新高考高中数学核心知识点全透视函数精讲精析篇附答案及解析.docx
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新高考高中数学核心知识点全透视函数精讲精析篇附答案及解析
《新高考高中致学核心划识点全
专题3.1函数(精讲精析篇)
提纲挈领
「——r
求函数的走义域
求函数的解析式
函数一分段函数及其应用
P
巩固提升
JF11*
1
厂\—
函数的单调性与最值(值域)
團数的奇(禺性、周期性与单调性
点点突破
热门考点01求函数的定义域
1.
(1)在函数y=f(x),x€A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值
叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x€A}叫做函数的值域.
⑵如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数
2.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的,则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.
(2)复合函数的定义域:
先由外层函数的定义域确定内层函数的值域,从而确定对应的内层函数自变量的取值范围,还需要确定内层函数的定义域,两者取交集即可.
3.抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由awg(x)
⑵若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x€[a,b]时的值域.
【典例1】(2019-江苏高考真题)函数y“76xx2的定义域是.
【典例2】(2019-邵阳市第十一中学高一期中)已知函数f(3x1)的定义域是0,2,则函数fX的定义
域是()
1
A.0,2B.[,]C.[-1,5]D.无法确定
3
【典例3】(2018•上海上外浦东附中高一月考)已知fX的定义域为3,3,则fX21的定义域为
【特别提醒】
求函数的定义域,往往要解不等式或不等式组,因此,要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解
法、牢记不等式的性质,学会利用数形结合思想,借助数轴解题•另外,函数的定义域、值域都是集合,要
用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达.
热门考点02求函数的解析式
1.求函数解析式的四种方法
法一
配凑法
畐已知条伴/(/;(x))=Fix)可蒋F(x)改[写戍关于百(工)的表达式,然后以工替代g(.r)J便得工)的解析式i
法二
换尢法
对于形如y=/(g(n)储團敖辭析式,令「=耳d*从中求出x=甲(门・然卷代入表达式求出f(t>.再将『换成I得到;x刃的解析式*要注意新元的取值范围
〔先设出含有待定系数的解析式•再利用恒等式]
rtf—:
1的性质■或将已知条件代入•建立方程(纽几i
':
通过聲方程(组)求出相应的待定系数;
法四
解芳程组法
[已知关于/(X)与/(^)—刃的表达式丿
―]可根据已知条件再枸造出另外一个等式组成方i
■'
[程组,通过解方程组求出/(X)i
322【典例4】(2016-浙江高考真题(文))设函数f(x)=x+3x+1.已知0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a),
xR,则实数a=,b=.
【典例5](2019-邵阳市第十一中学高一期中)若f2x14x24x,则f(x)的解析式为.
【典例6】(2018•上海市金山中学高一期末)设f(x)是定义在R上的函数,且满足对任意x,y等式
f2yx2fx3y4xy3恒成立,则f(x)的解析式为.
【特别提醒]
谨防求函数解析式的两种失误:
(1)在求函数解析式时,一定要注意自变量的范围,也就是定义域问题.求出解析式后要标注x的取值范围.
(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围.
如已知f(Jx)=x+1,求函数f(x)的解析式,可通过换元的方法得f(x)=x2+1,函数f(x)的定义域是[0,+8),而不是(—8,+^).
热门考点03分段函数及其应用
1.
(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分
段函数•
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几
个部分组成,但它表示的是一个函数.
2.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.
3.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验
所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
提醒:
当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论.
【典例7](山东省2018年普通高校招生(春季))已知函数灯则汇芒就|的值等于
【典例8](2018-上海市金山中学高一期末)已知
fxx21,x1,0,则下列函数的图象错误的是
x1,x0,1
A.f(x1)的图象B.f(x)的图象C.f(|x|)的图象D.|f(x)|的图象
【典例9】(上海高考真题(理))设■■若/
(2)=4,则a的取值范围为
[才,址€[氓世]:
【典例10】(2018届河北省唐山市三模)设函数•-则使得》兀=計成立的得取值范围
是.
【典例11】(2014浙江高考理第15题)设函数fx
2小
xx,x02若ffa2,则实数a的取值范围
x2,x0
【总结提升】
关于分段函数的命题角度主要有:
一是分段函数求值,二是分段函数与方程、不等式结合•由于分段函数在
其定义域内的不同子集上其对应法则不同,而分别用不同的式子来表示,因此在求函数值、解方程(不等
式)时,一定要注意自变量的值所在子集,再代入相应的解析式求值.
