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概率论习题
《概率论与数理统计》2009—2010第二学期期末考试试卷A
题号
-一一
■——二
三——三
四
五
六
七
八
总分
分数
一单项选择(每题3分,共18分)
1.设A和B为互逆事件,且A的概率不等于0或1,则下列各选项错误的是
()
A.P(B|A)=0B.P(Ap=0
C.P(AUB)=1D.P(B|A)=1
2.下列论断正确的是()
A.连续型随机变量的密度函数是连续函数
B.连续型随机变量等于0的概率为0
C.连续型随机变量的概率密度满足0f(x)1
D.两个连续型随机变量之和是连续型
3.设随机变量X〜N2,6).且满足P{Xva}=P{Xa},则a=()
A.0B.1C.2D.3
4.设随机变量X,Y相互独立,其概率分布相应为
X
0
1
Pk
0.5
0.5
Y
0
1
Pk
0.5
0.5
则下列选项正确的是(
)
A.P{X=Y}=0
B.P{X=Y}=1
C.P{X=Y}=0.5
D.X,Y相关
5.设总体X〜N(0,1),X1,X2,…,X10体X的简单随机样本,令随机变量
3
YX:
则下列选项正确的是()
i1
A.丫〜2
(1)
B.Y〜2(3)
C.Y〜t(3)
D.t⑵
6.在假设检验中,用和分别表示犯第一类错误和第二类错误的概率,则
当样本容量一定时,下列结论正确的是()
A.减小也减小
B.与其中一个减小时另一个往往会增大
C.增大也增大
D.(A)和(C)同时成立
二填空题(每空3分,共24分)
1.设AB是两个随机事件,P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则P(AB)—
2.一试验可以独立重复进行,每次试验成功的概率为P,则直到第8次试验
才取得3次成功的概率为
3.设心)asinx,x[-,0],则常数a=_,EX=_
4.设随机变量妆〜B(4,其它),丫〜P
(1),已知D(X+Y)=2,则X和丫的相关系数xy
5.设随机变量X的分布律为
X-112
pk0.250.50.25
贝卩EX=,DX=
6.X为随机变量,且EX=1,DX=2,则对任给定的>0,由切比雪夫不定式得
P{|X-1|<}>
3.(本题10分)两台车床加工同样的零件,第一台出现次品的概率为0.03,第二台出现次品的概率为0.02,加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍,试求
(1)任意取出的零件是合格品的概率;
(2)已知取出的零件是次品,求它是第二台车床加工的概率
4.(本题8分)设X的分布函数为
0,x0
F(x)Asinx,0x/2
确定常数A,B并求X的概率密度x(x)/2
五(本题10分)随机变量X〜Exp(9)(9>0),B未知,已知P{X>1}=e-2.
确定常数9,并求函数Y=X2的概率密度fY(y)
六、(本题10分)设随机变量X和丫相互独立,且X〜U(0,2),丫〜U(0,1),试求:
(1)二维随机变量(XY)的密度函数,并说明(人丫)的分布类型;
⑵P{Y 七、(本题10分)设总体X的概率密度为 i 1—X f(x;) e,x0 0,其它 (>0),求最大似然估计量? ,判断? 是否是的无偏估计 八、(本题10分)从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000小时,可以认为显像管的寿命服从正态分布。 已知标准差=40小时,试求 (1)显像管平均寿命的置信度为0.99的置信区间; (2)若显像管的平均寿命超过10100小时被认为合格,试在显著性水平 =0.005下检验这批显像管是否合格? (注: zo.oo5=2.576) 《概率论与数理统计》2009—2010第二学期期末考试试卷B 单项选择(每题3分,共18分) 1.对于任意二事件A,B, 若P(AB=0,则下列选项正确的是() A.P(A)=0或P(B)=0 B.事件A,B互不相容 C.P(A-B)=P(A) D.事件A,B相互独立 2.