高一入学考试数学以及答案.docx
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高一入学考试数学以及答案
2013年8月北京高一入学考试
一.选择题(共6小题)
1.(2010•泰安一模)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f
(1)=2,则f(﹣2)等于( )
A.
2
B.
3
C.
6
D.
9
2.定义在R上的函数f(x)是奇函数,且满足f(x+6)=f(x),若f
(1)=2010,f(2009)+f(2010)得值等于( )
A.
0
B.
﹣2010
C.
2010
D.
4019
3.已知函数f(n)=
其中n∈N,则f(8)等于( )
A.
2
B.
4
C.
6
D.
7
4.已知(a﹣x)5=a0+a1x+a2x2+••+a5x5,若a2=80,则a0+a1+a2+••+a5=( )
A.
32
B.
1
C.
﹣243
D.
1或﹣243
5.函数y=﹣k|x﹣a|+b的图象与函数y=k|x﹣c|+d的图象(k>0,且k≠
)交于两点(2,5),(8,3),则
的值是( )
A.
B.
C.
D.
6.若实数a≠b,且a,b满足a2﹣8a+5=0,b2﹣8b+5=0,则代数式
的值为( )
A.
﹣20
B.
2
C.
2或﹣20
D.
2或20
二.填空题(共3小题)
7.定义在R上的函数f(x)满足关系
,则
的值等于 _________ .
8.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f
(1)=2,则f(﹣2)等于 _________ .
9.(2012•杭州一模)不等式x2﹣3>ax﹣a对一切3≤x≤4恒成立,则实数a的取值范围是 _________ .
三.解答题(共4小题)
10.对于函数f(x),若存在x0使得f(x0)=x0成立,则称点(x0,x0)为函数f(x)的不动点.
(1)已知函数f(x)=ax2+bx﹣b(a≠0)有不动点(1,1)和(﹣3,﹣3),求a,b的值.
(2)若对于任意实数b,函数f(x)=ax2+bx﹣b总有两个相异的不动点,求a的范围.
11.设(2x﹣1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,求:
(1)a0+a1+a2+a3+a4;
(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;
(3)a1+a3+a5;
(4)(a0+a2+a4)2﹣(a1+a3+a5)2.
12.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b为实数),
(1)若f(x)满足不等式f(x)>﹣2x的解集为(1,3),且方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式;
(2)若c=1,f(﹣1)=0且对任意实数x均有f(x)≥0成立;当x∈[﹣3,3]时,g(x)=f(x)﹣kx是单调函数,求实数k的取值范围.
13.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)>﹣2x的解集为(1,3).
(Ⅰ)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)的最大值为正数,求实数a的取值范围.
2013年8月高一入学考试2
参考答案与试题解析
一.选择题(共6小题)
1.(2010•泰安一模)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f
(1)=2,则f(﹣2)等于( )
A.
2
B.
3
C.
6
D.
9
考点:
函数的值.767691
专题:
函数的性质及应用.
分析:
由于f
(1)=2,f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),可考虑对变量赋值,令x=y=1,可求得f
(2),再令x=2,y=﹣1,可求得f(﹣1),从而可求得f(﹣2).
解答:
解:
∵f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f
(1)=2,
∴令x=y=1,得f
(2)=f(1+1)=f
(1)+f
(1)+2=6,
再令x=2,y=﹣1,得f(2﹣1)=f
(2)+f(﹣1)﹣4=2,∴f(﹣1)=0,
∴f(﹣2)=f(﹣1)+f(﹣1)+2=2.
故选A.
点评:
本题考查抽象函数及其应用,对于抽象函数的应用,突出赋值法的考查,利用函数关系式灵活赋值是关键,属于基础题.
2.定义在R上的函数f(x)是奇函数,且满足f(x+6)=f(x),若f
(1)=2010,f(2009)+f(2010)得值等于( )
A.
0
B.
﹣2010
C.
2010
D.
4019
考点:
函数的周期性;函数奇偶性的性质;函数的值.767691
专题:
计算题.
分析:
根据题意,函数是周期为6的奇函数,从而得到f(2009)=f(﹣1)=﹣f
(1)=﹣2010,再结合f(2010)=f(0)=0可得f(2009)+f(2010)的值.
