高二数学立体几何空间几何体的直观图教案2.docx
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高二数学立体几何空间几何体的直观图教案2
2019-2020年高二数学立体几何空间几何体的直观图教案2
教学目标:
(1)掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。
(2)采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。
教学重点:
用斜二测画法画空间几何体直观图。
教学难点:
用斜二测画法画空间几何体直观图的画法原理。
教学过程:
一、新课导入:
1.提问:
何为三视图?
(正视图:
自前而后;侧视图:
自左而右;俯视图:
自上而下)
2.讨论:
如何在平面上画出空间图形?
3.引入:
定义直观图(表示空间图形的平面图).观察者站在某一点观察几何体,画出的图形.
把空间图形画在平面内,画得既富有立体感,又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形
二、讲授新课:
1.水平放置的平面图形的斜二测画法:
(1)讨论:
水平放置的平面图形的直观感觉?
以六边形为例讨论.
例1用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。
(师生共练,注意取点、变与不变→小结:
画法步骤)
画法:
①如图1.2-10
(1),在正六边形ABCDEF中,取AD所在直线为x轴,对称轴MN所在直线为y轴,两轴相交于点O。
在图1.2-10
(2)中,画相应的x’轴与y’轴,两轴相交于点O’,使=450。
②在图1.2-10
(2)中,以O’为中点,在x’轴上取A’D’=AD,在y’轴上取M’N’=MN。
以点N’为中点,画B’C’平行于x’轴,并且等于BC;再以M’为中点,画E’F’平行于x’轴,并且等于EF。
③连接A’B’,C’D’,D’E’,F’A’,并檫去辅助线x’轴和y’轴,便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A’B’C’D’E’F’(图1.2-10(3))。
(2)给出斜二测画法的基本步骤:
①建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX,OY,建立直角坐标系;
②画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的O’X’,O’Y’,使=450(或1350),它们确定的平面表示水平平面;
③画对应图形,在已知图形平行于X轴的线段,在直观图中画成平行于X‘轴,且长度保持不变;在已知图形平行于Y轴的线段,在直观图中画成平行于Y‘轴,且长度变为原来的一半;
④擦去辅助线,图画好后,要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线(虚线)。
(3)练习:
用斜二测画法画水平放置的正五边形.
(4)讨论:
水平放置的圆如何画?
(正等测画法;椭圆模板)
2.空间图形的斜二测画法:
(1)讨论:
如何用斜二测画法画空间图形?
f
例2用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图.
(师生共练,建系→取点→连线,注意变与不变;小结:
画法步骤)
画法:
1画轴。
如图1.2-12,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=450,∠xOz=900.
2画底面。
以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=4cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
3画侧棱。
过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别取2cm长的线段AA’,BB’,CC’,DD’.
4成图。
顺次连接A’,B’,C’,D’,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图。
(2)思考:
如何根据三视图,用斜二测画法画它的直观图?
例3如图1.2-13,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图。
分析:
有几何体的三视图知道,这个几何体是一个简单组合体。
它的下部是一个圆柱,上部是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合。
我们可以先画出下部的圆柱,再画出上部的圆锥。
画法:
1画轴。
如图1.2-14
(1),画x轴、z轴,使∠xOz=900。
2画圆柱的下底面。
在x轴上取A,B两点,使AB的长度等于俯视图中圆的直径,且OA=OB。
选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面。
3在Oz上截取点O’,使OO’等于正视图中OO’的长度,过点O’作平行于轴Ox的轴O’x’,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面。
4画圆锥的顶点。
在Oz上截取点P,使PO’等于正视图中相应的高度。
5成图。
连接PA’,PB’,AA’,BB’,整理得到三视图表示的几何体的直观图(图1.2-14
(2))
强调:
用斜二测画法画图,注意正确把握图形尺寸大小的关系。
(3)讨论:
三视图与直观图有何联系与区别?
空间几何体的三视图与直观图有密切联系.三视图从细节上刻画了空间几何体的结构,根据三视图可以得到一个精确的空间几何体,得到广泛应用(零件图纸、建筑图纸).直观图是对空间几何体的整体刻画,根据直观图的结构想象实物的形象.
三、巩固练习:
1.探究P19奖杯的三视图到直观图.
