定积分的背景教学设计省优质课.docx
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定积分的背景教学设计省优质课
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定积分的背景教学设计省优质课
定积分的背景
数学王乃雪江西高安二中
【教学目标】
1.知识目标
通过曲边梯形的面积问题、变速直线运动物体的路程问题、变力做功问题理解定积分概念的形成的基本思想,初步了解、感受定积分的实际背景。
2.能力目标
通过探索求曲边梯形的面积的过程,了解用“分割、近似代替、求和、取极限”的步骤分析问题的方法,从而培养学生的逻辑思维能力;体会“以直代曲”,“逼近”的思想,理解用极限的思想方法思考与处理问题,从而培养学生的创新意识。
3..情感目标
对不同背景下的问题中蕴含的统一数学内涵的过程的揭示,认识到数学与生活的联系和数学在实用性方面的巨大力量,进而对数学中蕴含的理性美产生发自内心的欣赏情感。
【教学重难点】
1.教学重点
了解以直代曲、逼近的数学思想,初步掌握求曲边梯形面积的步骤。
2.教学难点
曲边梯形的不足近似和过剩近似两种近似面积的求法。
【教学过程】
一、创设情境,引入新课
介绍我国魏晋时期的数学家刘徽以及他的“割圆术”:
刘徽(约公元225年—295年),山东临淄人,魏晋期间伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基者之一。
他的杰作《九章算术》,是中国最宝贵的数学遗产,影响、支配中国古代数学的发展1000余年,是东方数学的典范之一,与希腊欧几里得的《几何原本》所代表的古代西方数学交相辉映。
他对数学的主要贡献是创造十进小数、证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理;定义许多重要数学概念解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题;创造了割圆术,运用极限观念计算圆面积和圆周率。
在右图中的圆内作内接正多边形,通过变量来改变正多边形的边数,用正多边形面积来近似估计圆的面积。
提问:
1.可以用正六边形的面积来表示圆的面积吗可以用正12边形来表示吗
2.要使用多边形的面积近似表示圆的面积更精确,应该怎么办
3.用内接正多边形的面积来表示圆的面积,怎么计算圆周率π
割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割,则与圆合体无所失矣。
——刘徽
二、新课讲授
曲边梯形的概念:
由三条直线x轴、x=a、x=b和一条曲线
围成的封闭图形,就叫做曲边梯形。
提问:
我们知道多边形、圆形、扇形等规则图形的面积求法,那怎么求曲边梯形的面积
探究一、求曲边梯形的面积
问题1:
求由x轴、直线x=1和曲线
围成图形的面积
(一)分割
为了计算曲边梯形的面积S,将它分割成许多小曲边梯形,如下图所示。
(二)近似代替
提问:
1.我们将曲边梯形分割后,可以用图1或者图2中的小矩形的面积和来代替由x轴、x=a、x=b和曲线
围成的图形的面积吗
2.如果还有比较大的误差,我们可以怎么做使误差变小
3.将区间[0,1]分的越细,误差越小吗
在图1和图2中不断增加小矩形的数量,得到的阴影部分的面积会越来越接近由x轴、直线x=1和曲线
围成的面积,而图3中的面积会越来越小,直至无限接近于0.因此,只要区间分的够细小,我们就可以用图1或者图2中的矩形的面积来近似代替由x轴、x=a、x=b和曲线
围成的图形的面积。
下面以图1为例求不足近似的面积。
把区间[0,1]等分成n个小区间:
;每个区间长度为
,第
个小矩形的高度为
,所以第
个小矩形的面积为
。
(三)求和
(四)逼近(求极限)
当分割无限变细,即
时,
,所以所求曲边梯形的面积为
。
练习1:
仿照上面求不足近似面积的方法求图2中由x轴、直线x=1和曲线
围成的图形的过剩近似面积
探究二、变速运动的路程问题
提问:
1.匀速直线运动路程公式是什么
2.若以时间为横坐标,速度为纵坐标建立坐标系,那么路程可以用什么表示
3.如果是变速直线运动,路程怎么求
问题2:
一辆汽车的司机猛踩刹车,汽车滑行5s后停下,在这一过程中汽车的速度v是时间t的函数:
请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s。
用横坐标表示时间,纵坐标表示速度,可以得到速度关于时间的函数图象如右图所示。
提问:
1.仿照问题1中的近似方法将时间区间[0,5]5等分,得到的不足近似面积和过剩近似面积分别怎么计算将区间[0,5]10等分呢
2.哪种分法得到的面积误差较小,如果还要使误差更小,怎么办
首先将滑行时间5等分,若用
近似表示各时间区间的平均速度,得到滑行距离是
;若用
近似表示各时间区间的平均速度,得到滑行距离是
。
为了使误差更小,将滑行时间10等分,用类似的方法求得过剩近似值为
;不足近似值为
。
按照这样的思路继续将时间分细,我们就会得到更精确的估计值,当小时间间隔长度趋于0时,这两种估计值就都趋于汽车滑行的路程。
方法归纳总结:
求曲边梯形的面积分为以下几个步骤
1.将区间分割;
2.近似代替(一般用不足近似和过剩近似两种代替方法);
3.求近似面积和;
4.求极限,让
,得到准确面积。
练习2:
由直线x=1,y=0和曲线
围成一个曲边梯形,将区间[0,1]4等分,则曲边梯形面积的近似值(过剩近似)是().
A.
B.
C.
D.
三、小结
求曲边梯形面积四步曲:
1.分割
化整为零
2.近似代替
以直代曲
3.求和
积零为整
4.逼近
刨光磨平
四、作业:
(思考题)一根弹性系数为cm的弹簧,其拉力随着弹簧拉伸的长度x的和变化而不断变化,根据胡克定律可知:
F=F(x)=.在不考虑摩擦的情况下,物体在力F的作用下匀速运动,从原来位移移动10cm。
估计这一过程中拉力所做的功W。
请按照分割、近似代替、求和、逼近的步骤求出该拉力在这个过程中所做的功.
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- 关 键 词:
- 积分 背景 教学 设计 省优
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