概率论与数理统计期末总复习小结.docx
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概率论与数理统计期末总复习小结
第二、三、四章随机变量的分布及数字特征习题课
^小结
1.一维随机变量的概率分布
⑴随机变量X的分布函数F(x)=p{XEx}(-g ⑵离散型随机变量的概率分布与性质 ⑶连续型随机变量的概率密度与性质 ⑷重要分布(0-1分布、二项分布、超几何分布、几何分布、 泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布) 2.二维随机变量的概率分布 ⑴分布函数的概念与性质、边缘分布函数 ⑵二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布 ⑶二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度、条件密度 ⑷重要分布(二维均匀分布、二维正态分布) ⑸随机变量的独立性 3.随机变量的函数的概率分布 ⑴离散型随机变量函数的概率分布 ⑵连续型随机变量函数的概率分布 4.随机变量的数字特征 ⑴数学期望定义、公式与性质 ⑵方差的定义与性质 ⑶原点矩与中心矩 ⑷协方差定义与性质 ⑸相关系数的定义与性质 ⑹不相关的充要条件 5.极限定理 ⑴切比雪夫不等式 ⑵大数定律 ⑶中心极限定理 二、习题 1.每次试验成功的概率为p(0 第n次才取得r(1wrwn)次成功的概率是【Bl (A)C;pr(1-p)”r(B)cn: 1pr(1-p)n-r (C)pr(1-p)n-r(D)C;」prT(1-p)n-r 2.设随机变量XDN(n,。 2),则随着仃2的增大,概率 p{|x…<仃}[C] (A)单调增大(B)单调减小 (C)保持不变(D)增减不定 3.设两个独立的随机变量X与Y的分布函数分别 Fx(x),FY(y),则Z=max{X,Y}的分布函数是【C】 (A)Fz(z)=max{Fx(z),Fy(z)} (B)Fz(z)=max{|Fx(z)|,|FY(z)} (C)FZ(z)=Fx(z)FY(z)(D)都不是 4.设随机变量X1,X2,II|X9相互独立且同分布,EXi=1, 9 DXi=1,(i=1,2,|||,9),令S=£Xi,则对任意的6>0,有 i=1 [8] 5.某事件的概率为1/4,如果试验8次,则该事件就[D] (A)一定由现两次(B)一定由现6次 (C)至少由现1次(D)由现次数不能确定 6.设两个相互独立的随机变量X与Y的方差分别是 DX=4,DY=2,则随机变量3X-4Y的方差是.【68】 7.设有5枚1分硬币、3枚2分硬币和2枚5分的硬币,从中任取5枚.求取由金额超过1角的概率为.【0.5】 8.设X与Y相互独立且都服从B(1,0.5),则p{X=Y)=. [0.51 1 -,x[0,1], 3 、……、一,,一、、,2 9.设随机变量X的概率密度为f(x)=<一,x=[3,6],右 9 、0,其他. 2 P{X之U=4,则k的取值范围是.【[1,3]] 3 10.设随机变量X与Y的相关系数为0.5,EX=EY=0,EX2=EY2=2,则E(X+Y)2=.【6】 11.盒中放有6个乒乓球,其中4个是新的,第一次比赛时,从中任取2个来用,比赛后放回盒中;第二次比赛时再从盒中任 取2个. (1)求第二次取由的两球都是新球的概率; (2)若已知第二次取由的两球都是新球,则第一次取由的两 球是一新一旧的概率. 【⑴0.16;⑵0.67】 12.设X服从区间(0,1)上的均匀分布,求 ⑴Y=eX的分布密度;⑵Y=2lnX的分布密度. 【⑴ 13c ⑵fY(y)」2e,y<0,】 [o,其它. 13.假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量,期望值为50 克,标准差为5克, ⑴设每100个螺丝钉为一袋,求每袋螺丝钉的重量超过5100 克的概率; ⑵若这样的螺丝钉装有500袋,求500袋中最多有4%的重 量超过5100克的概率.已知① (2)=0.9772,中(2.59)=0.995. 【⑴0.02275;⑵0.9951 14.假定到某服务单位办事的等待时间X(单位: 分钟)服从 以上为参数的指数分布,而某人等待时间超过15分钟就会离去. 10 设此人一个月要去该处10次,试求: ⑴此人离去的概率; ⑵一个月里至少有两次离去的概率. 【0.2231;⑵0.6899】 15.设(X,Y)在区域D内服从均匀分布,D为0WyW1,y wi, ⑴求关于X和Y的边缘分布密度; ⑵X与Y是否相互独立,为什么? ⑶求X与Y的协方差Cov(X,Y). 第五、六、七章习题课 (一)样本与抽样分布 1.