中考数学复习专题一元二次方程.docx
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中考数学复习专题一元二次方程
2020年中考数学复习专题
一元二次方程
知识点归纳
1.一元二次方程的定义
(1)一元二次方程的定义:
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.
(2)概念解析:
一元二次方程必须同时满足三个条件:
①整式方程,即等号两边都是整式;方程中如果有分母,那么分母中无未知数;
②只含有一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
(3)判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面:
“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高次数是2”;“二次项的系数不等于0”;“整式方程”.
例1.观察下列一组方程:
①x2﹣x=0;②x2﹣3x+2=0;③x2﹣5x+6=0;④x2﹣7x+12=0;…它们的根有一定的规律,都是两个连续的自然数,我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”.
(1)若x2+kx+56=0也是“连根一元二次方程”,写出k的值,并解这个一元二次方程;
(2)请写出第n个方程和它的根.
【分析】
(1)直接利用连根一元二次方程得出k的值;
(2)利用因式分解法得出符合题意的值.
【解答】解:
(1)由题意可得:
k=﹣15,
则原方程为:
x2﹣15x+56=0,
则(x﹣7)(x﹣8)=0,
解得:
x1=7,x2=8;
(2)第n个方程为:
x2﹣(2n﹣1)x+n(n﹣1)=0,
(x﹣n)(x﹣n+1)=0,
解得:
x1=n﹣1,x2=n.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法以及新定义,正确得出规律是解题关键.
2.一元二次方程的一般形式
(1)一般地,任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式.
其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项;c叫做常数项.一次项系数b和常数项c可取任意实数,二次项系数a是不等于0的实数,这是因为当a=0时,方程中就没有二次项了,所以,此方程就不是一元二次方程了.
(2)要确定二次项系数,一次项系数和常数项,必须先把一元二次方程化成一般形式.
例2.已知关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0.
(1)求m的值;
(2)求此时一元二次方程的解.
【分析】
(1)直接利用常数项为0,进而得出关于m的等式进而得出答案;
(2)利用
(1)中所求得出方程的解.
【解答】解:
(1)由题意,得:
m2﹣3m+2=0
解之,得m=2或m=1①,
由m﹣1≠0,得:
m≠1②,
由①,②得:
m=2;
(2)当m=2时,代入(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0,
得x2+5x=0,
x(x+5)=0
解得:
x1=0,x2=﹣5.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法,正确解方程是解题关键.
3.一元二次方程的解
(1)一元二次方程的解(根)的意义:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
(2)一元二次方程一定有两个解,但不一定有两个实数解.这x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根,则下列两等式成立,并可利用这两个等式求解未知量.
ax12+bx1+c=0(a≠0),ax22+bx2+c=0(a≠0).
例3.在一元二次方程x2﹣2ax+b=0中,若a2﹣b>0,则称a是该方程的中点值.
(1)方程x2﹣8x+3=0的中点值是 4 .
(2)已知x2﹣mx+n=0的中点值是3,其中一个根是2,求mn的值.
【分析】
(1)根据方程的中点值的定义计算;
(2)利用方程的中点值的定义得到m=6,再把把x=2代入x2﹣mx+n=0计算出n的值,然后计算mn.
【解答】解:
(1)∵(﹣
)2﹣3=13,
∴方程x2﹣8x+3=0的中点值为4;
故答案为4;
(2)∵
=3,
∴m=6,
把x=2代入x2﹣mx+n=0得4﹣6×2+n=0,解得n=8,
∴mn=6×8=48.
【点评】本题考查了一元二次方程的解:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
4.估算一元二次方程的近似解
用列举法估算一元二次方程的近似解,具体方法是:
给出一些未知数的值,计算方程两边结果,当两边结果愈接近时,说明未知数的值愈接近方程的根.
例4.可以用如下方法估计方程x2+2x﹣10=0的解:
当x=2时,x2+2x﹣10=﹣2<0,
当x=﹣5时,x2+2x﹣10=5>0,
所以方程有一个根在﹣5和2之间.
(1)仿照上面的方法,找到方程x2+2x﹣10=0的另一个根在哪两个连续整数之间;
(2)若方程x2+2x+c=0有一个根在0和1之间,求c的取值范围.
【分析】
(1)分别计算出x=2和x=3时x2+2x﹣10的值即可得出答案;
(2)根据方程x2+2x+c=0有一个根在0和1之间知
或
,解之可得.
【解答】解:
(1)∵当x=2时,x2+2x﹣10=﹣2<0,
当x=3时,x2+2x﹣10=5>0,
∴方程的另一个根在2和3之间;
(2)∵方程x2+2x+c=0有一个根在0和1之间,
∴
或
,
解得:
﹣3<c<0.