解答:
解:
∵f(x+6)=f(x),∴f(x)得周期为6,
因此f(2009)=f(﹣1+6×335)=f(﹣1)
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(﹣1)=﹣f
(1)=﹣2010,可得f(2009)=﹣2010
因为f(2010)=f(6×335)=f(0)=0,
所以f(2009)+f(2010)=﹣2010,
故选B.
点评:
本题在已知函数的周期和奇偶性的情况下,求f(2009)+f(2010)的值,着重考查了函数的周期性和奇偶性等知识,属于基础题.
3.已知函数f(n)=
其中n∈N,则f(8)等于( )
A.
2
B.
4
C.
6
D.
7
考点:
函数的值.767691
专题:
计算题.
分析:
根据解析式先求出f(8)=f[f(13)],依次再求出f(13)和f[f(13)],即得到所求的函数值.
解答:
解:
∵函数f(n)=
,
∴f(8)=f[f(13)],
则f(13)=13﹣3=10,
∴f(8)=f[f(13)]=10﹣3=7,
答案为:
7.
故选D.
点评:
本题是函数求值问题,对应多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值,一定要注意自变量的值所在的范围,然后代入相应的解析式求解.
4.已知(a﹣x)5=a0+a1x+a2x2+••+a5x5,若a2=80,则a0+a1+a2+••+a5=( )
A.
32
B.
1
C.
﹣243
D.
1或﹣243
考点:
二项式定理.767691
专题:
计算题.
分析:
利用二项展开式的通项求出通项,令x的指数为2求出a2,列出方程求出a,令二项展开式的x=1求出展开式的系数和.
解答:
解:
(a﹣x)5展开式通项为Tr+1=(﹣1)ra5﹣rC5rxr
令r=2得
a2=a3C52=80,知a=2
令二项展开式的x=1得18=1=a0+a1+…+a8
故选B.
点评:
本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题;通过给二项式的x赋值求展开式的系数和.
5.函数y=﹣k|x﹣a|+b的图象与函数y=k|x﹣c|+d的图象(k>0,且k≠
)交于两点(2,5),(8,3),则
的值是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
函数的图象.767691
专题:
计算题;压轴题.
分析:
将两个交点代入第一条直线方程,得到方程组,将两个方程相减;据绝对值的意义及k的范围得到k,a满足的等式;同样的过程得到k,c满足的等式,两式联立求出a+c的值,同样的方法可以求出b+d,即可得到结论.
解答:
解:
∵(2,5),(8,3)是两条直线的交点
∴5=﹣k|2﹣a|+b①
3=﹣k|8﹣a|+b②
①﹣②得﹣k(|8﹣a|﹣|2﹣a|)=2
∵k≠
,k>0
∴k(8﹣a+2﹣a)=2
同理得k(c﹣2+c﹣8)=2
∴10﹣2a=2c﹣10
∴a+c=10;
同样的方法可以求出b+d=8,
故选C.
点评:
本题考查直线的交点满足两直线的方程、考查利用绝对值的意义去绝对值符号.
6.若实数a≠b,且a,b满足a2﹣8a+5=0,b2﹣8b+5=0,则代数式
的值为( )
A.
﹣20
B.
2
C.
2或﹣20
D.
2或20
考点:
一元二次方程的根的分布与系数的关系;二次函数的性质.767691
专题:
计算题.
分析:
根据a≠b,知a、b满足条件a2﹣8a+5=0,b2﹣8b+5=0,可把a,b看成x2﹣8x+5=0的两个根,根据根与系数的关系即可解答求出结果.
解答:
解:
由已知条件可知,a、b为方程x2﹣8x+5=0的两根,此时△>0,
∴a+b=8,ab=5,
∴
=
=
=﹣20
故选A
点评:
本题考查了根与系数的关系,属于基础题,关键是把a,b看成方程的两个根再求解,把要求的结果整理成含有两根和与积的形式.
二.填空题(共3小题)
7.定义在R上的函数f(x)满足关系
,则
的值等于 7 .
考点:
函数的值.767691
专题:
计算题.
分析:
根据给出的式子的特点,令
化简得f(x)+f(1﹣x)=2,即两个自变量的和是1则它们的函数值的和是2,由此规律求出所求式子的值.
解答:
解:
由题意知,
,令
代入式子得,f(x)+f(1﹣x)=2,
∴
=
=6+
∵
+
=2,
∴
=7.
故答案为:
7.
点评:
本题的考点是抽象函数求值,即根据所给式子的特点进行变形,找出此函数的规律,并利用此规律对所给的式子进行求值.
