函数的单调性和奇偶性经典例题.docx
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函数的单调性和奇偶性经典例题
经典例题透析
类型一、函数的单调性的证明
1.证明函数
上的单调性.
证明:
在(0,+∞)上任取x1、x2(x1≠x2),令△x=x2-x1>0
则
∵x1>0,x2>0,∴
∴上式<0,∴△y=f(x2)-f(x1)<0
∴
上递减.
总结升华:
[1]证明函数单调性要求使用定义;
[2]如何比较两个量的大小?
(作差)
[3]如何判断一个式子的符号?
(对差适当变形)
举一反三:
【变式1】用定义证明函数
上是减函数.
思路点拨:
本题考查对单调性定义的理解,在现阶段,定义是证明单调性的唯一途径.
证明:
设x1,x2是区间
上的任意实数,且x1 ∵0 故 ,即f(x1)-f(x2)>0 ∴x1 上是减函数. 总结升华: 可以用同样的方法证明此函数在 上是增函数;在今后的学习中经常会碰到这个函数,在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象. 类型二、求函数的单调区间 2.判断下列函数的单调区间; (1)y=x2-3|x|+2; (2) 解: (1)由图象对称性,画出草图 ∴f(x)在 上递减,在 上递减,在 上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在 上递增. 举一反三: 【变式1】求下列函数的单调区间: (1)y=|x+1|; (2) (3) . 解: (1) 画出函数图象, ∴函数的减区间为 ,函数的增区间为(-1,+∞); (2)定义域为 ,其中u=2x-1为增函数, 在(-∞,0)与(0,+∞)为减函数,则 上为减函数; (3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 单调增区间为: (-∞,0),单调减区间为(0,+∞). 总结升华: [1]数形结合利用图象判断函数单调区间; [2]关于二次函数单调区间问题,单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析: 先求函数的定义域;再将复合函数分解为内、外层函数;利用已知函数的单调性解决.关注: 内外层函数同向变化→复合函数为增函数;内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值) 3.已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较f(a2-a+1)与 的大小. 解: 又f(x)在(0,+∞)上是减函数,则 . 4.求下列函数值域: (1) ;1)x∈[5,10];2)x∈(-3,-2)∪(-2,1); (2)y=x2-2x+3; 1)x∈[-1,1];2)x∈[-2,2]. 思路点拨: (1)可应用函数的单调性; (2)数形结合. 解: (1) 2个单位,再上移2个单位得到,如图 1)f(x)在[5,10]上单增, ; 2) ; (2)画出草图 1)y∈[f (1),f(-1)]即[2,6];2) . 举一反三: 【变式1】已知函数 . (1)判断函数f(x)的单调区间; (2)当x∈[1,3]时,求函数f(x)的值域. 思路点拨: 这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间,但对解析式稍作处理,即可得到我们相对熟悉的形式. ,第二问即是利用单调性求函数值域. 解: (1) 上单调递增,在 上单调递增; (2) 故函数f(x)在[1,3]上单调递增 ∴x=1时f(x)有最小值,f (1)=-2x=3时f(x)有最大值 ∴x∈[1,3]时f(x)的值域为 . 5.已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间 上是增函数,求: (1)实数a的取值范围; (2)f (2)的取值范围. 解: (1)∵对称轴 是决定f(x)单调性的关键,联系图象可知 只需 ; (2)∵f (2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2,∴-2a≥-4 ∴f (2)=-2a+11≥-4+11=7 . 举一反三: 【变式1】(2011北京理13)已知函数 ,若关于x的方程 有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________. 解: 单调递减且值域(0,1], 单调递增且值域为 , 由图象知,若 有两个不同的实根,则实数k的取值范围是(0,1). 类型四、判断函数的奇偶性 6.判断下列函数的奇偶性: (1) (2) (3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3|(5) (6 (7) 思路点拨: 根据函数的奇偶性的定义进行判断. 解: (1)∵f(x)的定义域为 ,不关于原点对称,因此f(x)为非奇非偶函数; (2)∵x-1≥0,∴f(x)定义域 不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数; (3)对任意x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x),则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数; (4)∵x∈R,f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x),∴f(x)为奇函数; (5) ,∴f(x)为奇函数; (6)∵x∈R,f(x)=-x|x|+x∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x),∴f(x)为奇函数; (7) ,∴f(x)为奇函数. 举一反三: 【变式1】判断下列函数的奇偶性: (1) ; (2)f(x)=|x+1|-|x-1|;(3)f(x)=x2+x+1; (4) . 