二项式定理典型例题.docx
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二项式定理典型例题
高考数学专题复习二项式定理练习题
n
1
的展开式中,前三项的系数成等差数列,
求展开式中所有有理项.
1.在二项式x
24
x
分析:
本题是典型的特定项问题,涉及到前三项的系数及有理项,可以通过抓通项公式解决.
解:
二项式的展开式的通项公式为:
r
2n3r
Tr1Cnr(x)nr
1
x
Cnr1rx4
24
2
前三项的r
0,1,2.
得系数为:
t1
1,t2
11
1
3
21
1(
1),
Cn
2
n,t
Cn
4
nn
2
8
由已知:
2t2
t1
t3
n
1
1n(n
1),
∴n8
8
通项公式为
Tr1C8r1r
16
3r
x
4
r
0,1,2
8,Tr
1为有理项,故16
3r是4的倍数,
2
∴r0,4,8.
依次得到有理项为
4
4
1
x
35
8
1
x
2
1
x
2
.
T1x
T5C8
24
8x,T9
C8
28
256
说明:
本题通过抓特定项满足的条件,
利用通项公式求出了
r的取值,得到了有理项.类
似地,(
2
33)100的展开式中有多少项是有理项?
可以通过抓通项中
r的取值,得到共有
系数和为
3n.
2.
(1)求(1x)3(1
x)10展开式中x5
的系数;
(2)求(x
1
2)6展开式中的常数项.
x
分析:
本题的两小题都不是二项式展开,但可以转化为二项式展开的问题,
(1)可以
视为两个二项展开式相乘;
(2)可以经过代数式变形转化为二项式.
解:
(1)(1x)3(1
x)10
展开式中的x5可以看成下列几种方式得到,然后合并同类项:
用(1
x)3展开式中的常数项乘以
(1
x)10展开式中的
x5项,可以得到
C105x5;用
(1x)3
展开式中的一次项乘以
(1x)10
展开式中的x4项可得到(
3x)(C104
x4)
3C104x5;
用(1
x)3中的x2乘以(1
x)10展开式中的
x3可得到3x2
C103x3
3C103x5;用(1
x)3中的
x3项乘以(1
x)10展开式中的x2
项可得到
3x3C102x2
C102x5,合并同类项得
x5项为:
(C105
C104
3C103
C102)x5
63x5.
1
1
2
(2)x
2
x
x
x
12
(x
1
2)
5
x
1
.
x
x
由
1
x
x
12
r
展开式的通项公式Tr1C12r
(2)12r1
C12rx6r,可得展开式
x
的常数项为C126924.
说明:
问题
(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决.这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决.
3.求(1xx2)6展开式中x5的系数.
分析:
(1
xx2)6不是二项式,我们可以通过
1
xx2
(1
x)
x2或1
(xx2)
把它看成二项式展开.
解:
方法一:
(1
xx2)6
(1x)
x26
(1x6)6(1
x)5x215(1
x)4x4
其中含x5
的项为C65x5
6C53x515C14x5
6x5.
含x5项的系数为6.
方法二:
(1x
x2)6
1
(xx2)
6
16(x
x2)
15(x
x2)2
20(x
x2)3
15(x
x2)4
6(x
x2)5
(x
x2)6
其中含x5
的项为20(
3)x5
15(4)x5
6x5
6x5.
∴x5项的系数为6.
方法3:
本题还可通过把(1xx2)6看成6个1xx2相乘,每个因式各取一项相乘
可得到乘积的一项,x5项可由下列几种可能得到.5个因式中取x,一个取1得到C56x5.
3个因式中取x,一个取
x2
,两个取
1得到C63
C13x3(
x2).
1个因式中取x,两个取
x2
,三个取
1得到C16
C52x(
x2)2.
合并同类项为(C56
C63C13
C16C52)x5
6x5,x5
项的系数为6.
4.求证:
(1)C1n
2Cn2
nCnn
n2n1;
(2)Cn01C1n
1Cn2
1Cnn
1(2n11).
2
3
n
1
n1
分析:
二项式系数的性质实际上是组合数的性质,我们可以用二项式系数的性质来证
明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.解决这两个小题的关键是通过组合数公式
将等式左边各项变化的等数固定下来,从而使用二项式系数性质
Cn0
C1n
Cn2
Cnn
2n.
解:
(1)
kCnk
k
n!
(k
n!
n
(k
(n1)!
nCnk
11
k!
(n
k)!
1)!
(n
k)!
1)!
(n
k)!
∴左边
nCn0
1
nC1n1
nCnn
11
n(Cn0
1
C1n
1
Cnn
11)
n
2n
1
右边.
(2)
1
Cnk
1
n!
(k
n!
k1
k1k!
(nk)!
1)!
(nk)!
1
(n
1)!
1
Cnk
11.
n1(k1)!
(nk)!
n1
∴左边
n
1
C1n1
1
1
Cn2
1
1
Cnn
11
1
n
n
1
n
1
(C1n1
Cn2
1
Cnn
11)
n
1
(2n1
1)
右边.
1
1
说明:
本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和,再用二项式系数的性质
求解.此外,有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式,但这需要逆用二项式定理才能完成,所以需仔细观察,我们可以看下面的例子:
求
29C101028C10927C8102C10210的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与
(12)10的展开式接近,但要注意:
(12)10
C100
C101
2C10222
C109
29
C1010210
1
21022C102
29C109
210C1010
1
2(10
2C102
28C109
29C1010)
从而可以得到:
10
2C102
28C109
29C1010
1(310
1).
2
5.利用二项式定理证明:
32n2
8n9是64的倍数.