基本概念 △总体、个体、样本、样本容量 △简单随机样本: 若样本Xi,X2,…,Xn满足: 它们相互独立,且与总体X具有相同的分布. △统计量: 样本Xi,X2,…,Xn的函数g(Xi,X2,|||,Xn),且不含任何未知参数. △样本数字特征: 1n ⑴样本均值X=-xXi; n7 c1n1n_C ⑵样本万差S2=-£(Xi-X)2,修正样本万差S2=——z(Xi-X)2; ni-n-1im 1n.. ⑶样本k阶原点矩Ak=1£Xik ni1 1n- 样本k阶中心矩Bk=」£(Xi-X)k. ny 定理若总体X的期望为N,方差为仃2,X1,X2,…,Xn是来自总体X的简 _2 单随机样本,则EX=」,DX=—,ES*2=。 2n 2.抽样分布 定理1(生成原理) ⑴独立的正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量; n ⑵独立的标准正态变量的平方和ZXi2服从自由度为n的? 2分布;i1 ⑶设U,V相互独立,且U~N(0,1),V~*(n),则丁=—=服从自由度V/n 为n的t分布; ⑷设U,V相互独立,且U~*(m),V~*(n),则F=U/m服从自由度V/n 为(m,n)的F分布. △若*~72(n),则EX=n,DX=2n. 定理2(一个正态总体抽样分布) 设X~X2,…,Xn是来自正态总体N(N,。 2)的简单随机样本,则 _2 ⑴X~N(N,J);n ~N(0,1); (n-1)S*2 ⑷X与S2相互独立; X_」 ⑸T=-*~t(n-1). S,n 定理3(两个正态总体抽样分布)设Xi,X2,|||,Xn1与丫,丫2,|||,工2是分别来自 正态总体*9,。 12)和N(N2,。 ;)的简单随机样本,且这两个样本相互独立,则 S2_(a-1)S*2S-1应2_n1s2nS; sw_c_c■ n1n2—2n1n2—2 3.分位数 △设P〈XWx/=a,称x^为X的c(下侧分位数;设P(X>x/=ot,称%为 X的ot上侧分位数. △它们的关系是: %(上)=x1g(下) △会画N(0,1)、3厘2、F分布的密度曲线,会查它们的分位数表,其中 1 Fy(n1,n2)=(颠倒自由度,查表取倒数) 上⑸,%) (二)参数估计 1.点估计方法 △矩估计法: 用样本原点(中心)矩及其函数估计总体相应原点(中心)矩及其函数. 例如估计一个参数0,令X=EX,解出0; 1n 估计两个参数01,62,令X=EX,—£Xi2=EX2,解出81包. ni4 △最大似然估计法: 选取参数,使样本X1,X2,|||,Xn取值x1,X2,|||,xn的概率 (密度)最大.其步骤如下: ⑴写出似然函数 L(8)=p{X1=Xi}P{X2=X2}|||P{Xn=xn}(离散型), L(e)=f(0e)f(x2,e)”|f(xn,e)(连续型); ⑵取对数lnL(0); ⑶求出inL(e)(即L(e))的最大值点? =今; ⑷日的最大似然估计为我 2.点估计的评价标准 ⑴无偏性: e9=日; ⑵有效性: E&=E^=9且D虏cD4,则称呼比有有效; ⑶一致性(相合性): 若limp{耳-e<G=1,则称e? 是日的一致估计量.n^^c 3.区间估计 △概念若P好<见}=1-口,则称优屈)为参数日的置信概率为1-a的置信区间. △概率意义等式P{呼<日M用}=1-口表示随机区间博黑)包含参数日的 概率为1-: •. △置信概率1-a反映可靠性,越大越好;置信区间(维耳)的长度日? -卑反映精确度,越小越好. △求置信区间的原则: 对于给定的置信概率1-3,使置信区间(叫,阿)的长 度岑-«越小越好. 4.一个正态总体N(%。 2)均值与方差的置信区间(其中分位数均为下侧分位 数): * ⑶N已知,仃2的置信区间为 ⑷N未知,。 2的置信区间为 一S X±t(n-1『 1-2.n /nn E(Xi—2)2Z(XT)2 i二i1 i2: (n),122 *2_*2 (n-1)S(n-1)S 7'a(n-1),72(n-1). 1 I22J (三)假设检验 1.小概率原理: 小概率事件在一次试验中实际上不会发生 2.假设检验的步骤: ⑴提出待检假设Ho和备择假设Hi; ⑵选择检验统计量并确定其分布; ⑶根据给定的显著水平支,查概率分布表,确定否定域; ⑷利用样本值计算统计量的值并判断其是否落入否定域,若是,则拒绝H0, 否则接受Ho. 3两类错误 △H。 真而拒绝Ho,称为第一类(弃真)错误,犯第一类错误的概率 a=P{TwWH0}, △Ho假而接受H。 ,称为第二类(纳伪)错误,犯第二类错误的概率记作 P=P{T*WH1}. 4.一个正态总体N(N,。 2)参数的假设检验(拒绝域均采用下侧分位数) ⑴。 2已知,关于N的检验(U检验) X 检验假设Ho: N=匕统计量U=XT拒绝域U>ua 二/;n1-2 检验假设Ho: k>ko统计量U=X*拒绝域U<-Ui^ : /;n- 检验假设Ho: ^<^o统计量U=X二彗拒绝域U>ui^ 二/.n ⑵仃2未知,关于N的检验(t检验) ⑶N未知,关于仃2的检验(”检验) 2: 二2.(n-1) 用下侧分位数) 6.两个正态总体N(%。 ;)、N(匕22)方差的假设检验(F检验,拒绝域均采用下侧分位数) 12 检验假设比: 。 