【点评】本题主要考查估算一元二次方程的近似解,解题的关键是理解题意,并熟练掌握近似解的估算办法.
5.解一元二次方程-直接开平方法
形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.
如果方程化成x2=p的形式,那么可得x=±
;
如果方程能化成(nx+m)2=p(p≥0)的形式,那么nx+m=±
.
注意:
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.
③方法是根据平方根的意义开平方.
例5.解方程:
(y+2)2﹣6=0
【分析】先把给出的方程进行整理,再利用直接开方法求出解即可.
【解答】解:
(y+2)2﹣6=0,
(y+2)2=12,
y+2=±2
,
y1=2
﹣2,y2=﹣2
﹣2.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法,熟练掌握各种解法是解本题的关键.
6.解一元二次方程-配方法
(1)将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)用配方法解一元二次方程的步骤:
①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;
②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;
⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.
例6.解方程:
(1)
(2)2x2﹣4x+1=0
【分析】
(1)先把分式方程转化成整式方程,求出方程的解,再进行检验即可;
(2)移项,系数化成1,配方,开方,即可的两个方程,求出方程的解即可.
【解答】解:
(1)方程两边都乘以x(x﹣4)得:
3x﹣4+x(x﹣4)=x(x﹣2),
解得:
x=4,
检验:
当x=4时,x(x﹣4)=0,所以x=4不是原方程的解,
即原方程无解;
(2)2x2﹣4x+1=0,
2x2﹣4x=﹣1,
x2﹣2x=﹣
,
x2﹣2x+1=﹣
+1,
(x﹣1)2=
,
x﹣1=
,
x1=
,x2=
.
【点评】本题考查了解分式方程和解一元二次方程,能把分式方程转化成整式方程是解
(1)的关键,能正确配方是解
(2)的关键.
7.解一元二次方程-公式法
(1)把x=-b±b2-4ac2a(b2-4ac≥0)叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.
(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤为:
①把方程化成一般形式,进而确定a,b,c的值(注意符号);
②求出b2-4ac的值(若b2-4ac<0,方程无实数根);
③在b2-4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根.
注意:
用公式法解一元二次方程的前提条件有两个:
①a≠0;②b2-4ac≥0.
例7.解方程:
(1)2x2+4x﹣1=0
(2)(x﹣3)2=2(4﹣3x)
【分析】
(1)根据公式法即可求出答案.
(2)先将方程化为一般式,然后根据一元二次方程的解法即可求出答案.
【解答】解:
(1)∵2x2+4x﹣1=0,
∴a=2,b=4,c=﹣1,
∴△=16+8=24,
∴
=
;
(2)原方程化为:
x2+1=0,
∴原方程无解.
【点评】本题考查一元二次方程的解法,解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法,本题属于基础题型.
8.解一元二次方程-因式分解法
(1)因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.
因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
①移项,使方程的右边化为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解.
例8.用合适的方法解方程:
4x2﹣x=3.
【分析】先把方程化为一般式,然后利用因式分解法解方程.
【解答】解:
4x2﹣x=3.
4x2﹣x﹣3=0,
(4x+3)(x﹣1)=0,
4x+3=0或x﹣1=0,
∴x1=﹣
,x2=1.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:
就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
9.换元法解一元二次方程
1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.
换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.
2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的.
例9.阅读下列材料:
已知实数m,n满足(2m2+n2+1)(2m2+n2﹣1)=80,试求2m2+n2的值
解:
设2m2+n2=t,则原方程变为(t+1)(t﹣1)=80,整理得t2﹣1=80,t2=81,∴t=±9因为2m2+n2≥0,所以2m2+n2=9.
上面这种方法称为“换元法”,把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能
使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容,解决下列问题,并写出解答过程.
已知实数x,y满足(4x2+4y2+3)(4x2+4y2﹣3)=27,求x2+y2的值.
【分析】设t=x2+y2(t≥0),则原方程转化为(4t+3)(4t﹣3)=27,然后解该方程即可.
【解答】解:
设t=x2+y2(t≥0),则原方程转化为(4t+3)(4t﹣3)=27,
整理,得
16t2﹣9=27,
所以t2=
.
∵t≥0,
∴t=
.
∴x2+y2的值是
.
【点评】考查了换元法解一元二次方程,换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.
10.根的判别式
利用一元二次方程根的判别式(△=b2-4ac)判断方程的根的情况.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系:
①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;
②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;
③当△<0时,方程无实数根.