8.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f
(1)=2,则f(﹣2)等于 2 .
考点:
抽象函数及其应用.767691
专题:
计算题.
分析:
由于f
(1)=2,f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),令x=y=1,可求得f
(2),再令x=2,y=﹣1,可求得f(﹣1),从而可求得f(﹣2).
解答:
解:
∵f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f
(1)=2,
∴令x=y=1,得f
(2)=f(1+1)=f
(1)+f
(1)+2=6,
再令x=2,y=﹣1,得f(2﹣1)=f
(2)+f(﹣1)﹣4=2,
∴f(﹣1)=0,
∴f(﹣2)=f(﹣1)+f(﹣1)+2=2.
故答案为:
2.
点评:
本题考查抽象函数及其应用,对于抽象函数的应用,突出赋值法的考查,利用函数关系式灵活赋值是关键,属于中档题.
9.(2012•杭州一模)不等式x2﹣3>ax﹣a对一切3≤x≤4恒成立,则实数a的取值范围是 a<3 .
考点:
一元二次不等式的解法;函数恒成立问题.767691
专题:
计算题;压轴题.
分析:
由x2﹣3>ax﹣a对一切3≤x≤4恒成立可得,
在x∈[3,4]恒成立构造函数
,x∈[3,4]从而转化为a<g(x)min结合函数
=
=
在x∈[3,4]单调性
可求
解答:
解:
∵x2﹣3>ax﹣a对一切3≤x≤4恒成立
∴
在x∈[3,4]恒成立
令
,x∈[3,4]即a<g(x)min
而
=
=
在x∈[3,4]单调递增
故g(x)在x=3时取得最小值3
故答案为:
a<3
点评:
本题主要考查了函数恒成立问题,此类问题常构造函数,转化为求解函数的最值问题:
a>f(x)(或a<f(x))恒成立⇔a>f(x)max(或a<f(x)min),体现了转化思想在解题中的应用.
三.解答题(共4小题)
10.对于函数f(x),若存在x0使得f(x0)=x0成立,则称点(x0,x0)为函数f(x)的不动点.
(1)已知函数f(x)=ax2+bx﹣b(a≠0)有不动点(1,1)和(﹣3,﹣3),求a,b的值.
(2)若对于任意实数b,函数f(x)=ax2+bx﹣b总有两个相异的不动点,求a的范围.
考点:
二次函数的性质.767691
专题:
综合题.
分析:
(1)根据不动点的定义,及已知中函数f(x)=ax2+bx﹣b(a≠0)有不动点(1,1)和(﹣3,﹣3),我们易构造一个关于a,b的二元一次方程组,解方程组即可得到答案.
(2)若函数f(x)=ax2+bx﹣b总有两个相异的不动点,则方程ax2+bx﹣b=x有两个相异的实根,由此可以构造出一个不等式,结合函数的性质,解不等式即可得到a的范围.
解答:
解:
(1)由题意
,即
,解的
.
(2)函数f(x)=ax2+bx﹣b总有两个相异的不动点,
即关于x的方程f(x)=x有两个不等根.
化简f(x)=x得到ax2+(b﹣1)x﹣b=0.
所以(b﹣1)2+4ab>0,即b2+(4a﹣2)b+1>0.
由题意,该关于b的不等式恒成立,
所以(4a﹣2)2﹣4<0.解之得:
0<a<1.
点评:
本题考查的知识点是二次函数的性质,其中根据二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系,将函数问题转化为不等式或方程问题是解答本题的关键.
11.设(2x﹣1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,求:
(1)a0+a1+a2+a3+a4;
(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;
(3)a1+a3+a5;
(4)(a0+a2+a4)2﹣(a1+a3+a5)2.
考点:
二项式系数的性质.767691
专题:
计算题.
分析:
根据所给的二项式的展开式,给x赋值,取x=1和x=﹣1,后面几个问题都是通过这一个赋值得到结果的.
(1)根据二项式的展开式得到第六项的二项式系数,根据所赋的x=﹣1的值减去第六项的二项式系数,得到结果.
(2)要求的这几项的绝对值的和,首先去掉绝对值,变化为这六项的二项式系数的和与差形式,看出与x=﹣1的结果刚好相反,得到结果.
(3)用x=1的值减去x=﹣1的值,得到啊哟球结果的二倍,等式两边除以2,得到结果.