热门考点04函数的单调性与最值(值域)
1•增函数、减函数
(1)增函数:
若对于定义域I内的某个区间DDI上的任意两个自变量X1、X2,当x1x2时,都有
f捲fX2,那么就说函数fx在区间D上是增函数;
(2)减函数:
若对于定义域I内的某个区间DDI上的任意两个自变量x1、x2,当x1x2时,都有
fx1fx2,那么就说函数fx在区间D上是减函数.
2.函数的最值
(1)最大值:
一般地,设函数yfx的定义域为I,如果存在实数M满足:
①对于任意的xI,都有fX
②存在x0I
,使得f
x0M.
那么,我们称
M是函数
yfx
的最大值.
(2)最小值:
一般地,设函数y
fx的定义域为1,如果存在实数
m满足:
①对于任意的
xI,都有fx
m;
②存在x0I
,使得f
xm.
那么,我们称
m是函数
yfx
的最小值.
【典例12】函数f(x)
c2
2xmx
3,当x[2,)时是增函数,当
x(,2]时是减函数,则f
(1)等
于()
A.-3
B
.13
C.7D
.5
【典例13】(2019•山西省长治市第二中学校高一期中)若函数f(x)x22mx1在[2,)上是增函数,
则实数m的取值范围是()
A.(,1]
B.[1,)
C.[2,)
D.(,2]
S1
【典例14】函数f
:
xx
的最大值为()
x22,x
1
1
1
A.1
B.2
C.-
D.-
2
3
【总结提升】
1.利用基本初等函数的单调性与图象:
只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性;
2•性质法:
(1)增函数增函数增函数,减函数减函数减函数,增函数减函数增函数,减函数
增函数减函数;
(2)函数fX与函数fx的单调性相反;
k
(3)k0时,函数fx与的单调性相反(fx0);
fx
k
k0时,函数fx与的单调性相同(fx0).
fx
3.定义法:
作差法与作商法(常用来函数单调性的证明,一般使用作差法)
*4.导数法:
fx0在区间D上恒成立,则函数fx在区间D上单调递增;fx0在区间D上恒成
立,则函数fX在区间D上单调递减.
【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性,还需注意断点处两边函数值的大小比
较.
5.函数单调性的应用
(1)比较函数值大小(随着基本初等函数的学习,逐步体会)
比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化到同一个单调区间
上进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.
(2)求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,再根据函数的单调性去掉“f”,得到一
般的不等式g(x)>h(x)(或g(x) (3)利用单调性求参数的范围(或值)的方法 1视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数; 2需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. 6.函数值域的常见求法: (1)配方法 配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法,形如F(x)=a[f(x)]2+bf(x)+c(a^0)的函数的值域问 题,均可使用配方法. (2)数形结合法 若函数的解析式的几何意义较明显,如距离、斜率等,可用数与形结合的方法. (3)基本不等式法: 要注意条件“一正,二定,三相等”.(可见上一专题) (4)利用函数的单调性 1单调函数的图象是一直上升或一直下降的,因此若单调函数在端点处有定义,则该函数在端点处取最值, 即 若y=f(x)在[a,b]上单调递增,则y最小=f(a),y最大=f(b); 若y=f(x)在[a,b]上单调递减,则y最小=f(b),y最大=f(a). 2形如y=ax+b+dx+c的函数,若ad>0,则用单调性求值域;若ad<0,则用换元法. k 3形如y=x+-(k>0)的函数,若不能用基本不等式,则可考虑用函数的单调性,当x>0时,函数y=x+ x k——k -(k>0)的单调减区间为(0,pk],单调增区间为[yjk,+^).一般地,把函数y=x+-(k>0,x>0)叫做 —— 对勾函数,其图象的转折点为(k,2k),至于x<0的情况,可根据函数的奇偶性解决. *(5)导数法 利用导函数求出最值,从而确定值域. 热门考点05函数的奇偶性、周期性与单调性 1.判断函数的奇偶性的两种方法 (1)定义法: 既不疑奇颌数也不是偶函数鸟 (计如)) (2)图象法: ^的图象 「关于原点对称]_彳*对为奇函数] 关干F轴对称 / 2.函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式 ①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围;②将转化后的自变量代入已知解析式; 3利用函数的奇偶性求出解析式. (2)求参数值 在定义域关于原点对称的前提下,根据奇函数满足f(-x)=-f(x)或偶函数满足f(-X)=f(x)列等式,根 据等式两侧对应相等确定参数的值.