上面的结论反过来也成立.
例10.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+3=0,当b=a+3时,请判断此方程根的情况.
【分析】先计算出判别式的值,再把b=a+3代入得到△=(a+3)2﹣12a=(a﹣3)2≥0,然后根据判别式的意义判断方程根的情况.
【解答】解:
△=b2﹣4a×3=b2﹣12a,
而b=a+3,
所以△=(a+3)2﹣12a=(a﹣3)2≥0,
所以方程有两个实数根.
【点评】本题考查了根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.
11.根与系数的关系
(1)若二次项系数为1,常用以下关系:
x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=-p,x1x2=q,反过来可得p=-(x1+x2),q=x1x2,前者是已知系数确定根的相关问题,后者是已知两根确定方程中未知系数.
(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系:
x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=−
,x1x2=
,反过来也成立,即
=-(x1+x2),
=x1x2.
(3)常用根与系数的关系解决以下问题:
①不解方程,判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根,求另一个根及未知数.③不解方程求关于根的式子的值,如求,x12+x22等等.④判断两根的符号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件,确定字母的取值.这类问题比较综合,解题时除了利用根与系数的关系,同时还要考虑a≠0,△≥0这两个前提条件.
例11.已知△ABC的一条边BC的长为5,另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程x2﹣(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根.
(1)无论k为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)当k=2时,请判断△ABC的形状并说明理由;
(3)k为何值时,△ABC是等腰三角形,并求△ABC的周长.
【分析】
(1)根据根的判别式即可求出答案;
(2)将k的值代入原方程并求解后,根据勾股定理逆定理即可求出答案;
(3)根据等腰三角形的性质即可求出k的值.
【解答】解:
(1)△=(2k+3)2﹣4(k2+3k+2)=1>0,
∴无论k为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)当k=2时,
∴原方程化为:
x2﹣7x+12=0,
解得:
x=3或x=4,
∴32+42=52,
∴△ABC是直角三角形;
(3)当BC是等腰三角形的腰时,
∴x=5是方程的x2﹣(2k+3)x+k2+3k+2=0解,
∴25﹣5(2k+3)+k2+3k+2=0,
解得:
k2﹣7k+12=0,
∴k=3或k=4,
若k=3时,
则方程为:
x2﹣9x+20=0,
∴x=4或x=5,满足三角形三边关系,
此时周长为14;
若k=4时,
则方程:
x2﹣11x+30=0,
∴x=5或x=6,满足三角形三边关系,
此时周长为16;
当BC是等腰三角形的底边时,
此时方程的x2﹣(2k+3)x+k2+3k+2=0有两个相等的解,不满足题意,
综上所述,△ABC的周长为14或16;
【点评】本题考查一元二次方程,解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质,本题属于中等题型.
12.由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时,要全面、系统地申清问题的已知和未知,以及它们之间的数量关系,找出并全面表示问题的相等关系,设出未知数,用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系,即列出一元二次方程.
例12.南京某特产专卖店销售某种特产,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后天经过市场调查发现,单价每降低1元,平均每天的销售量可增加10千克.专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元,且销售尽可能大,则每千克特产应定价为多少元?
(1)解:
方法1:
设每千克特产应降价x元,由题意,得方程为 (60﹣x﹣40)(100+10x)=2240 ;
方法2:
设每千克特产降低后定价为x元,由题意得方程为:
(x﹣40)[100+10(60﹣x)]=2240 .
(2)请你选择一种方法,写出充整的解答过程.
【分析】
(1)方法1:
设每千克特产应降价x元,利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可;
方法2:
设每千克特产降价后定价为y元,利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可.
(2)利用
(1)中所列方程求出答案.
【解答】解:
(1)方法1:
设每千克特产应降价x元.根据题意,得
(60﹣x﹣40)(100+10x)=2240.
方法2:
设每千克特产降价后定价为x元,由题意,得
(x﹣40)[100+10(60﹣x)]=2240,
故答案为:
(60﹣x﹣40)(100+10x)=2240,(x﹣40)[100+10(60﹣x)]=2240;
(2)方法1:
设每千克特产应降价x元.根据题意,得
(60﹣x﹣40)(100+10x)=2240,
解得x1=4,x2=6.
要让顾客尽可能得到实惠,只能取x=6,
60﹣6=54元,
答:
每千克特产应定价54元.
方法2:
设每千克特产降价后定价为x元,由题意,得
(x﹣40)[100+10(60﹣x)]=2240
解得x1=54,x2=56.
要让顾客尽可能得到实惠,只能取x=54,
答:
每千克特产应定价54元.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程.
