人教版九年级数学下册第二十七章相似三角形知识点总结无答案.docx
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人教版九年级数学下册第二十七章相似三角形知识点总结无答案
相似三角形基本知识
知识点一:
相似图形
1.__________________的两个图形说成是相似的图形。
注意:
(1)我们可以这样理解相似形:
两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形
______________得到的.
(2)全等形是相似图形的一种____________.
2.相似多边形:
如果两个多边形_____________,对应角__________,对应边___________________,则这两个多边形是相似多边形。
________________________记为相似比。
3.相似多边形的性质:
对应角_________,对应边______________________。
注意:
当两个相似的多边形是全等形时,他们的相似比是_________.
练习1、在比例尺为1:
8000000的“中国政区”地图上,量得甲市与乙市之间的距离是6.5cm,
则这两市之间的实际距离为km;
知识点二:
平行线分线段成比例定理
(一)平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.已知l1∥l2∥l3,可得
_____________,_______________,_________________
2.推论:
平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
∵DE∥BC
∴_______________________________.
3、判定三角形相似定理:
平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线
所截的三角形的三边
与原三角形三边对应成比例.
即:
∵DE∥BC∴________________.
练习1、如图,E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点,
连结AE交CD于F,则图中共有相似三角形
(
)
A1对B2
对C3
对D4
对
练习2、如图,△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,下列结论不正确的是(
)
A.
BC=2DEB.△ADE∽△ABCC.
AD
AB
D.SABC
3SADE
AE
AC
AD
练习3、在菱形ABCD中,E是BC边上的点,连接AE交BD于点F,若EC=2BE,
则BF的值是(
)
A.1
FD
1
1
1
B.
C.
D.
2
3
4
5
8、如图小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落点恰好在离
网6米的位置上,则球拍击球的高度h为()
F
BEC
h
0.8
64
A、8
B、1C、4
D
、8
15
3
5
知识点三:
相似三角形
1、相似三角形
定义:
如果两个三角形中,三角对应
________,三边对应___________,那么这两个三角形叫做相
似三角形。
如△
ABC与△DEF相似,记作
。
________________________
相似比:
两个相似三角形的__________比,叫做这两个三角形的相似比。
相似比为
k。
2、三角形相似的判定
(1)定义法:
对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似。
(2)三角形相似的预备定理:
平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三
角形相似。
A
A'
(3)三角形相似的判定定理:
判定定理1:
三边________________,两三角形相似.
∵____________________∴__________________.
B
C
B'
C'
判定定理2:
两边__________且夹角__________,两三角形相似.
∵____________________∴__________________.
判定定理3:
两角对应_______________,两三角形相似.(此定理用的最多)
∵____________________∴__________________.
A
A
直角三角形相似判定定理:
两直角三角形相似。
B
在Rt△ABC与Rt△A'B'C'
中∵____________________
C
B
C
∴__________________.
相似三角形的传递性:
若已知△ABC∽△A'B'C',△A'B'C'∽A"B"C",则____________________
补充一:
直角三角形中双垂直:
斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.
补充二:
直角三角形中三垂直:
E
A
练习1、下列命题中正确的是
(
)
B
C
D
①三边对应成比例的两个三角形相似
②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似
③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似
④一个角对应相等的两个等腰三角形相似
A
A、①③B
、①④
C、①②④
D
、①③④
D
练习2、如图,D,E两点分别在△ABC的边AB,AC上,DE与BC不平
E
行,当满足
条件(写一个即可)时,
A
E
CD
△ADE∽△ACB.
B
BC
练习3、如图,在平行四边形ABCD中,AD=10厘米,CD=6厘米,E为AD上一点,且BE=BC,CE=CD,
则DE=厘米.
练习4、手工制作课上,小红利用一些花布的边角料,剪裁后装饰手工画,下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边,其中,每个图案花边的宽度都相等,
那么,每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是().
练习5、如图,△ABC是一张锐角三角形的硬纸片,ADm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形H分别在AC、AB上,AD与HG的交点为M.(1)求证:
(2)求这个矩形EFGH的周长.