分析:
64是8的平方,问题相当于证明
32n2
8n
9是82
的倍数,为了使问题向二项
式定理贴近,变形
32n
2
9n1
(8
1)n
1,将其展开后各项含有
8k,与82的倍数联系起
来.
解:
∵
32n2
8
n
9
9n1
8n
9
(8
1)n1
8n
9
8n1
C1n18n
Cnn
1182
Cnn
1818n9
8n1
C1n18n
Cnn
1182
8(n1)18n9
8n1
C1n18n
Cnn
1182
(8n1
C1n
18n
2
Cnn11)
64
是64的倍数.
说明:
利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题,而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数.
8.若将(xy
z)10
展开为多项式,经过合并同类项后它的项数为(
).
A.11
B.33
C.55
D.66
分析:
(x
y
z)10
看作二项式[(x
y)
z]10
展开.
解:
我们把x
y
z看成(x
y)
z,按二项式展开,共有11“项”,即
10
(xyz)10
[(xy)z]10
C10k(xy)10kzk.
k
0
这时,由于“和”中各项
z的指数各不相同,因此再将各个二项式
(xy)10k展开,
不同的乘积C10k(x
y)10
kzk(k
0,1,
10)展开后,都不会出现同类项.
下面,再分别考虑每一个乘积
C10k(x
y)10k
zk(k0,1,
10).
其中每一个乘积展开后的项数由
(x
y)10
k决定,
而且各项中x和y的指数都不相同,也不会出现同类项.
故原式展开后的总项数为
11
10
9
1
66,
∴应选D.
n
若
x
1
2
的展开式的常数项为
20,求
n
.
9.
x
1
n
分析:
题中x
0,当x0
时,把三项式
x
2
转化为
x
1
n
1
2n
1
n
1
2n
x
2
x
;当x
0
时,同理
x
2
(
1)n
x
.然
x
x
x
x
后写出通项,令含
x的幂指数为零,进而解出
n.
1
n
1
2n
解:
当x
0
时x
x
,其通项为
2
x
x
Tr1
C2rn(x)2nr(
1)r
(1)rC2rn(x)2n2r,
x
令2n
2r
0,得n
r,
∴展开式的常数项为
(1)nC2nn;
1
n
1
2n
当x
0时,x
2
(1)n
x
,
x
x
同理可得,展开式的常数项为
(
1)nC2nn.
无论哪一种情况,常数项均为
(
1)nC2nn.
令(
1)nC2nn
20
,以n
1,2,3,
,逐个代入,得
n3
.
1
10
10.
x
的展开式的第
3项小于第
4项,则x的取值范围是______________.
3x
分析:
首先运用通项公式写出展开式的第
3项和第
4项,再根据题设列出不等式即可.
1
10
解:
使
x
有意义,必须
x
0;
3
x
2
3
依题意,有T3
T4,即C
2
(
x)8
1
C3(
x)7
1
.
10
3x
10
3x
∴10
9
x
10
9
8
3
1
(∵x
0).
2
1
3
2
1
x
解得0
x
85
648.
9
∴x的取值范围是
x
0
x
85648.
9
∴应填:
0
x
85648
.
9
11.已知(xlog2x1)n的展开式中有连续三项的系数之比为
1∶2∶3,这三项是第几项?
若
展开式的倒数第二项为
112,求x的值.
解:
设连续三项是第k、k
1、k
2项(kN且k
1),则有
k1∶k∶k1
∶∶
Cn
Cn
Cn
123,
即
n!
∶
n!
∶
n!
1∶2∶3.
1)(n
k
1)(n
k1)!
(k
1)!
k!
(n
k)!
(k
∴
1
∶
1
∶
1
1∶2∶3.
k)(n
k
(n
1)
(n
1)
k
k)
k(k
k(n
k)
1
k
1
(n
k)(n
k
1)
2
n
k
1
2
∴
1)
2
(k
1)
2
k(k
k
(n
k)
3
(n
k)
3
n
14,k5所求连续三项为第
5、6、
7
三项.
又由已知,C1413xlog2x
112.即xlog2x
8.
两边取以
2为底的对数,(log2x)2
3,log2
x
3
,
∴x
23,或x
2
3.
说明:
当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时,常利用二项式通项,根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解.
12.(12x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项
和系数最大的项.
分析:
根据已知条件可求出n,再根据n的奇偶性;确定二项式系数最大的项.
解:
T6
Cn5(2x)5,T7
Cn6(2x)6,依题意有
Cn525
Cn626
n8.
∴(1
2x)8
的展开式中,二项式系数最大的项为T5C84(2x)4
1120x4
.
设第r1项系数最大,则有
C8r2r
C8r1
2r1
r6.
C8r2r
C8r1
5
2r1
∴r5或r6(∵r
0,1,2,,8).
∴系娄最大的项为:
T6
1792x5,T71792x6.
说明:
(1)求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,
n为奇数时中间两项的二
项式系数最大,
n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式,解不等式的方法求得.
13.设f(x)(1x)m(1x)n(m,nN),若其展开式中关于x的一次项的系数和
为11,问m,n为何值时,含x2项的系数取最小值?
并求这个最小值.
分析:
根据已知条件得到x2的系数关于n的二次表达式,然后利用二次函数性质探讨
最小值问题.
解:
Cm1C1nnm11.
Cm2
Cn21(m2
mn2
n)
m2
n2
11
2
2
1102mn
n2
11n
55
(n
11)2
99.
2
2
4
∵nN,
∴n
5或6,m
6或
5时,
x2
项系数最小
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