2.练习:
P191~5题
3.画出一个正四棱台的直观图.尺寸:
上、下底面边长2cm、4cm;高3cm
四、归纳小结:
让学生回顾斜二测画法的关键与步骤。
五、作业布置:
课本P21第4、5题。
2019-2020年高二数学第56课直线与椭圆教案
●考试目标主词填空
1.椭圆的定义与方程
①椭圆的第一定义:
已知F1,F2是平面内两个定点,P是动点,当且仅当它们满足条件|PF1|+|PF2|=定长2a且2a>|F1F2|时,P的轨迹是椭圆.
②椭圆的第二定义:
设F为定点,l是定直线,P是动点,P、F及l共面,当且仅当它们满足条件
时,P的轨迹是椭圆.
③中心在原点,焦点在x轴上的椭圆方程是,中心在原点,焦点在y轴上的椭圆标准方程是.
2.椭圆的几何性质
对椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)而言,其范围是x∈[-a,a]y∈[-b,b],关于坐标轴和原点对称,顶点坐标是(±a,0),(0,±b),离心率e=准线方程是.
3.点与椭圆的位置关系
点P(x0,y0)在椭圆内部的充要条件是;在椭圆外部的充要条件是;在椭圆上的充要条件是.
4.直线与椭圆的位置关系.
设直线l:
Ax+By+C=0,椭圆C:
,联立l与C,消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程,此一元二次方程的判别式为Δ,则l与C相离的Δ<0;l与C相切Δ=0;l与C相交于不同两点Δ>0.
5.椭圆方程的确定
求椭圆方程,若中心和对称轴已知,则在a、b、c中只须确定两个,因a2=b2+c2常用的方法是列方程组,解方程组,从而确定系数a、b、c.
6.弦长计算
计算椭圆被直线截得的弦长,往往是设而不求,即设弦两端坐标为P1(x1,y1),P2(x2,y2)|P1P2|==f(k)形式(利用根与系数关系转化).
●题型示例点津归纳
【例1】根据下列条件求椭圆的标准方程:
(1)两准线间的距离是;
(2)和椭圆共准线,且离心率为;
(3)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.
【解前点津】
(1)先根据条件选择适当形式的标准方程,然后建立关于a,b,c的方程组确定系数a,b,c;
(2)对给定椭圆上一点与两焦点,可用第一定义求椭圆的方程;
(3)对于给定椭圆上一点及一焦点及相应准线用第二定义求椭圆方程.
【规范解答】
(1)设椭圆长轴为2a,短轴为2b,焦距为2c,则
2①,2c=2②,a2=b2+c2③
解由①②③构成的方程组得:
a=3,b=2.
故所求椭圆方程为
.
(2)设椭圆方程为:
(a>0,b>0),则其准线为x=±12,所以:
.
故所求椭圆方程为.
(3)由2a=|PF1|+|PF2|=2,∴a=,由,故所求椭圆方程为
.
【解后归纳】求椭圆的方程,一是选择恰当的形式,二是利用其几何性质,然后列出方程组,通过解方程组确定系数.
【例2】已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=,求椭圆方程.
【解前点津】由题设条件,不能确定焦点是在x轴,还是在y轴上,且对于a、b、c的关系条件未作定性说明,故可设椭圆方程为:
mx2+ny2=1(m>0,n>0)简便.
【规范解答】设椭圆方程为:
mx2+ny2=1(m>0,n>0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由中消去y并依x聚项整理得:
(m+n)·x2+2nx+(n-1)=0,Δ=4n2-4(m+n)·(n-1)>0,即m+n-mn>0,OP⊥OQ等价于x1x2+y1y2=0,将y1=x1+1,y2=x2+1代入得:
2x1x2+(x1+x2)+1=0,
∴
①
又|PQ|=
=
②
联立①②并解之得:
经检验这两组解都满足Δ>0,故所求椭圆方程为x2+3y2=2或3x2+y2=2.
【解后归纳】中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆方程可用统一形式:
mx2+ny2=1
(m>0,n>0),m与n的大小关系,决定了焦点位置.
【例3】设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=,已知点P(0,)到这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程.
【解前点津】由条件,可将椭圆标准方程用含一个参数的形式表示,将“最远距离”转化为二次函数的最值.
【规范解答】由e=可推出a=2b,于是可设椭圆方程为:
,即有x2=4b2-4y2.