考虑函数 f(x) sinx,x 0 则f(x)可以做随机变量的密度函数,如果G=() A.[-/2,0]B.[0,/2] C.[-/2,/2]D.[/2,3/2] 3.设随机变量X〜N,42),丫〜N,52),P1=P{X-4},P2=P{Y+5},则下 列选项正确的是() A.对于任意实数,有Pi=P2B.对于任意实数,,有Pl>P2 C.对于个别实数,有P1=P2D.对于任意实数,,有P1 4.设随机变量X,Y相互独立,其概率分布相应为 0.50.5 0.40.6 则下列选项中正确的是 A.P{X=0,Y=0}=0.1 B.P{X=1,Y=1}=O. C.P{X=0,Y=0}=0.2 D.P{X=1,Y=1}=0.4 5.设总体X〜N(0,1),Xi,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,随机变量Y=Xi2+X>2,则下列选项正确的是() A.Y〜2(3) B.丫〜2 (2) D. C.丫〜t(3) 丫〜F(1,2) 6.在假设检验问题中,如果检验方法选择正确,计算也没有错误,则下列叙述正确的是() A.仍有可能作出错误判断 B.不可能作出错误判断 C.计算再精确些就有可能作出正确判断 D.增加样本容量就不会作出错误判断 二填空题(每空3分,共24分) 1.设AB,P(A)=0.1,P(B)=0.5,则P(AUB)=一P(A|B)= 2.一试验可以独立重复进行,每次试验成功的概率为p,则进行8次试验成 功3次的概率为 3.设随机变量X〜B(4,0.8),丫〜P(4),已知D(X+Y)=3,则X和丫的相关系数 4.设二维随机变量X,Y相互独立,且X〜N(2,4),丫〜N(0,1),则E(X+Y)= QX+Y,P{X+Y<2}= 5.X为随机变量,且EX=2,DX=9,则对任给定的>0,由切比雪夫不定式得 P{|X-2|<}> 三(本题10分)在套圈游戏中,甲、乙、丙三人每投一次套中的概率分别 是0.1,0.2,0.3,已知三个人中某一个人投圈3次而套中一次,问此投圈者是谁的可能性最大? 四(本题10分)设X的分布函数为 0,x0 F(x)Asinx,0x/2, 确定常数A,B并求X的概率密度B(x)x/2 五(本题10分)设随机变量X〜Exp(0.5),Y=X2,计算P{X1,Y4},并求丫 的概率密度f«y) 六(本题8分)随机变量X的分布律如下表,求关于X,关于丫的边缘分布律,判断X,丫是否相互独立,是否相关,并说明理由。 XY 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 七(本题10分)设总体X的概率密度为 f(x;) 1- e 0, x0(>0) 其它 求的极大似然估计量? ,判断? 是否是9的无偏估计 八(本题10分)从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000 小时,可以认为显像管的寿命服从正态分布。 已知均方差=40小时,试求 (1)显像管平均寿命的置信度为0.95的置信区间; ⑵若显像管的平均寿命超过9900小时被认为合格,试在显著性水平 =0.05下检验这批显像管是否合格? (注: Z0.005=1.96) 概率论与数理统计试卷(A) 2008-2009学年第二学期2009.062 参考数据: (1)0.8413(1.5)0.9332 (2)0.9772(2.5)0.9938 Zq.11.28Z0.051.645 填空题(每小题3分,共18分) 0.6,贝UP(AB) 1.设P(A)0.5,P(B)0.3,P(AB) 2.设随机变量X的分布函数为 0,x-1 F(x) 0.4,-1x1 0.8,1x3 1,x3 则X的分布律为 3.设离散型随机变量X的分布律为P(Xk) k.. p(k=1,2,…),其中是已知 常数, 则未知参数p 4.若X~N(0,1),Y~N(0,1),且X与Y相互独立,则ZX 丫服从 2 5.设随机变量X~N(0,1),Y~(n),X与Y独立,则随机变量 X服从自由 Y/n 度为 分布• 6.