第一章 111 第1课时集合的含义.docx
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第一章111第1课时集合的含义
§1.1 集 合
1.1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
学习目标
1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征,并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.
知识点一 元素与集合的概念
1.把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.
2.把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.
知识点二 元素与集合的关系
元素与集合的关系有且只有两种,分别为属于、不属于,数学符号分别为∈、∉.
知识点三 元素的三个特性
元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性.
思考 某中学2019级高一年级20个班构成一个集合A,①高一(10)班、高二(6)班是集合A中的元素吗?
②若a∈A,b∈A,则元素a,b有什么关系?
为什么?
答案 ①高一(10)班是A中的元素,高二(6)班不是A中的元素.②a≠b,这是因为集合A中的元素具有互异性.
知识点四 常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N+
Z
Q
R
1.y=x+1上所有点构成集合A,则点(1,2)∈A.( √ )
2.某班所有的“帅哥”构成一个集合.( × )
3.由方程x2-4=0或x-2=0的根组成的集合中有3个元素.( × )
4.元素0,1,2和元素2,1,0组成的集合不是同一个集合.( × )
题型一 对集合含义的理解
例1 考察下列每组对象能否构成一个集合.
(1)不超过20的非负数;
(2)方程x2-9=0在实数范围内的解;
(3)某班的所有高个子同学;
(4)
的近似值的全体.
考点 集合的概念
题点 集合的概念
解
(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”,所以能构成集合;
(2)能构成集合;
(3)“高个子”无明确的标准,对于某个人算不算高个子无法客观地判断,因此不能构成一个集合;
(4)“
的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合.
反思感悟 判断给定的对象能不能构成集合,关键在于是否给出一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.
跟踪训练1 下列各组对象可以组成集合的是( )
A.中国著名科学家
B.小于8的所有素数
C.平面直角坐标系内第一象限的一些点
D.所有小的正数
考点 集合的概念
题点 集合的概念
答案 B
解析 A中“著名”的标准不确定,不能构成集合;B能构成集合;C中“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合;D中“所有小的”没有明确的标准,所以不能构成集合.
题型二 元素与集合的关系
例2 给出下列关系:
①
∈R;②
∉Q;③|-3|∉N;④|-
|∈Q;⑤0∉N,其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 B
解析
是实数,①对;
不是有理数,②对;
|-3|=3是自然数,③错;
|-
|=
为无理数,④错;
0是自然数,⑤错.
故选B.
反思感悟 要判断元素与集合的关系,首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集,如N,R,Q,概念要清晰);其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件.
跟踪训练2 给出下列命题:
①N中最小的元素是1;②若a∈N,则-a∉N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2.
其中所有正确命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
答案 A
解析 自然数集中最小的元素是0,故①③不正确;对于②,若a∈N,即a是自然数,当a=0时,-a仍为自然数,所以②也不正确.
题型三 元素的特性的应用
例3 已知集合A有三个元素:
a-3,2a-1,a2+1,集合B也有三个元素:
0,1,x.
(1)若-3∈A,求a的值;
(2)若x2∈B,求实数x的值;
(3)是否存在实数a,x,使集合A与集合B中元素相同.
解
(1)由-3∈A且a2+1≥1,
可知a-3=-3或2a-1=-3,
当a-3=-3时,a=0;当2a-1=-3时,a=-1.
经检验,0与-1都符合要求.
∴a=0或-1.
(2)当x=0,1,-1时,都有x2∈B,
但考虑到集合元素的互异性,x≠0,且x≠1,故x=-1.
(3)显然a2+1≠0.由集合元素的无序性,
只可能a-3=0或2a-1=0.
若a-3=0,则a=3,A包含的元素为0,5,10,与集合B中元素不相同.
若2a-1=0,则a=
,A包含的元素为0,-
,
,与集合B中元素不相同.
故不存在实数a,x,使集合A与集合B中元素相同.
反思感悟 元素的无序性主要体现在:
①给出元素属于某集合,则它可能表示集合中的任一元素;②给出两集合元素相同,则其中的元素不一定按顺序对应相等.
元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验,同一集合中的元素要互不相等.
跟踪训练3 已知集合M中含有三个元素:
a,
,1,集合N中含有三个元素:
a2,a+b,0,若集合M与集合N中元素相同,求a,b的值.
解 ∵集合M与集合N中元素相同.
∴集合M中含有元素0,集合N中含有元素1,
∴b=0,a=1或-1.
由集合中元素的互异性,得a≠1,∴a=-1,b=0.
根据已知元素与集合的循环关系推理
典例 设A是某实数集合,满足若a∈A,则
∈A,a≠1,且1∉A.
(1)若2∈A,则集合A中至少还有几个元素?
求出这几个元素;
(2)集合A中能否只含有一个元素?
请说明理由;
(3)若a∈A,证明:
1-
∈A.
考点 元素与集合的关系
题点 伴随元素问题
(1)解 因为2∈A,所以
=
=-1∈A;
所以
=
=
∈A;
所以
=
=2∈A.
因此,集合A中至少还有两个元素-1和
.
