*X2A*30+1*X2B*28+1.25*X3A*30+1*X3B*28+0.9*(I1A+I2A)+0.75*(I1B+I2B);
1.25*X1A-I1A=500;
I1A+1.25*X2A-I2A=5000;
I2A+1.25*X3A=750;
1*X1B-I1B=1000;
I1B+1*X2B-I2B=1200;
I2B+1*X3B=1200;
X1A+X1B<=3500;
X2A+X2B<=3500;
X3A+X3B<=3000;
运行结果
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
284162.5
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
4
ModelClass:
LP
Totalvariables:
10
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
0
Totalconstraints:
10
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
30
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X1A900.00000.000000
X1B2200.0000.000000
X2A3500.0000.000000
X2B0.0000000.3750000
X3A600.00000.000000
X3B1200.0000.000000
I1A625.00000.000000
I2A0.0000001.800000
I1B1200.0000.000000
I2B0.0000001.500000
RowSlackorSurplusDualPrice
1284162.5-1.000000
20.000000-30.00000
30.000000-30.90000
40.000000-30.00000
50.000000-28.00000
60.000000-28.75000
70.000000-28.00000
8400.00000.000000
90.0000001.125000
101200.0000.000000
可得生产计划和库存如下表所示:
六月
库存
数量
七月
库存
数量
八月
时间
数量
时间
数量
六月
数量
A产品
900
1125
625
3500
4375
0
600
750
B产品
2200
2200
1200
0
0
0
1200
1200
成本最低为:
284162.5美元。
解:
设Xi为8:
00到16:
00开始上班的学生人数,其中,i=1,…,8,9。
学生上班的示意图如下图所示:
时间段
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
人数
8
X1
2
9
X1
X2
10
X1
X2
X3
3
11
X2
X3
X4
4
12
X3
X4
X5
13
X4
X5
X6
3
14
X5
X6
X7
15
X6
X7
X8
16
X7
X8
X9
则目标函数为:
X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9
约束条件为:
X1>=2
X1+X2>=2
X1+X2+X3>=3
X2+X3+X4>=4
X3+X4+X5>=4
X4+X5+X6>=3
X5+X6+X7>=3
X6+X7+X8>=3
X7+X8+X9>=3
X5=0
最优值为目标函数取得最小。
LINGO程序
min=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9;
X1>=2;
X1+X2>=2;
X1+X2+X3>=3;
X2+X3+X4>=4;
X3+X4+X5>=4;
X4+X5+X6>=3;
X5+X6+X7>=3;
X6+X7+X8>=3;
X7+X8+X9>=3;
X5=0;
运行结果
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
9.000000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
4
ModelClass:
LP
Totalvariables:
8
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
0
Totalconstraints:
10
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
29
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X12.0000000.000000
X20.0000001.000000
X31.0000000.000000
X43.0000000.000000
X50.0000000.000000
X60.0000000.000000
X73.0000000.000000
X80.0000000.000000
X90.0000001.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
19.000000-1.000000
20.000000-1.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
60.000000-1.000000
70.0000000.000000
80.0000000.000000
90.000000-1.000000
100.0000000.000000
110.0000000.000000
由结果可得,最少需要雇用9名学生,具体开始工作时间如下:
时段
8
9
10
11
12
13
14
15
16
总数
人数
2
0
1
3
0
0
3
0
0
9
解:
设长子、次子、三子得到的骆驼数分别为:
X1,X2,X3,
则目标函数为:
X1+X2+X3+1
约束条件:
X1>=(X1+X2+X3+1)/2
X2>=(X1+X2+X3+1)/3
X3>=(X1+X2+X3+1)/9
X1,X2,X3为整数,且(X1+X2+X3+1)为奇数。
要想求出本题的可行解,则目标函数取得最小。
LINGO程序
min=X1+X2+X3+1;
X1+X2+X3+1<=2*X1;
X1+X2+X3+1<=3*X2;
X1+X2+X3+1<=9*X3;
Y=(X1+X2+X3)/2;
@gin(X1);@gin(X2);@gin(X3);@gin(Y);
运行结果
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
27.00000
Objectivebound:
27.00000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
3
ModelClass:
PILP
Totalvariables:
4
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
4
Totalconstraints:
5
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
16
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X114.000001.000000
X29.0000001.000000
X33.0000001.000000
Y13.000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
127.00000-1.000000
21.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
由运行结果可得:
这个酋长的骆驼数量为27只,长子得到14只,次子得到9只,三子得到3只。
解:
根据要求应求出最佳的路径。
由已知共有6条路线供选择,从给出的各客户离ABC总部的距离我们可以知道各路线距离:
x1=80;x2=50;x3=70;x4=52;x5=60;x6=44(将彼此之间的距离相加即可得到)。
建立数学模型,编写如下程序:
min=80*x1+50*x2+70*x3+52*x4+60*x5+44*x6;
x1+x2+x5>=1;
x1+x2+x4+x6>=1;
x1+x3+x5+x6>=1;
x1+x3+x4+x5>=1;
x2+x3+x4+x6>=1;
@bin(x1);
@bin(x2);
@bin(x3);
@bin(x4);
@bin(x5);
@bin(x6);
输入以上程序,运行结果如下:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
104.0000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
X10.00000080.00000
X20.00000050.00000
X30.00000070.00000
X40.00000052.00000
X51.00000060.00000
X61.00000044.00000
RowSlackorSurplusDualPrice
1104.0000-1.000000
21.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.000000
从上面的结果可以看出,应选择线路5和线路6,这样最短的路程为104英里。
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