5.已知A∩{-1,0,1}={0,1},且A∪{-2,0,2}={-2,0,1,2},则满足上述条件的集合A共有( )
A.2个B.4个
C.6个D.8个
6.已知集合A={x|y=},B={y|y=x2+1},则A∩B=( )
A.∅B.[-1,1]
C.[-1,+∞)D.[1,+∞)
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x),若f(-3)=2,则f(7)=( )
A.2012B.2
C.2013D.-2
8.已知函数f(x)的单调递增区间是(-2,3),则y=f(x+5)的单调递增区间是( )
A.(3,8)B.(-7,-2)
C.(-2,3)D.(0,5)
9.若x∈[0,1],则函数y=-的值域是( )
A.[-1,-1]
B.[1,]
C.[-1,]
D.[0,-1]
10.若不等式ax2+ax+a+3≥0对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-4,0)
B.(-∞,-4)∪(0,+∞)
C.[0,+∞)
D.(-4,0]
11.已知函数f(x)=在R上单调,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,2]B.[2,+∞)
C.[4,+∞)D.[2,4]
12.若平面直角坐标系内的两点P,Q满足条件:
①P,Q都在函数y=f(x)的图像上,②P,Q关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数y=f(x)的一对“友好点对”(点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”).已知函数f(x)=则此函数的“友好点对”有( )
A.0对B.1对
C.2对D.3对
请将选择题答案填入下表:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
总分
答案
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.
+()-4+=________.
14.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=________.
15.若函数f(x)=|4x-x2|-a的零点个数为3,则a=________.
16.给定集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合,给出如下四个结论:
①集合A={0}为闭集合;
②集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;
③集合A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合;
④若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合.
其中所有正确结论的序号是________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知集合M={x|x2-4x+3<0},N={x||x-3|≤1}.
(1)求出集合M,N;
(2)试定义一种新集合运算△,使M△N={x|1<x<2};
(3)若P=,按
(2)的运算,求出(N△M)△P.
18.(12分)已知二次函数满足f
(1)=0,且f(x+1)-f(x)=4x+3.
(1)求函数f(x)的解析式,
(2)若函数f(x)在区间[a,a+1]上单调,求实数a的取值范围.
19.(12分)已知函数f(x)=xm-,且f(4)=3.
(1)求m的值;
(2)求f(x)的奇偶性;
(3)若不等式f(x)-a>0在区间[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
20.(12分)若函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为M,则当x∈M时,求f(x)=2x+2-3×4x的最值及相应的x的值.
21.(12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:
“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:
千克/年)是养殖密度x(单位:
尾/立方米)的函数.当x不超过4时,v的值为2;当4≤x≤20时,v是x的一次函数;当x达到20时,因缺氧等原因,v的值为0.
(1)当0(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:
千克/立方米)f(x)=x·v(x)可以达到最大?
并求出最大值.
22.(12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=ax-1(a>0且a≠1).
(1)求f
(2)+f(-2)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)解关于x的不等式f(x)<4,结果用集合或区间表示.
模块终结测评
(一)
1.B [解析]易知B={2,3},所以集合B中有2个元素.
2.D [解析]依题意有2=4a,得a=,所以f(x)=
,当f(m)=
=3时,m=9.
3.C [解析]A中,y=2log2x的定义域是(0,+∞),y=log2x2的定义域是{x|x∈R,且x≠0};B中,y=的定义域是R,y=的定义域是{x|x≥0};
C中,y=x与y=log22x=x的定义域和值域均为R,且对应法则相同,故为同一函数;
D中,y=的定义域是{x|x≥2或x≤-2},y=·的定义域是{x|x≥2}.
4.A [解析]在同一坐标系中画出三个函数的图像(图略).由图像可知a<0,01,因此a
5.B [解析]因为A∩{-1,0,1}={0,1},所以0,1∈A且-1∉A.
又因为A∪{-2,0,2}={-2,0,1,2},所以1∈A,所以满足条件的A只能为{0,1},{0,1,-2},{0,1,2},{0,1,2,-2},共有4个.
6.D [解析]A={x|y=}={x|x≥-1},B={y|y=x2+1}={y|y≥1}.所以A∩B=[1,+∞).
7.D [解析]f(7)=f(3+4)=f(3)=-f(-3)=-2.
8.B [解析]∵f(x)的单调递增区间为(-2,3),∴-29.C [解析]该函数为增函数.自变量最小时,函数值最小;自变量最大时,函数值最大.故ymin=-1,ymax=.
10.C [解析]因为ax2+ax+a+3≥0对一切实数x恒成立,
所以当a=0时,不等式等价于3≥0,满足题意;
当a≠0时,需满足解得a>0.