设M(x,y)是椭圆上任意一点,且-b≤y≤b,∴|PM|2=-3(y+)2+4b2+3,由于y∈[-b,b],于是转化为在闭区间[-b,b],求二次函数的最值.
当b<时,y=-b,|PM|2有最大值b2+3b+,令b2+3b+=()2,解得b=-,舍去.
当b≥时,取y=-知|PM|2有最大值4b2+3,令4b2+3=()2解得:
b=1,a=2,故所求方程为:
.
【解后归纳】这是一道解析几何与函数的综合题,其知识的交汇点及“等价转化”的数学思想,是必须“关注”的.
【例4】设椭圆方程为,过原点且倾斜角为θ和π-θ(0<θ<)的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点.
(1)用θ表示四边形ABCD的面积;
(2)当θ∈(0,)时,求S的最大值.
【解前点津】设直线方程为y=x·tanθ,利用椭圆图形的“对称性”,易用θ表示S,然后运用函数的知识,求面积S的最大值.
【规范解答】
(1)设经过原点且倾斜角为θ的直线方程为:
y=x·tanθ,代入求得:
x2=
,由对称性知四边形ABCD为矩形,又由于0<θ<,所以四边形ABCD的面积为:
S=4|xy|=.
(2)当0<θ≤时,0 (0 ∵函数f(t)=t+在(0,)上是单调减函数, ∴f(t)min=f (1)=1+2=3,∴当θ=时,Smax=. 【解后归纳】从代数角度出发,利用椭圆的几何性质,确定四边形ABCD为矩形,是解题的一个亮点,读者应认真体会. ●对应训练分阶提升 一、基础夯实 1.椭圆短轴长是2,长轴是短轴的2倍,则椭圆中心到其准线距离是() A.B.C.D. 2.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是() A.(0,+∞)B.(0,2)C(1,+∞)D.(0,1) 3.设P为椭圆上一点,F1,F2为焦点,如果∠PF1F2=75°,∠PF2F1=15°,则椭圆的离心率为() A.B.C.D. 4.一个椭圆的离心率为e=,准线方程为x=4,对应的焦点为F(2,0),则椭圆的方程为() A.3x2+4y2=8B.4x2+3y2=8C.3x2+4y2+8x=0D.3x2+4y2-8x=0 5.椭圆(a>b>0)的中心及两个焦点将x轴夹在准线间的线段四等分,则椭圆的离心率为() A.B.C.D. 6.到定点(2,0)的距离与到定直线x=8的距离之比为的动点轨迹方程是() A.3x2+4y2=48B.x2+2y2+8x-56=0C.4x2+3y2=48D.3x2+2y2-8x+68=0 7.已知椭圆的焦点为F1(-3,2)、F2(5,2),长轴长为10,则椭圆的方程为() A.B. C.D. 8.已知椭圆内有一点P(1,-1),F为椭圆的右焦点,在椭圆上有一点M,使|MP|+2|MF|取得最小值,则点M的坐标为() A.B.C.D. 9.已知椭圆,左、右焦点分别为F1,F2,B(2,2)是其内一点,M为椭圆上的动点,则|MF1|+|MB|的最大值与最小值分别是() A.10+,10-B.10+,10- C.10+2,10-2D.10+2,10-2 二、思维激活 10.椭圆方程为,点A、B在椭圆上,并且直线AB经过椭圆的左焦点,设椭圆的右焦点为F2,则△ABF2的周长是. 11.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P()和Q(-,3),则椭圆的方程为. 12.P是椭圆(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,若∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,则椭圆的离心率用α、β表示就是. 13.椭圆(a>b>0)上一点M满足∠F1MF2=α,其中F1、F2为椭圆的两个焦点,则△F1MF2的面积等于. 三、能力提高 14.已知椭圆的焦点在x轴上,P为椭圆上一点,F1、F2为两焦点,且PF1⊥PF2,若P点到两准线的距离分别为6和12,求椭圆的标准方程. 15.椭圆的左右焦点分别为F1和F2,过中心O作直线与椭圆交于A、B两点,若△ABF2的面积为20,求直线AB的方程. 16.已知椭圆(a>b>0),F1、F2分别为其左、右焦点,P为椭圆上任意一点,θ=∠F1PF2,求θ的最大值及θ取得最大值时P点的坐标. 17.