12=仃2统计量F=Sr拒绝域F>F)(n1-1,电-1)或者 S*1丐 F: 二FJR-1,n2-1) 2 *2 检验假设H。 : %2>62统计量F=与拒绝域F S2一 S*2 检验假设H0: 。 ;<。 22统计量F=St拒绝域F>F1^(n1-1,n2-1) S2一 注检验两个正态总体均值相等时,应先检验它们的方差相等. 二、习题 1.10部机床独立工作,因检修等原因,每部机床停机的概率为0.2,则同时有3部机床 停机的概率为().【C130Q230.87或0.201】 2.设总体X服从N(N,1)分布,X1,X2是一个样本,则两个无偏估计量 一11-13 %=—X1+—X2,%=—X1+—X2中有效的是().【因】 2244 3.若总体X服从N(巴1),由来自X的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5, 则N的双侧0.95置信区间(u0.975=1.96)为().【(4.804,5.196)】 4.设随机变量X的方差为2,则根据切比雪夫不等式有P{X-EX>2}<.【1/2】 5.在假设检验问题中,显著性水平«的意义是() A.原假设H0成立,经检验被拒绝的概率; 8.原假设H0成立,经检验不能拒绝的概率; C.原假设H0不成立,经检验被拒绝的概率; D.原假设H0不成立,经检验不能拒绝的概率.【A】 6.设总体X~N(N,。 2),其中N已知,。 2未知,X1,X2,X3是取自X的一个样本,则下列表达式中不是统计量的是() A.X1+X2+X3;B.max(X1,X2,X3); 3X2 C.£fD.X1—2N.【C】 11二 7.设随机变量X与Y都服从标准正态分布N(0,1),则下列各式中正确的是()__2_2一 AX/Y服从F分布; 8.X2+Y2服从72分布;222 C.X和Y都服从2分布; D.X+Y服从正态分布.【C】 2-1/ 8.设X1,X2,|||,Xn是来自总体X的一个样本,DX=。 2,记X=—£Xi,ny 1n_ s*2=——z(Xi-X)2,下列命题中正确的是() n-1ia *一……、…、,一 A.S是仃的无偏估计重; * B.S是仃的极大似然估计量;一*、一一.. C.S与X相互独立;_*2_2__ D.S是仃的无偏估计量.【D】 9.设DX=4,DY=2且X与Y不相关,则D(3X—2Y)=() A.6;B.16;C.28;D.44,【D] 10.袋中装有N只球,但其中白球数为随机变量,只知道其数学期望为n,试求从该袋中 任取一球为白球的概率. 解用X表示袋中的白球数,则 N EX=n=kP(X=k) k1 设A={取出白球},由全概率公式 NNk P(A)=P(X=k)P(AX=k)P(X=k)上 k=0k=0N =—、kP(X=k)=— Nk4N h1)x\0 11.设总体X的分布密度为p(x)=八,二一,其中e>0是未知参数, 0,其它 X1,|||,Xn是来自X的样本.求 (1)似然函数; (2)极大似然估计量. n 解 (1)似然函数L(u)个I(u-1)X/=(1•1)nX「-X>i1 n (2)ln(L(8))=nln(日+1)+8£lnXi,iW 0, 人d(1nLe)) Vdi 得」^^-1 "1nXi i1 故极大似然估计量? 二-一n一-1.n. v1nXi i1 12.设连续型随机变量Y服从(0,5)上的均匀分布,求关于x的一元二次方程 2 4x+4xY+Y+2=0有实根的概率. 解令A={方程有实根},则 A={(4Y)2-44(Y2)-0}={Y-2}{Y--1} 5-2 因为Y~U(0,5),故P(Y>2)=^-^=0,6,P(Y<-1)=0 5 所以P(A)=P{Y至2}+P{YM—1}=0.6. 13.中药厂从某种中药材中提取某种有效成分.现对同一质量的药材,用两种方法各做 了10次试验,两种方法下的总体分别用X与丫表示,X~N(吃产;),Y~N优2产2), 且X与Y相互独立,从观测值得x=76.23,《2=3.325,y=79.43,s;=2.225,现取 a=0.01.问 (1)两种方法方差有无差异; (2)两种方法均值有无差异. (F0.995(9,9)=6.54,3995(18)=2.8784) 解 (1)检验H0: 仃;=a|,H1: 12#仃2 统计量 SX23.325… F=-^*y==1.49, Sy22.225 拒绝域W: F-F0.995(9,9)=6.54或者F : 二F0.005(9,9)= 1 F0.995(9,9) 1 6.54 122 因为—— ,即认为仃1=仃2; 6.54 ⑵检验力〃1=匕,曰: 为#匕 “、上口x-y 统计mT= 11 sw—— nm 76.23-79.43 1--4.2954, .2.775.11 1010 拒绝域W: T>t0.995(18)=2.8784, 由于T=4.2954>2.8784,故拒绝假设H0,即认为两种方法均值有差异
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