是边BC上的高,BC=40cm,AD=30cEFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G、
练习6、矩形ABCD中,E是DC上一点,BE⊥AF,若BE=10cm,AF=4cm,
2
则S矩形=______cm.
练习7、如图,四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形.
(1)⊿ACF与⊿ACG相似吗?
说说你的理由.
(2)求∠1+∠2的度数.
练习8、如图,AB⊥BC,DC⊥BC,垂足分别为B、C,且AB=8,DC=6,BC=14,BC上是否存在点P
使△ABP与△DCP相似?
若有,有几个?
并求出此时BP的长,若没有,请说明理由。
A
D
BPC
知识点四:
相似三角形的性质
①相似三角形对应角___________、对应边___________.
②相似三角形__________、_______________、___________、___________
A
P
BC
的比都等于__________
③相似三角形___________的比等于相似比的平方.
练习1、如图,已知△ACP∽△ABC,AC=4,AP=2,则AB的长为________。
练习2、等腰三角形ABC和DEF相似,其面积比为1:
4,则它们底边上对应高线的比为()
A、1:
4B、4:
1C、1:
2D、2:
1
练习3、两个相似三角形面积之比是9:
25,较大的三角形的周长是20cm,则较小的三角形的周长是
______cm.
练习4、如图所示,在长为8cm,宽为6cm的矩形中,截去一个矩形(图中阴影部分),如果剩下矩形与原矩形相似,那么剩下矩形的面积是()
2
2
2
2
(A)28cm
(B)27cm
(C)21cm
(D)20cm
练习
、如图,在△ABC中,∠C=
°,将△ABC沿直线MN翻折后,顶点
C
5
90
M
N
C恰好落在AB边上的点D处,已知MN∥AB,MC=6,NC=23,
则四边形MABN的面积是
A.63B.123C.183D.243
ADB
知识点五:
实际应用
练习1、如图,为了测量水塘边A、B两点之间的距离,在可以看到的A、B的点E处,取AE、BE延长线上的C、D两点,使得CD∥AB,若测得CD=5m,AD=
15m,ED=3m,则A、B两点间的距离为___________。
AB
E
练习2、如图所示,在离某建筑物4m处有一棵树,在某时刻,1.2m长的竹竿
垂直地面,影长为2m,此时,树的影子有一部分映在地面上,还有一部分影
子映在建筑物的墙上,墙上的影高为2m,那么这棵树高米
A
CD
D
A'
B'BC
练习
3、如图,一束光线从
y轴上点A(,)发出,经过x轴上点C反射后,经过点
B(,),
01
62
则光线从A点到B点经过的路线的长度为
.
练习4、(2014?
潍坊)如图,某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF,两标杆相隔50米,并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内,从标杆CD后退2米到点G处,在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上;从标杆FE后退4
米到点H处,在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上,则建筑物的高是_____米.
知识点五:
位似
1、定义:
如果两个多边形_____________、_______________________,那么这样的两个图形叫做
位似图形,这个点叫做______________,这时的相似比又称为_____________。
2、性质:
①位似图形首先是相似图形,所以它具有相似图形的一切性质。
②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比(相似比)③位似图形的对应线段
。
。
3、一般的,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它
与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形的点的坐标为_____________.
练习1、已知:
E(-4,2),F(-1,-1),以O为位似中心,按比例尺1∶2,把△EOF缩小,则
点E的对应点E′
的坐标为()
A.(2,-1)或(-2,1)
B
.(8,-4)或(-8,4)
C.(2,-1)
D
.(8,-4)
练习2、如图,以某点为位似中心,将△
AOB进行位似变换得到△CDE,记
△AOB与△CDE对应边的比为k,则位似中心的坐标和
k的值分别为(
)
A.(0,0),2B.
(2,2),1
C.
(2,2),2
D.(2,2),3
2
练习3、如图,△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0)。
以点C为位似中
心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的△A′B′C。
设点B的对应点B′的横坐标是a,则点B的横坐标是(
2倍,记所得的像是
)
A.
1
a
B.
1
(a1)
C.
1
(a1)
D.
1
(a
3)
2
2
2
2
练习4、如图,已知O是坐标原点,B、C两点的坐标分别为(3,-1)、(2,1).
(1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2),画出图形;
(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标;
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