已知椭圆+y2=1. (1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程; (2)过A(2,1)的直线l与椭圆相交,求l被截得的弦的中点轨迹方程; (3)过点P且被P点平分的弦所在直线的方程. 第1课直线与椭圆习题解答 1.D因b=1,a=2,∴c= 2.D因a2=,b2=2故由a>b>0得,0 3.B如图所示,在△PF1F2中,∠F1PF2=90°, ∴|PF1|=2c·cos75°,|PF2|=2c·sin75° 2a=2ccos75°+2csin75° ,故选B. 4.D设P(x,y)为椭圆上的流动坐标,由椭圆的第二定义得: ,即4·(x2+y2+4-4x)=(x-4)2化简即得. 5.A由条件得: 2c=. 6.B由椭圆第二定义得: ,化简即得. 7.D将椭圆按向量a=(1,2)平移即得. 8.A如图所示,右准线l的方程为x=4,而l=, 由第二定义得2|MF|=2·|MH|=|MH|,故: |MP|+2|MF|=|MP|+|MH|≥P到l的距离,过 P作|PH|⊥l交椭圆于M,易求得M的坐标为: . 9.C因a=5,b=3,∴c=4,由椭圆的定义得: |MF1|+|MB|=2a-|MF2|+|MB|=10+|MB|-|MF2|,过F2作l⊥x轴交椭圆于Q1,Q2两点,这两点就是所求的点M. 10.因a=2,b=,∴c=,∴左焦点为F1(-,0), 右焦点为F2(,0),∵ ∴两式相加得△ABF2的周长是8. 11.因椭圆中心在原点,且以坐标轴为对称轴,∴可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0).由 得 . 故椭圆方程为: x2+=1. 12.如图所示,在△PF1F2中,由正弦定理得: |PF2|=2Rsinα,|PF1|=2Rsinβ,|F1F2|=2Rsin(α+β) . 13.如图所示,则由 (2c)2=(2a)2-(2·2S+2·2S·cosα)·cscαc2=a2-cscα·(1+cosα)·S ∴S= . 14.如图所示,设椭圆的方程,焦距为2c,则 |PF1|=×6,|PF2|=×12代入: |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2得36=4c2 a2=45,又6+12=×2,∴c=5,∴b2=a2-c2=20, 故所求椭圆方程为: . 15.∵当AB⊥F1F2时,,∴AB与F1F2不能垂直,∴可设直线AB的方程为: y=kx,设A、B两点的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB)由 得: (4+9k2)·x2-180=0, |xA-xB|= ∵S△ABF=S△OBF+S△OAF=·|OF2|·|yB|+|OF2|·|yA| =×5(|yB|+|yA|)=|yA-yB| ∵S△ABF=20,∴|yA-yB|=20, ∴|yA-yB|=8即|kxA-kxB|=8,亦即|k|·=8,∴k=±. 故所求直线方程是y=±x. 16.设P(x,y),则 ,∴|PF1|=a+x,同理|PF2|=a-x,在△F1PF2中,由余弦定理: cosθ= = = ∴-a≤x≤a ∴0≤x2≤a2,∴当x=0时,cosθ=最小. 17. (1)设斜率为2并与椭圆相交的直线方程为: y=2x+m,直线与椭圆的交点为: A1(x1,y1),A2(x2,y2),中点为P(x,y)从方程组中消去y并依x聚项整理得: 9x2+8mx+(2m2-2)=0, ∴ ,-3 x+4y=0. (2)不妨设过A的直线方程为y-1=k(x-2),即y=kx+(1-2k)从方程组中消去y并依x聚项整理得: (2k2+1)·x2+4k·(1-2k)·x+(8k2-8k)=0. 故有 设l与椭圆交点为B1(x1,y1),B2(x2,y2),B1B2的中点为M(x,y),则由中点公式得: ① ② 2y=2(1-2k)+k·2xk=代入①得. 2x· 化简得: x2+2y2-2x-2y=0(夹在椭圆内). (3)设以P为中点的直线方程为y-=m(x-),即y=mx+代入椭圆方程得 x2+2·,依x聚项整理得 (2m2+1)x2+2m·(1-m)·x+ ∴以P为中点的直线方程为y=-,即2x+4y-3=0为所求直线方程.
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