思路点拨: 利用函数奇偶性的定义进行判断. 解: (1) ; (2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x)∴f(x)为奇函数; (3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1 ∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)∴f(x)为非奇非偶函数; (4)任取x>0则-x<0,∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x) 任取x<0,则-x>0f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x) x=0时,f(0)=-f(0)∴x∈R时,f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数. 举一反三: 【变式2】已知f(x),g(x)均为奇函数,且定义域相同,求证: f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶函数. 证明: 设F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)·g(x)则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶函数. 类型五、函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合) 7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8,且f(-2)=10,求f (2). 解: 法一: ∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 ∴8a-2b=-50∴f (2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二: 令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数 ∴g(-2)=-g (2)∴f(-2)+8=-f (2)-8 ∴f (2)=-f(-2)-16=-10-16=-26. 举一反三: 【变式1】(2011湖南文12)已知 为奇函数, ,则 为: 解: ,又 为奇函数,所以 . 8.f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-x,求当x≥0时,f(x)的解析式,并画出函数图象. 解: ∵奇函数图象关于原点对称,∴x>0时,-y=(-x)2-(-x) 即y=-x2-x又f(0)=0, ,如图 9.设定义在[-3,3]上的偶函数f(x)在[0,3]上是单调递增,当f(a-1) 解: ∵f(a-1) 而|a-1|,|a|∈[0,3] . 类型六、综合问题 10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间 的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式,其中成立的是_________. ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a) 答案: ①③. 11.求下列函数的值域: (1) (2) (3) 思路点拨: (1)中函数为二次函数开方,可先求出二次函数值域; (2)由单调性求值域,此题也可换元解决;(3)单调性无法确定,经换元后将之转化为熟悉二次函数情形,问题得到解决,需注意此时t的范围. 解: (1) ; (2) 经观察知, , ; (3)令 . 12.已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1. (1)若函数f(x)在区间[0,2]上是单调的,求实数a的取值范围; (2)当x∈[-1,1]时,求函数f(x)的最小值g(a),并画出最小值函数y=g(a)的图象. 解: (1)∵f(x)=(x-a)2-1∴a≤0或a≥2 (2)1°当a<-1时,如图1,g(a)=f(-1)=a2+2a 2°当-1≤a≤1时,如图2,g(a)=f(a)=-1 3°当a>1时,如图3,g(a)=f (1)=a2-2a ,如图 13.已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,f (2)=1,且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y),解不等式: f(x)+f(x-2)≤3. 解: 令x=2,y=2,∴f(2×2)=f (2)+f (2)=2∴f(4)=2 再令x=4,y=2,∴f(4×2)=f(4)+f (2)=2+1=3∴f(8)=3 ∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为: f[x(x-2)]≤f(8) . 14.判断函数 上的单调性,并证明. 证明: 任取0 ∵0 (1)当 时 0 ∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2) 上是减函数. (2)当x1,x2∈(1,+∞)时, 上是增函数. 难点: x1·x2-1的符号的确定,如何分段. 15.设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,试讨论f(x)的奇偶性,并求f(x)的最小值. 解: 当a=0时,f(x)=x2+|x|+1,此时函数为偶函数; 当a≠0时,f(x)=x2+|x-a|+1,为非奇非偶函数. (1)当x≥a时, [1] 且 [2] 上单调递增, 上的最小值为f(a)=a2+1.
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