设总体X具有概率密度fx(x) 0, 参数 其他 未知, X1,X2,,Xn是来自X的样本,则 的矩估计量为 Y, 5. A.不独立 B.uv0 C. 独立 D.uv0 2 X服从正态分布,E(X)1,E(X) 4,X n Xi是来自总体 i1 的样本均 选择题(每小题3分,共18分) A.P(BA)0 B. P(AB) P(A) C.P(AB)0 D. P(AB) P(A)P(B) 2.设随机变量X的概率密度为 f(x),则f(x) 一定满足 A.0f(x)1 B. P{Xx} x f(t)dt C.f(x)dx1 D. f() 1 3.已知随机变量X服从B(n,p) ,E(X)=4,D(X)=3.6, 则 A.n20,p0.2 B. n40,p 0.9 C.n10,p0.4 D. n40,p 0.1 1.设A、B互不相容,且P(A)>0,P(B)>0,则必有 ( ( XY,则U与V间必有 4. 设随机变量X和丫独立同分布,记UX 值,则X服从的分布是 6.设X N( ,2),当2未知时,检验 H0 Hi: 1,取显著水平 =0.05下, t检验的拒绝域为 (A)X Z0.05 (B)X t°.05(n (C)X Z0.05S (D)X t°.05(n 解答题 (共64分) 1.(10分)仓库中有10箱同一规格的产品,其中 2箱由甲厂生产, 3箱由乙厂生产, 5箱由丙厂生产。 三厂产品的合格率分别为85%、80%、90%. (1)求这批产品的合格率; 问此产品是 (2)从这10箱中任取一箱,再从该箱中任取一件,若此产品为合格品, 由甲厂生产的概率为多少? 2.(8分)设随机变量X具有概率密度 acosx,x一 f(x) 2 0,x- (1)求系数a的值; ⑵求X落在区间(0,—)内的概率. 4 3.(10分)一工厂生产的某种设备的寿命 X(以年计)服从指数分布,概率密度为 1x/4 f(x) 工厂规定,出售的设备若在一年之内损坏可予以调换,若工厂售出一台设备赢利100 元,调换一台设备厂方需花费300元。 求: (1)出售一台设备厂方的净赢利Y的概率分布; (2)Y的数学期望. -1 0 2 0 0.1 0.2 0 1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1 (1)求X、Y的边缘分布律; ⑵求E(X)、E(Y)、E(XY). 5.(8分)某保险公司多年统计资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X 表示在随机抽查的100个索赔户中,因被盗向保险公司索赔的户数 (1)写出X的概率分布; (2)求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值(保留至小数点后 四位) 6.(10分)已知X1,X2,X3,X4是来自均值为9的指数分布总体的样本,其中B未知。 设 有估计量 1 1 -(X1 6 X2) (X3X4) 3 T2 1(X1 5 2X2 3X34X4) T3 X2 X3X4) ⑴指出£“2“3中哪几个是9的无偏估计量; (2)在上述9的无偏估计量中指出哪一个较为有效。 7.(8分)已知一批零件的长度X(单位: cm)服从正态分布N(,1),从中随机 抽取16个零件,得到长度的平均值为40(cm),求的置信度为10.9的 置信区间(保留至小数点后三位) 概率论与数理统计试卷(B) 2008-2009学年第二学期2009.06 参考数据: t0.0i(5)3.3649,応⑷3.7469,鮎加(5)4.0322,鮎加⑷4.6041 一、填空题(每小题3分,共18分) 1.设事件A发生的概率为0.3,事件B发生的概率为0.8,事件A、B至少有一个 发生发生的概率为0.9.则A、B同时发生的概率为. 2 2.设随机变量X在(1,6)上服从均匀分布,则关于t的一元二次方程tXt10 有实根的概率为. 1115 3.设随机向量(X,丫)取数组(0,0),(-1,1),(-1,2),(1,0)的概率分别为——,一,——,——, 2cc4c4c 取其余数组的概率均为0,则c= 4.