特别要注意的是: 若能够确定奇函数的定义域中包含0,可以根据f(0) =0列式求解,若不能确定则不可用此法. *3.函数周期性的判定及应用 (1)只需证明f(x+T)=f(x)(TM0)便可证明函数是周期函数,且周期为T. ⑵根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,函数的周期性常与函数的其他性质综合考查. ⑶在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k€Z且kz0)也是函数的周期”的应用. )单调递增,且为奇函数,若f (1)1,则满 【典例15】(2017•全国高考真题(理))函数f(x)在( 足1f(x2)1的x的取值范围是(). A.[2,2] B.[1,1] C.[0,4] D[1,3] 【典例16】(2018 •全国高考真题(理))已知f(x)是定义域为( )的奇函数,满足f(1x)f(1x) 若f⑴2,则 f (1)f (2)f(3)L f(50)() A.50 B.0 C.2 D.50 【典例17】(2017•山东高考真题(文))已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x—2).若当x€[— 3,0]时,f(x)=6—: 则f(919)=. 【典例18】(2013•上海高考真题(理))设a为实常数,yf(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时, 2 a f(x)9x7.若f(x)a1对一切x0成立,则a的取值范围是. x 【总结提升】 拓展: 1.函数奇偶性的判断 (1)复合函数奇偶性的判断: 若复合函数由若干个函数复合而成,则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的 奇偶性而定,概括为“同奇为奇,一偶则偶” ⑵抽象函数奇偶性的判断: 应充分利用定义,巧妙赋值,通过合理、灵活地变形配凑来判断. 2.熟记4种常见抽象函数的周期 (1)若f(x+a)=—f(x),则T=2|a|; 1 (2)若f(x+a)=fx,则T=2|a|; 1 ⑶若f(x+a)=—fx,则T=2|a|; (4)若f(x+a)=f(x—a),则T=2|a|. 3.当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数.当函数f(x)是奇函数,又有对称轴xm时,则函数一 定是周期函数,且周期为T4m;若f(x)有两条对称轴xa和xb,则函数是周期函数,2ba是 函数的一个周期;同样若f(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0),则函数是周期函数,2ba是函数的一个 周期• 巩固提升 1.使式子 =有意义的实数x的取值范围是( x A. C. (2019•重庆高 )若 A. 3x2 D.x x33x5,则f B.3x 1剟<0 x等于( ). C.3x1 3. (2017•浙江高考真题)若函数fx 2 =x axb在区间[0,1] 上的最大值是M,最小值是m,则Mm的 A. 与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与 b无关 C. 与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与 b有关 4. (2019•江苏高一月考)函数 2°宀的定义域为( A. 2, B.1, C. 1,2U2, D.R 5. (2014•全国高考真题(文))奇函数 f(x)的定义域为R,若f(x 2)为偶函数,且f (1)1,则 D.3x f(8)f(9)() A.2 B.1 C.0 D. 6.(2019-山西省长治市第二中学校高一期中)已知函数 f(x)ax2 bx3是定义在[a3,2a]上的偶函 数,则ab的值是() A.1B.1 7.(2019-浙江学军中学高一期中)函数 A.奇函数B.偶函数 C.3D.0 xlx4| fx一2的奇偶性为() .9x C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数 8.(2017•全国高考真题(文))已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(,0)时,f(x)2x3x2, 则f (2). 9.(2016-四川高考真题(文))若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0 2X1(x1),则f(3) f(x1)(x1) f (2)=. 10. 3 fxxa为奇函数,则f1 (2019-上海闵行中学高一期中)已知f(x) 11.(2019-上海市第二中学高二期末)若函数 12.(2018•上海上外浦东附中高一月考)函数 y2k1xb在R上是增函数,则实数k的取值范围是 13.(2018•上海上外浦东附中高- -月考)已知函数 2 y=x,x 0,3,则函数的值域为 2 x,x1 14.(2015- 浙江咼考真题(文) )已知函数fx {6 ,则ff2 x-6,x 1 x 的最小值是 15.(2019•上海市高桥中学高一期末)已知偶函数fX在0, 单调递减,f20,若fx10, 则x的取值范围是 16.