故a的取值范围为[0,+∞).
11.D [解析]当x≥1时,f(x)=1+为减函数,所以f(x)在R上应为减函数.当x<1时,f(x)=x2-ax+5为减函数,所以≥1,即a≥2,并且满足当x=1时,f(x)=1+的函数值不大于x=1时f(x)=x2-ax+5的函数值,即1-a+5≥2,解得a≤4.所以实数a的取值范围为[2,4].
12.C [解析]函数f(x)=的图像及函数f(x)=-x2-4x(x≤0)的图像关于原点对称的图像如图所示,则A,B两点关于原点的对称点一定在函数f(x)=-x2-4x(x≤0)的图像上,故函数f(x)的“友好点对”有2对.
13.30 [解析]原式=
+24+10=4+16+10=30.
14.-3 [解析]因为f(x)为定义在R上的奇函数,
所以f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,
所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1.
又因为f(x)为定义在R上的奇函数,
所以f(-1)=-f
(1)=-(21+2×1-1)=-3.
15.4 [解析]作出g(x)=|4x-x2|的图像(图略),由图像可知函数g(x)的零点为0和4.由图像可知,将g(x)的图像向下平移4个单位长度时,满足题意,所以a=4.
16.①③ [解析]对于①,集合A={0}满足条件,所以A={0}是闭集合;对于②,集合A={-4,-2,0,2,4},因为4-(-4)=8∉A,所以A={-4,-2,0,2,4}不是闭集合;对于③,A={n|n=3k,k∈Z},因为任何两个是3的倍数的数的和与差都是3的倍数,所以A={n|n=3k,k∈Z}是闭集合;对于④,若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2不一定为闭集合,如A1={n|n=2k,k∈Z}是闭集合,A2={n|n=3k,k∈Z}为闭集合,但A1∪A2不是闭集合.所以正确结论为①③.
17.解:
(1)M={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},N={x||x-3|≤1}={x|2≤x≤4}.
(2)由M△N={x|1<x<2}可知,M△N中的元素都在M中但不在N中,
∴定义M△N={x|x∈M且x∉N}.
(3)P=={x|x≠2.5}.
∵N△M={x|3≤x≤4},
∴(N△M)△P=∅.
18.解:
(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f
(1)=a+b+c=0.
∵f(x+1)-f(x)=4x+3,
∴a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=4x+3,化简得2ax+a+b=4x+3,
则⇒∴c=-3,∴f(x)=2x2+x-3.
(2)由
(1)知f(x)图像的对称轴为x=-.
要使f(x)在区间[a,a+1]上单调,则a≥-或a+1≤-,
∴a≥-或a≤-.
19.解:
(1)∵f(4)=3,∴4m-=3,∴m=1.
(2)由
(1)知f(x)=x-,其定义域为{x|x≠0}.
又f(-x)=-x-=-=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(3)∵函数y=x,y=-在区间[1,+∞)上均为增函数,
∴函数f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,∴f(x)≥f
(1)=-3.
∵不等式f(x)-a>0在区间[1,+∞)上恒成立,即不等式a20.解:
∵y=lg(3-4x+x2),∴3-4x+x2>0,
解得x<1或x>3,
∴M={x|x<1或x>3}.
f(x)=2x+2-3×4x=4×2x-3×(2x)2,
令2x=t,∵x<1或x>3,∴t>8或0<t<2,
∴f(t)=4t-3t2=-3t2+4t(t>8或0<t<2).
当0<t<2时,f(t)∈;
当t>8时,f(t)∈(-∞,-160).
当2x=t=,即x=log2时,f(x)max=.
综上可知,当x=log2时,f(x)取得最大值,无最小值.
21.解:
(1)当0当4≤x≤20时,设v(x)=ax+b,显然该函数在区间[4,20]上是减函数,
由已知得解得
故函数v(x)=
(2)依题意并由
(1)可得f(x)=
当0当4f(x)max=f(10)=12.5.
所以当x=10时,f(x)取得最大值12.5,
即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5千克/立方米.
22.解:
(1)∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(-2)=-f
(2),即f
(2)+f(-2)=0.
(2)设x<0,则-x>0,∴f(-x)=a-x-1.
∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-a-x+1(x<0),
∴所求的解析式为f(x)=
(3)不等式f(x)<4等价于或
即或即或x<0.
当a>1时,有或x<0,
∵loga5>0,∴不等式的解集为(-∞,loga5);
当0<a<1时,有或x<0,
∵loga5<0,∴不等式的解集为R.
综上所述,当a>1时,不等式的解集为(-∞,loga5);
当0<a<1时,不等式的解集为R.