函数恒成立问题端点效应.docx
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函数恒成立问题端点效应.docx
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函数恒成立问题端点效应
函数恒成立
专题01:
可求最值型
基础知识:
(1)不等式f(X)0在定义域内恒成立,等价于fXmin0;
(2)不等式f(X)0在定义域内恒成立,等价于fXmax0o
【例1】【重庆文】若对任意的x0,f(x)12x4lnx3x4c2c2恒成立,求c的取值范
围。
【例2】函数f(x)(x1)ln(x1)kx1在区间(1,)上恒有f(x)0,求k可以取到的最
大整数。
【变式1】函数f(x)2x24x,g(x)alnx(a0),若f(x)4xg(x)恒成立,求a的取值
范围。
【变式2】【2012新课标文】设函数fxexax2
I求f(x)的单调区间;
U若a1,k为整数,且当x0时,(xk)f(x)x10,求k的最大值。
【变式3】【2012新课标理】已知函数f(x)满足f(x)f
(1)ex1f(0)x^x2
2
I求f(x)的解析式及单调区间;
12
U若f(x)xaxb,求(a1)b的值。
2
专题02:
分离变量型
基础知识:
分离变量的核心思想就是为了简化解题,希望同学通过以下例子有所感悟【例1】【2010天津】函数f(x)x21,对任意
3
x2,
f(-)4mf(x)f(x1)4f(m)恒成立,求实数m的取值范围。
m
【变式1】【2010安徽】若不等式(aa2)(x21)x0对一切x0,2恒成立,求a的取值范围。
11
[例2】若函数f(x)x2ax在-,上单调递增,求a的取值范围。
x2
【变式2】【2012湖北】若f(x)^x2bln(x2)在(1,)上是减函数,求b的取值范围
2
【变式3】【2014江西】已知函数f(x)(x2bxb)12x(bR),若f(x)在区间(0,1)上单3
调递增,求b的取值范围。
专题03:
端点与一次函数、二次函数
引申:
我们的习惯思维都是默认字母x为函数的自变量,而像a,m,t这样的字母代表参数,
但其实x,a,m,t这样的字母只是一个代号而已,是人为赋予了其身份,这意味着自
变量和参数的身份并非绝对,若题目需要求解参数的取值范围,在此需要牢记一点:
将待求的变量视为参数,不要受惯性思维的限制而非要将x视为函数的自变
量,这个方法称为“变换主元法”。
[例2】【2009福建】已知函数f(x)x33ax1的导函数为f(x),g(x)f(x)ax3.若对
满足1a1的一切a的值,都有g(x)0,求实数x的取值范围。
1
22,不
a
X—b(x0),a,bR,若对于任意的a
x
1
等式f(x)10在-,4上恒成立,求b的取值范围
4
【变式】【2008安徽】设函数f(x)—x3—x2(a1)x1,其中a为实数。
32
I已知函数f(x)在x1处取得极值,求a的值;
II已知f(x)x2xa1对任意a0,恒成立,求实数x的取值范围
(3)对于一次函数或任何单调函数而言,最值必在端点处取得。
若函数不单调,
那情形又如何呢?
设f(x)ax2bxc(a0)在,上不单调且恒大于零,那么
f(X)在,2:
上递减,在2;'上递增,故f(X)的最大值也必然在端点处
取得。
所以对于任何一个函数f(x)而言,若他在区间上是先减后增,则其最大值
必在端点处取得,同理,若函数在区间上先增后减,其最小值必在区间端点处取得,具体表达如下:
a2b2的取值范围是
【例1】已知函数f(x)x3ax2bxc在区间1,0上单调递减,则
4
【例2】函数f(x)=x3mx23m2x1在区间1,2上单调递增,则实数m的取值范围是
3
专题04:
端点效应
基础知识:
从前面的例子可以看出,将函数恒正(恒负)等价于在区间端点处恒正(恒负)即可。
但那只是针对一小部分题,对于大多数情况来说这是不对的,但这不意味
【例2】若f(x)ax2(3a)x2a0在0,1上恒成立,则实数a的取值范围是
【变式1】【2013全国卷】已知函数f(x)x33ax23x1,当x2,时,f(x)0,求a
的取值范围。
【变式2】【2012江西】已知函数f(x)
ax2(a1)x1ex在0,1上单调递减,求a的取值范
成立,求a的取值范围。
、端点处的取值没有意义且趋于无穷
区间的端点a处有没有意义,也不管a是否为无穷,我们均记f(a)为当x趋于a时f(x)的值。
这样的记法为了后面的叙述。
1
【例1】【2012新课标】当0x-时,4xlogax,则a的取值范围是()
2
A.0」
2
求k的取值范围。
【例5】【2009江西】已知函数f(x)2mx22(4m)x1,g(x)mx,若对于任一实数x,
f(x)与g(x)的值至少有一个为正,则m的取值范围是.
