人教A版数学必修五同步导练作业第1章 解三角形 课时作业四.docx
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人教A版数学必修五同步导练作业第1章解三角形课时作业四
课时作业(四) 应用举例
(一)
基础要求
1.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A.akmB.
akm
C.2akmD.
akm
图4—1
解析:
如图4-1,由题设知∠ACB=120°,
所以AB=
=
a.选D.
答案:
D
2.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为( )
A.α>βB.α=β
C.α+β=90°D.α+β=180°
解析:
画图判断(图略).
答案:
B
3.(2019年湖南边城高中测试)如图4-2所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°方向,灯塔B在观察站C的南偏东60°方向,则灯塔A在灯塔B的( )
图4—2
A.北偏东10°方向
B.北偏西10°方向
C.南偏东10°方向
D.南偏西10°方向
解析:
由题意,得∠ACB=180°-(40°+60°)=80°.
因为AC=BC,所以∠A=∠CBA=50°.
因为∠CBD=60°,
所以∠ABD=60°-50°=10°.
故灯塔A在灯塔B的北偏西10°方向.
答案:
B
4.一艘船以每小时15公里的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°,行驶4小时后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为__________公里.
解析:
依题意知AC=60公里,∠BAC=30°,∠ACB=105°(如图4—3).
图4—3
∴∠B=45°,由正弦定理有
=
,
解得BC=30
(公里).
答案:
30
5.如图4—4所示,在加工缝纫机挑线杆时,需要计算A,C两孔中心的距离.已知BC=6cm,AB=1.5cm,∠ABC=80°,则AC约为________(保留两位有效数字,提供数据cos80°≈0.17).
图4—4
解析:
AC=
=
≈5.9(cm).
答案:
5.9cm
6.如图4—5所示,为了测量河的宽度,在一侧岸边选定两点A,B,在另一侧岸边选定点C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,则河的宽度为________(精确到1m).
图4—5
解析:
设河宽xm,则过C作CD⊥AB,CD=x,
∵∠ACB=180°-(∠CAB+∠CBA)=75°,
∴∠ACB=∠CBA,∴AC=AB=120m,
∴x=ACsin30°=60m.
答案:
60m
7.如图4—6所示,为了测量河对岸两个建筑物C,D两点之间的距离,在河岸这边选取点A,B,测得∠BAC=45°,∠DAC=75°,∠ABD=30°,∠DBC=45°,又已知AB=
km,A,B,C,D四点在同一平面内,试求C,D两点之间的距离.
图4—6
解:
因为∠BAC=45°,∠DAC=75°,∠ABD=30°,
∠DBC=45°,
所以∠DAB=120°,∠ABC=75°,∠ADB=30°,
∠ACB=60°.
在△ABC中,AC=sin∠ABC·
=sin75°·
=
(km).
由∠ADB=∠ABD=30°,得AD=AB=
km,
所以在△ACD中,
CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos∠DAC
=3+
-2×
×
×cos75°=5.
所以CD=
km.
能力要求
1.如图4—7所示,一渔船在海上由西向东航行,在A处望见灯塔C在船的东北方向,半小时后在D处望见灯塔在船的北偏东30°,若船速为每小时30海里,当船行至B处望见灯塔C在船的西北方向,则AB两点间的距离是__________(精确到0.1,提供数据
=1.414,
=1.732).
图4—7
解析:
由题设知AD=15海里,∠ACD=15°,B=45°,
∠DCB=75°,
在△ADC中,
=
,
∴CD=
=
≈41.0(海里).
在△CDB中,
=
,
∴BD≈56.0(海里).
∴AB=AD+BD=71.0(海里).
答案:
71.0海里
2.如图4-8所示,位于某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45°,与观测站A距离20
海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处,且cosθ=
.已知A,C两处的距离为10海里,则该货船的航速为________海里/小时.
图4—8
解析:
因为cosθ=
,0°<θ<45°,所以sinθ=
,
所以cos(45°-θ)=
×
+
×
=
.
在△ABC中,BC2=800+100-2×20
×10×
=340.
所以BC=2
.故该货船的航速为4
海里/小时.
答案:
4
3.(2019年南阳高二期中检测)如图4—9,一艘货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为多少海里/时?
图4—9
解:
由题意知∠SMN=30°+15°=45°,∠MNS=45°+60°=105°,所以∠MSN=180°-45°-105°=30°.由正弦定理,
得
=
,
解得MN=10(
-
)(海里).
所以货轮的速度为
=20(
-
)海里/时.
4.如图4—10,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1km.试探究图中B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D间的距离(计算结果精确到0.01km,
≈1.414,
≈2.449).
图4—10
解:
本题主要考查了利用正弦定理及平面几何的性质解决实际问题的能力.
在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,
所以CD=AC=0.1.
又∠BCD=180°-60°-60°=60°,
故CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA.
在△ABC中,
=
,
即AB=
=
,
因此,BD=
≈0.33km.
故B,D间的距离约为0.33km.
拓展要求
(2019年南京一中单元检测)某基地进行实兵对抗演习,红方为了准确分析战场形势,从相距
akm的军
图4—11
事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且∠ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图4-11所示,求蓝方这两支精锐部队间的距离.
解:
∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°,
∵∠ACD=60°,∴∠DAC=60°,∴AD=CD=
akm.
在△BCD中,∠DBC=180°-30°-105°=45°,
由正弦定理
=
,
得BD=CD·
=
a·
=
a(km).
在△ADB中,由余弦定理得
AB2=AD2+BD2-2·AD·BD·cos∠ADB
=
a2+
-2·
a·
a·
=
a2,
∴AB=
akm.故蓝方这两支精锐部队间的距离为
akm.
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