(2)解 不能.如果集合A中只含有一个元素,则a=
,整理得a2-a+1=0.该方程无实数解,故在实数范围内,集合A中不可能只含有一个元素.
(3)证明 a∈A⇒
∈A⇒
∈A.
即
=
∈A,故1-
∈A.
[素养评析]
(1)判断或证明元素和集合关系的两种方法
①直接法
a.使用前提:
集合中的元素是直接给出的.
b.判断方法:
首先明确集合是由哪些元素构成,然后再判断该元素在已知集合中是否出现.
②推理法
a.使用前提:
对于某些不便直接表示的集合.
b.判断方法:
首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.
(2)掌握推理基本形式和规则,探索和表达论证过程,体现了逻辑推理的数学核心素养.
1.下列给出的对象中,能组成集合的是( )
A.一切很大的数
B.好心人
C.漂亮的小女孩
D.方程x2-1=0的实数根
考点 集合的概念
题点 集合的概念
答案 D
2.下列结论中,不正确的是( )
A.若a∈N,则
∉NB.若a∈Z,则a2∈Z
C.若a∈Q,则|a|∈QD.若a∈R,则
∈R
考点 元素与集合的关系
题点 常用的数集及表示
答案 A
3.若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
考点 元素的三特性
题点 元素互异性的应用
答案 D
4.由“book中的字母”构成的集合中元素的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
考点 元素与集合的关系
题点 集合中元素的个数
答案 C
5.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素组成的集合,且2∈A,则实数m的值为( )
A.2B.3
C.0或3D.0,2,3均可
考点 元素与集合的关系
题点 由元素与集合的关系求参数的值
答案 B
解析 由2∈A可知:
若m=2,则m2-3m+2=0,
这与m2-3m+2≠0相矛盾;
若m2-3m+2=2,则m=0或m=3,
当m=0时,与m≠0相矛盾,
当m=3时,此时集合A的元素为0,3,2,符合题意.
1.考察对象能否构成一个集合,就是要看是否有一个确定的特征(或标准),依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体.如果有,能构成集合;如果没有,就不能构成集合.
2.元素a与集合A之间只有两种关系:
a∈A,a∉A.
3.集合中元素的三个特性
(1)确定性.
(2)互异性.
(3)无序性.
一、选择题
1.已知集合A由满足x<1的数x构成,则有( )
A.3∈AB.1∈AC.0∈AD.-1∉A
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 C
解析 很明显3,1不满足不等式,而0,-1满足不等式.
2.下列关系正确的个数为( )
①
∈Q;②0∈N*;③|-3.14|∈R;④-
∈Q.
A.1B.2C.3D.4
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 B
解析 因为
是无理数,所以①错误;因为0是自然数,不是正整数,所以②错误;|-3.14|=3.14,所以③对;-
是有理数,所以④对,故正确的个数是2.
3.现有以下说法,其中正确的是( )
①接近于0的数的全体构成一个集合;
②正方体的全体构成一个集合;
③未来世界的高科技产品构成一个集合;
④不大于3的所有自然数构成一个集合.
A.①②B.②③C.③④D.②④
考点 集合的概念
题点 集合的概念
答案 D
解析 在①中,接近于0的数的全体不能构成一个集合,故①错误;在②中,正方体的全体能构成一个集合,故②正确;在③中,未来世界的高科技产品不能构成一个集合,故③错误;在④中,不大于3的所有自然数能构成一个集合,故④正确.
4.设A是方程2x2+ax+2=0的解集,且2∈A,则实数a的值为( )
A.-5B.-4C.4D.5
考点 元素与集合的关系
题点 由元素与集合的关系求参数
答案 A
解析 因为2∈A,所以2×22+2a+2=0,解得a=-5.
5.设集合M是由不小于2
的数组成的集合,a=
,则下列关系中正确的是( )
A.a∈MB.a∉MC.a=MD.a≠M
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 B
解析 因为集合M是由不小于2
的数组成的集合,a=
,所以a不是集合M中的元素,故a∉M.
6.已知x,y为非零实数,代数式
+
的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是( )
A.0∉MB.1∈M
C.-2∉MD.2∈M
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 D
解析 ①当x,y为正数时,代数式
+
的值为2;②当x,y为一正一负时,代数式
+
的值为0;③当x,y均为负数时,代数式
+
的值为-2,所以集合M的元素共有3个:
-2,0,2,故选D.
7.已知A中元素x满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是( )
A.-1∉AB.-11∈A
C.3k2-1∈AD.-34∉A
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 C
解析 令3k-1=-1,解得k=0∈Z,∴-1∈A.
令3k-1=-11,解得k=-
∉Z,∴-11∉A;
∵k∈Z,∴k2∈Z,∴3k2-1∈A.
令3k-1=-34,解得k=-11∈Z,∴-34∈A.
8.已知集合A中的元素x满足2x+a>0,a∈R,若1∉A,2∈A,则( )
A.a>-4B.a≤-2
C.-4 考点 元素与集合的关系 题点 由元素与集合的关系求参数的取值范围 答案 D 解析 ∵1∉A,∴2×1+a≤0,a≤-2. 又∵2∈A,∴2×2+a>0,a>-4,
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