【变式1】不等式loga(x22x3)1(x2)恒成立,则实数a的取值范围是()
【变式3】【2014江苏】已知函数f(x)exex,其中e是自然对数的底数,若关于x的不等
式mf(x)exm1在0,上恒成立,求实数m的取值范围
g(x)0,则m的取值范围是
三、端点处的取值为0
(1)若多项式函数f(x)满足f(a)0,则f(x)—定可以分解成f(x)(xa)g(x)这种形
式,其中g(x)也为多项式函数。
【例1】【2009全国卷】已知f(x)3ax42(3a1)x24x在1,1上是增函数,求a的取值范
围。
取得最大值,求a的取值范围
且对任意的X
x1,x2,X33x22xm(x1)恒成立,求实数m的取值范围
注意:
若多项式函数有明显的根,
分解因式能够将函数降次,特别是形如f(x)ax3bx2cx
的多项式函数,是高考中的常见情形,它可以分解成f(x)x(ax2bxc),需掌握此多项式
(2)若高考试题中出现的恒成立问题中的函数不是多项式,这些函数虽然在端点处的值为零,但不能将它们分解,对此需用以下知识点:
①f(x)0在a,b上恒成立,若f(a)0,则f(a)0;若f(b)0,贝Uf(b)0
②f(x)0在a,b上恒成立,若f(a)0,则f(a)0;若f(b)0,则f(b)0
特别提醒:
这里的结论只是必要条件,不一定是充分条件
I证明:
f(x)的导数f(x)
1
I若a一,求f(x)的单调区间;
2
n若x0时,f(x)0,求a的取值范围。
【例3】
【2008全国n理】已知函数f(x)sinX
2cosx
I求f(x)的单调区间;
n如果对任何x0时,都有f(x)ax,求a的取值范围
【例4】【2010新课标理】已知函数f(x)ex1xax2
I若a0,求f(x)的单调区间;
n若x0时,f(x)0,求a的取值范围
I若x0时,f(x)0,求的最小值;
【例6】【2014全国U理】已知函数f(x)exex2x.
I讨论f(x)的单调性;
n设g(x)f(2x)4bf(x),当x0时,g(x)0,求b的最大值;
川已知1.4142;21.4143,估计In2的近似值(精确到0.001).
【例7】【2012大纲理】设函数f(x)axcosx,x0,
I讨论f(x)的单调性;
II设f(x)1sinx,求a的取值范围。
总结:
对于无法求最值的恒成立问题,解题的基本步骤如下
(1)首先由端点效应初步获得参数的取值范围,这个范围是必要的;
(2)然后利用这个范围去判断导数是否恒正或恒负;
(3)如果导数不变号,则由端点得到的范围就是最终答案,如果导数变号,则去判断函数的增减性(若函数先增后减,则最小值在端点处取得,若函数先减后增,则最大值在端点处取得)。
着端点就没有任何作用了。
【例1】已知函数f(x)x33(a1)x*1236ax,当a0时,若函数f(x)在区间1,2上是单调
函数,求a的取值范围.
【例2】【2008江苏】设函数f(x)ax33x1,若对于x1,1总有f(x)0恒成立,则
a=.
说明:
在例1和例2中,都是事先考虑函数在端点的情形,虽然通过端点不能得到最终
结果,但例1通过端点可以不必考虑单增情形,例2通过端点可以缩小a的范围,
我们把这种通过端点来缩小参数取值范围的方法称为“端点效应”。
函数在端点处的取值有以下三种情形:
(1)f(x)在区间a,b的端点a和b处均有定义且f(a)0,
f(b)0;
(2)f(x)在区间a,b的端点a或b处无定义或区间是无限区间a,,,b;
(3)f(x)在区间a,b的端点a或b处有f(a)0或f(b)0。
一、端点处的取值有意义且不为0
【例1】【2008天津】设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)x2,若对任意的
xt,t2,不等式f(xt)2f(x)恒成立,则t的取值范围是()
A.2,
B.2,
C.0,2
D.2,12,
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- 函数 成立 问题 端点 效应