(4)利用平方差公式,得到两个因式的积的形式,而这两个因式,是我们前面赋值得到的两个式子的积,得到结果.
解答:
解:
设f(x)=(2x﹣1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,
则f
(1)=a0+a1+a2+…+a5=1,
f(﹣1)=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=(﹣3)5=﹣243.
(1)∵a5=25=32,
∴a0+a1+a2+a3+a4=f
(1)﹣32=﹣31.
(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|
=﹣a0+a1﹣a2+a3﹣a4+a5
=﹣f(﹣1)=243.
(3)∵f
(1)﹣f(﹣1)=2(a1+a3+a5),
∴a1+a3+a5=
=122.
(4)(a0+a2+a4)2﹣(a1+a3+a5)2
=(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5)
=f
(1)×f(﹣1)=﹣243.
点评:
本题考查二项式定理的性质,本题包含这个知识点所有的可能出现的问题,这种问题的解法一般就是赋值,赋值以后灵活变化要求的式子,本题的灵活性比较好.
12.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b为实数),
(1)若f(x)满足不等式f(x)>﹣2x的解集为(1,3),且方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式;
(2)若c=1,f(﹣1)=0且对任意实数x均有f(x)≥0成立;当x∈[﹣3,3]时,g(x)=f(x)﹣kx是单调函数,求实数k的取值范围.
考点:
函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的性质.767691
专题:
函数的性质及应用.
分析:
(1)根据给出的不等式的解集为(1,3),列出关于a、b、c的不等式组,然后再根据方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,其判别式等于0求解出a的值,则函数解析式可求;
(2)根据f(﹣1)=0列一个关于a、b、c的方程,再由对任意实数x均有f(x)≥0成立,说明其对应方程的判别式恒小于等于0,求解出函数f(x)后,借助于二次函数的对称轴与单调区间的关系求解实数k的取值范围.
解答:
解:
(1)∵不等式f(x)>﹣2x的解集为(1,3)
即ax2+(b+2)x+c>0的解集为(1,3)
∴
⇒
,
∵方程f(x)+6a=0有两个相等的实根
即ax2+bx+c+6a=0有两个相等的实根△=b2﹣4a(c+6a)=0
(2),
将
(1)代
(2)解得
(舍),
∴
∴
.
(2)f(x)=ax2+bx+1∵f(﹣1)=0∴a﹣b+1=0(3)
∵对任意实数x均有f(x)≥0成立∴△=b2﹣4a≤0将(3)代入得(a﹣1)2≤0
∴a=1b=2∴f(x)=x2+2x+1
∵g(x)=x2+(2﹣k)x+1在[﹣3,3]单调
∴
∴
∴k≤﹣4或k≥8.
点评:
本题考查了函数解析式的求解及常用方法,同时考查了函数单调性的性质,分析二次函数的单调区间,首先要考虑的就是二次函数对称轴所处的位置.
13.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)>﹣2x的解集为(1,3).
(Ⅰ)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)的最大值为正数,求实数a的取值范围.
考点:
函数与方程的综合运用;函数的最值及其几何意义.767691
专题:
计算题.
分析:
(Ⅰ根据不等式f(x)>﹣2x的解集为(1,3)得出x=1和x=3是方程ax2+(b+2)x+c=0(a<0)的两根列出关于a,b的等式再根据方程f(x)+6a=0有两个相等的实根得到:
△=0求得a值,从而得到f(x)的解析式;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=ax2﹣2(2a+1)x+3a配方后即可求得其最大值为
再由题意得出关于a的不等关系,即可求得a的取值范围.
解答:
解:
(Ⅰ)∵不等式f(x)>﹣2x的解集为(1,3)
∴x=1和x=3是方程ax2+(b+2)x+c=0(a<0)的两根
∴
∴b=﹣4a﹣2,c=3a
又方程f(x)+6a=0有两个相等的实根
∴△=b2﹣4a(c+6a)=0
∴4(2a+1)2﹣4a×9a=0
∴(5a+1)(1﹣a)=0
∴
或a=1(舍)
∴
∴
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=ax2﹣2(2a+1)x+3a=
=
∵a<0,
∴f(x)的最大值为
∵f(x)的最大值为正数
∴
∴
解得
或
∴所求实a的取值范围是
点评:
本小题主要考查函数的最值及其几何意义、函数与方程的综合运用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,与转化思想.属于基础题.
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