设随机变量X1,X2,X3相互独立,其中 X1~U[0,6],X2~N(0,22),X3~P(3), 记丫X12X24X3,则D(Y). 5.设X~N(0,1),Y~2(n),X与Y独立,则随机变量T—X「服从自由度为 VY/n 的分布. 2 6.当已知,正态总体均值的置信度为1的置信区间为(样本容量为n) 二、选择题(每小题3分,共18分) 1.对于任意二事件A和B,若P(AB)=0,则必有() A.AB=B.P(A-B)=P(A) C.P(A)P(B)=0D.AB 2.某人花钱买了A、B、C三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的 中奖的概率分别为p(A)0.03,P(B)0.01,p(C)0.02,如果只要有一种奖券中 奖此人就一定赚钱,则此人赚钱的概率约为 A.0.05B.0.06C.0.07D.0.08 3.设随机变量X~N(,2),则随增大,P{X|}的值() A.单调增大;B.单调减小;C.保持不变;D.增减不定 4.已知随机变量X服从B(n,p),E(X)=4,D(X)=3.6,则() A.n20,p0.2B.n40,p0.9 C.n10,p0.4D.n40,p0.1 5.由D(XY)D(X)D(Y)可得 () C.X与丫独立 A.X与丫不相关B.F(x,y)Fx(x)Fy(y) D.相关系数xy1 6.设随机变量Xi(i 1,2)相互独立,具有同一分布, EXi=0,DXi=2,k=1,2, n …,则当n很大时,Xi的近似分布是 i1 B.N(0,2) 22 D.N(0,/n) A.N(0,n2) 2 C.N(0,/n) 20%、70%、10%,三个等级的发 「、解答题(共64分) 1.(10分)设一批混合麦种中一、二、三等品分别占 芽率依次为0.9,0.7,0.3.求这批麦种的发芽率;若取一粒能发芽,则它是二等品的概 率 为多少? 2.(8分)设随机变量X具有概率密度函数 fx(x) x8,0x4; 0,其他, 求: 随机变量Yex1的概率密度函数 3.(本题10分)随机变量X的分布律如下表 X 0 1 2 3 Pk 1 1 1 1 2 4 8 8 求E(X),E(4X1),E(X),D(X),D(4X1) 4(10分)一工厂生产的某种设备的寿命 1x/4 e f(x)4 0 X(以年计)服从指数分布,概率密度为 x0 x0 工厂规定,出售的设备若在一年之内损坏可予以调换,若工厂售出一台设备赢利 100元,调换一台设备厂方需花费300元。 求: (1)出售一台设备厂方的净赢利Y的概率分布; (2)Y的数学期望• 5.(10分)设二维连续型随机向量 (X,Y)的联合概率密度函数为 f(x,y) 6.(8分)设总体X具有概率密度fx(x)= 知,Xl,X2,…Xn是来自X的样本,求 7.(8分)一批矿砂的 0, 的矩估计量。 x),0x 其他 参数未 5个样品中的镍含量经测定数据如下 3.243.273.233.263.24 今算得样本均值X3.248,样本标准差s0.0164,设镍含量总体服从正态分布,问 在显著性水平0.01下可否认为这批矿砂的镍含量的均值为3.25? 概率论与数理统计试题A卷 2007-2008学年第二学期2008.06 注: 本试卷参考数据 (1)0.8413(0.1)0.5398(0.5)0.6915 z0.012.326t0.01(8)2.8965t0.01(9)2.8213 、填空题(每空3分,共18分) 1.事件A发生的概率为0.3,事件B发生的概率为0.6,事件A,B至少有一个发生的 概率为0.9,则事件A,B同时发生的概率为 1115 2.设随机向量(X,丫)取数组(0,0),(-1,1),(-1,2),(1,0)的概率分别为——,—,一,—— 2cc4c4c 取其余数组的概率均为0,则c= 2 3.设随机变量X在(1,6)上服从均匀分布,则关于y的方程yXy10无实根 的概率为 4.若X~N(0,1),Y~N(0,1), 且X与Y相互独立,则Z X丫服从 5.