(2018-上海曹杨二中高一期末)设函数 fxx1,若0ab且fa fb,则ab的取值范 围是 話巾站学核也知识 V折高考;勿于次子 专题3.1函数(精讲精析篇) 提纲挈领 求函数的定义域 Ir 求国数的解析式 分段函数及其应用 巩固提升 函数的单调性与最值(值域) 函数的奇偶性、周期性与单调性 点点突破 热门考点01求函数的定义域 1. (1)在函数y=f(x),x€A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x€A}叫做函数的值域. ⑵如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数 2.已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的,则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集. (2)复合函数的定义域: 先由外层函数的定义域确定内层函数的值域,从而确定对应的内层函数自变量的取值范围,还需要确定内层函数的定义域,两者取交集即可. 3.抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由awg(x) ⑵若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x€[a,b]时的值域. 【典例1】(2019-江苏高考真题)函数yJ7—6x—x2的定义域是. 【答案】[1,7]. 【解析】 由已知得76xx20, 即x26x70 解得1x7, 故函数的定义域为[1,7]. 【典例2】(2019-邵阳市第十一中学高一期中)已知函数f(3x1)的定义域是0,2,则函数fx的定义 域是() 1 A.0,2B.[,]C.[-1,5]D.无法确定 3 【答案】C 【解析】 由已知0x2, 13x15, 即函数fx的定义域是[-1,5], 故选: C. 【典例3】(2018•上海上外浦东附中高一月考)已知fx的定义域为3,3,则fX21的定义域为 【答案】2,2 【解析】 由于函数yfx的定义域为3,3,对于函数yfx21,有3x213, 即2x24,即x24,解得2x2. 因此,函数yfx21的定义域为2,2. 故答案为: 2,2. 【特别提醒】 求函数的定义域,往往要解不等式或不等式组,因此,要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解 法、牢记不等式的性质,学会利用数形结合思想,借助数轴解题.另外,函数的定义域、值域都是集合,要 用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达. 热门考点02求函数的解析式 1.求函数解析式的四种方法 法一 配凑法 [由已知命件—Ftx)■可将FXQ&| —|骂成关于場丁)的表达式•然后以工替代J i« 〔徑注上(卫卫璧林吏……—i——」 换元法 [对于形如3? —y(iCx))<4盘鼓解騎丸申冬書=[ ”・ : g(x)*从中簾thJT■护(f几然后找入表达式求- 小再将『换成八将到/3的解析式,: ■■ [要注意新元的取值范围: 法三 待定系教法 ■WXXK■SK-XKWWM-KSB-m■M■: »I-3EW«■V■! ■■V [先设出含有持定系数的解析式•再利用恒等式] t1 ―;的性质,或将已知条件代入•建養方程(纽人j *4 [通过群方程(组〉峯烫梅扈的待定系It\ 法四 解方程组法 ■i! VnA■圣豪B«! «! K■■wnw■*n-na-*B■吾鼻9n■n: i■■■3-*■•壬IB-B: ■v■wBn*BKBhkiBBiwiff&Biaa■氓, ;已知关于/xm与f(丄)或八一天)的表达式簽 s.q. i可根据已知条伴再构造出另外一个寻式组成方s I< [程组,通it解方程组求出JXje)1 【典例4】(2016•浙江高考真题(文))设函数f(x)=x3+3x2+1.已知0,且f(x)-f(a)=(x 2 -b)(x-a), xR,则实数a= b= 【答案】—2,1 【解析】fxfa 3c2”3c2 x3x1a3a 23 xbxax 22 2abxa2abx 2ab3 “=a2 所以{a22ab0 ,解得{. 1x33x2 32 a3a, 【典例 a2b, a2ba33a2 5】(2019-邵阳市第^一中学高 期中)若f2x1 4x24x,则f(x)的解析式为 【答案】f(x)x21 【解析】令2x1t, xd,代入f2x14x24x, 2 t12 t1 ft 4()2 4 t21, 2 2 故答案为 : f(x) x21. 【典例6】(2018•上海市金山中学高一期末)设f(x)是定义在R上的函数,且满足对任意x,y等式 f2y x2f x3y 4xy3恒成立,则f(x)的解析式为 【答案】 fx3xx1 【解析】 Qf(x)是定义在R上的函数, 且对任意x,y,f2yx2fx3y4xy3恒成立, 令y x,得 f2x x2f x3x 4xx3, 即fX 2fx 3x3x 3, 3fx 3x3x 3, fx 3xx1 故答案为: fx3xx1 【特别提醒】 谨防求函数解析式的两
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