13.一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是:
审清题意设未知数,列出方程,解所列方程求所列方程的解,检验和作答.
2、列一元二次方程解应用题中常见问题:
(1)数字问题:
个位数为a,十位数是b,则这个两位数表示为10b+a.
(2)增长率问题:
增长率=增长数量/原数量×100%.如:
若原数是a,每次增长的百分率为x,则第一次增长后为a(1+x);第二次增长后为a(1+x)2,即原数×(1+增长百分率)2=后来数.
(3)形积问题:
①利用勾股定理列一元二次方程,求三角形、矩形的边长.②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积,以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相似三角形的对应比例关系,列比例式,通过两内项之积等于两外项之积,得到一元二次方程.
(4)运动点问题:
物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹,运行的路线与其他条件会构成直角三角形,可运用直角三角形的性质列方程求解.
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1.审:
理解题意,明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.
2.设:
根据题意,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.
3.列:
根据题中的等量关系,用含所设未知数的代数式表示其他未知量,从而列出方程.
4.解:
准确求出方程的解.
5.验:
检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.
6.答:
写出答案.
例13.随着夏季的到来,各类水果自然也成了大众喜爱的消费产品.已知某水果店第一次售出苹果和芒果共200千克,其中苹果的售价为24元/千克,芒果的售价为20元/千克,总销售额为4320元.
(1)求水果店第一次售出苹果和芒果各多少千克;
(2)通过最近的调查发现消费者更加青睐于购买芒果,经销售统计发现与第一次相比,芒果的售价每降低1元,销量就增加20千克,苹果的售价和销量均保持不变,如果第二次的苹果和芒果全部售完比第一次的总销售额多980元,求第二次芒果的售价.
【分析】
(1)设水果店第一次售出苹果x千克,售出芒果y千克,根据某水果店第一次售出苹果和芒果共200千克且总销售额为4320元,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设第二次芒果的售价为m元/千克,则第二次售出芒果[120+20(20﹣m)]千克,根据总价=单价×数量,即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:
(1)设水果店第一次售出苹果x千克,售出芒果y千克,
依题意,得:
,
解得:
.
答:
水果店第一次售出苹果80千克,售出芒果120千克.
(2)设第二次芒果的售价为m元/千克,则第二次售出芒果[120+20(20﹣m)]千克,
依题意,得:
24×80+m[120+20(20﹣m)]=4320+980,
整理,得:
m2﹣26m+169=0,
解得:
m1=m2=13.
答:
第二次芒果的售价为13元/千克.
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用,解题的关键是:
(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;
(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程.
14.配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程.
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=(a±b)2
配方法的关键是:
先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值.
关键是:
二次三项式是完全平方式,则常数项是一次项系数一半的平方.
3、配方法的综合应用.
例14.已知:
等腰△ABC的三边长为整数a,b,c,且满足a2+b2﹣6a﹣4b+13=0,求等腰△ABC的周长.
【分析】根据配方法可求出a与b的值,然后根据等腰三角形的性质即可求出答案.
【解答】解∵a2+b2﹣6a﹣4b+13=0,
∴(a﹣3)2+(b﹣2)2=0,
∴a﹣3=0,b﹣2=0,
解得a=3,b=2,
∵1<c<5,且c为整数,
∴c=2、3、4,
∵△ABC是等腰三角形
∴c=2或3
故△ABC的周长为:
7或8.
【点评】本题考查配方法,解题的关键是熟练运用配方法以及等腰三角形的性质,本题属于中等题型.
15.高次方程
(1)高次方程的定义:
整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程,称为高次方程.
(2)高次方程的解法思想:
通过适当的方法,把高次方程化为次数较低的方程求解.所以解高次方程一般要降次,即把它转化成二次方程或一次方程.也有的通过因式分解来解.
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解),这称为阿贝尔定理.换句话说,只有三次和四次的高次方程可用根式求解.
例15.解方程组
【分析】由方程②可得x+y=0或x﹣2y=0,据此可得两个关于x、y的方程组,再分别求解可得.
【解答】解:
由②得(x+y)(x﹣2y)=0,
则x+y=0或x﹣2y=0,
所以方程组可变形为
或
,
解得
或
.
【点评】本题主要考查高次方程,解高次方程的关键是利用合适的方法将方程中未知数的次数降低.
16.无理方程
(1)定义:
方程中含有根式,且开方数是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程.
(2)有理方程和根式方程(无理方程)合称为代数方程.
(3)解无理方程关键是要去掉根号,将其转化为整式方程.
解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解,在变形时
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- 中考 数学 复习 专题 一元 二次方程
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