设总体X的概率密度为f(X;) 1)x,0x 0,其他 1,,X1,X2 Xn为来自 总体X的一个样本,则待估参数( -1)的最大似然估计量为 、选择题(每题3分,共18分) 1.对任意事件A与B,下列成立的是 () (A)P(A|B)P(A),(P(B)0) (B) P(AB)P(A)P(B) (C)P(AB) P(A)P(B|A),(P(A)0) (D) P(AB)P(A)P(B) 2.设随机变量 X〜B(n,p)且期望和方差分别为 E(X) 2.4, D(X)0.48,则—— (A) n8,p 0.3 (B) 6,p0.4 (C) n3,p 0.4 (D) 3,p0.8 3.设随机变量 X的分布函数为 Fx(x),则 -的分布函数 Fy(y)为 ( (A)fx(1y) (B)Fx(2y 2) (C)fx(2y) (D)Fx(2y 4) 4.若随机变量X和Y的相关系数 XY0,则下列错误的是 (A) X,Y必相互独立 (B)必有E(XY)E(X)E(Y) (C) X,Y必不相关 (D)必有 D(X Y)D(X)D(Y) 5.总体X〜N(0,1),X! X2 Xn为来自总体X的一个样本, x,s2分别为样本均 值和样本方差,则下列不() (A)nX~N(0,n) (B)¥~t(n1) S n22—1 (C)Xi~(n)(D)X~N(0-) iin 6.设随机变量Xk(k1,2)相互独立,具有同一分布, n EXk0,DXk2,k1,2,,则当n很大时,Xk的近似分布是 k1 () 22 (A)N(0,n)(B)N(0,) (C)N(0,2/n) (D)N(0,2/n2) 、解答题(共64分) 1.(本题10分)设一批混合麦种中一、二、三等品分别占20%、70%、10%,三个等 级的发芽率依次为0.9,0.7,0.3,求这批麦种的发芽率。 若取一粒能发芽,它是二等品的概率是多少? 2.(本题10分)设随机变量X具有概率密度 f(x) Ke3x,x0 0,x0 (1)试确定常数K; ⑵求X的概率分布函数F(x); ⑶求P{1X1}. 3.(本题10分)随机变量X的分布律如下表 X 0 1 2 3 1 1 1 1 Pk 2 — 8 4 8 求E(X),E(4X1),E(X2),D(X),D(4X1) 4.(本题10分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 )1(xy)e(xy),x0,y0 f(x,y)2 0,其他 求X和Y的边缘概率密度并判断X和Y是否独立? 2 5.(本题8分)某种灯管寿命X(以小时计)服从正态分布X~N(,),未知, X与的偏 100,现随机取100只这种灯管,以X记这一样本的均值,求均值 差小于1的概率. 6.(本题10分)设X〜U(O,b),b0未知.X「X2,Xn为来自总体X的一个样本, 求b的矩估计量•今测得一个样本值0.5,0.6,0.1,1.3,0.9,1.6,0.7,0.9,1.0,求b的矩估计值. 7.(本题6分)自某种铜溶液测得9个铜含量的百分比的观察值.算得样本均值为8.3, 22 标准差为0.025.设样本来自正态总体X〜N(,),,均未知.试依据这一样本取 显著性水平0.01检验假设H0: 8.42,8.42. 概率论与数理统计试题B卷 2007-2008学年第二学期 2008.06 注: 本试卷参考数据 (1)0.8413(0.1)00.5398 (2)0.9772 z0.012.326t0.01(8)2.8965t0.01(9)2.8213 一、填空题(每空4分,共20分) 1.设A,B,C为三个事件,用A,B,C的运算关系表示事件“A,B,C中至少有一 个发生”为. 2.P(A)0.4,P(B)0.3,P(AB)0.5,则P(AB) 1115 3.设随机向量(X,丫)取数组(0,0),(-1,1),(-1,2),(1,0)的概率分别为,—,,, 2cc4c4c 取其余数组的概率均为0,则c= 4.若X~N(0,1),Y~N(0,1),且X与Y相互独立,则Z
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