24二次函数的图像与性质.docx
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24二次函数的图像与性质
2-4二次函数的图像与性质
一、选择题
1.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间(2,3)内是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.a≤2或a≥3B.2≤a≤3
C.a≤-3或a≥-2D.-3≤a≤-2
[答案] A
[解析] 由于二次函数的开口向上,对称轴为x=a,若使其在区间(2,3)上是单调函数,则需所给区间在对称轴的同一侧,即a≤2或a≥3.
2.(文)(2012·金华月考)已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则( )
A.a=
,b=0B.a=-1,b=0
C.a=1,b=0D.a=3,b=0
[答案] A
[解析] 由f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数,得b=0.又定义域为[a-1,2a],
∴(a-1)+2a=0,∴a=
.
(理)(2012·长沙调研)已知函数f(x)=2ax2-ax+1(a<0),若x1 A.f(x1)=f(x2)B.f(x1)>f(x2) C.f(x1) [答案] C [解析] 根据函数的图像开口向下,对称轴为x= ,又依题意得x1<0,x2>0,且x1与x2关于y轴对称,则x1到x= 的距离大于x2到x= 的距离,即 -x1>x2- ,故f(x1) 3.(2010·安徽理)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是( ) [答案] D [解析] 若a<0,则只能是A或B选项,A中- <0,∴b<0,从而c>0,与A图不符;B中- >0,∴b>0,∴c<0,与B图不符.若a>0,则抛物线开口向上,只能是C或D选项,当b>0时,有c>0与C、D图不符,当b<0时,有c<0,此时- >0,f(0)=c<0,故选D. 4.(文)“a<0”是“方程ax2+1=0有一个负数根”的( ) A.必要不充分条件B.充分必要条件 C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件 [答案] B [解析] ①∵a<0,ax2+1=0,∴x2=- >0, ∴ax2+1=0有一个负根,∴充分性成立. ②若ax2+1=0有一个负根,那么x2=- >0,可得a<0,∴必要性成立. (理)一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图像大致是( ) [答案] C [解析] 选项A中,一次函数的斜率a>0,而二次函数的开口向下,相矛盾,排除A,同理排除D. y=ax2+bx+c的对称轴为x=- ,当a>0,b>0时,x=- <0,∴排除B.当a<0,b<0时,x=- <0,∴C符合. 5.(文)已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为( ) A.-1B.0 C.1D.2 [答案] C [解析] f(x)=-(x-2)2+4+a.由x∈[0,1]可知当x=0时,f(x)取得最小值-2,即a=-2,所以f(x)=-(x-2)2+2,当x=1时,f(x)取得最大值1. (理)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为 ,则m的取值范围是( ) A. B. C.[0,3]D. [答案] B [解析] f(x)=x2-3x-4= 2- , ∴f =- ,又f(0)=-4. 由题意结合函数的图像可得 解得 ≤m≤3. 6.(文)函数y=(cosx-a)2+1,当cosx=a时有最小值,当cosx=-1时有最大值,则a的取值范围是( ) A.[-1,0] B.[-1,1] C.(-∞,0]D.[0,1] [答案] D [解析] ∵函数y=(cosx-a)2+1, 当cosx=a时有最小值,∴-1≤a≤1, ∵当cosx=-1时有最大值,∴a≥0,∴0≤a≤1. (理)已知f(x)=x2+x+c,若f(0)>0,f(p)<0,则( ) A.f(p+1)>0B.f(p+1)<0 C.f(p+1)=0D.f(p+1)的符号不确定 [答案] A [解析] 二次函数的对称轴为x=- 由f(0)>0,知f(-1)>0. 又f(p)<0,则必有-1 0,∴f(p+1)>0. 二、填空题 7.(2012·厦门质检)设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是________. [答案] [0,2] [解析] 依题意知,函数f(x)的图像关于直线x=1对称,且开口方向向上,f(0)=f (2),结合图像可知,不等式f(m)≤f(0)的解集是[0,2]. 8.若函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图像关于直线x=1对称,则b=________. [答案] 6 [解析] 二次函数y=x2+(a+2)x+3的图像关于直线x=1对称,说明二次函数的对称轴为x=1,即- =1,所以a=-4.而f(x)是定义在[a,b]上的,即a,b关于x=1也是对称的,所以 =1,∴b=6. 三、解答题 9.已知二次函数f(x)满足f (2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数. [分析] 由题目条件知二次函数过(2,-1),(-1,-1)两点,且知其最大值,所以可应用一般式、顶点式或两根式解题. [解析] 方法1: 利用二次函数一般式. 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得 解得 ∴所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7. 方法2: 利用二次函数的顶点式. 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ∵f (2)=f(-1), ∴抛物线对称轴为x= = ,∴m= . 又根据题意函数有最大值y=8,∴y=f(x)=a 2+8. ∵f (2)=-1,∴a 2+8=-1,解得a=-4. ∴f(x)=-4 2+8=-4x2+4x+7. 方法3: 利用二次函数的两根式. 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值ymax=8,即 =8, 解得a=-4或a=0(舍去). ∴所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x-7. 一、选择题 1.(文)(2012·福州模拟)已知二次函数y=f(x)的图像过原点且它的导函数y=f′(x)的图像如图所示的一条直线,则y=f(x)的图像的顶点在( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 [答案] A [解析] f(x)过原点,所以设二次函数为f(x)=ax2+bx,(a≠0),f′(x)=2ax+b,由导函数图像知,a<0,b>0, ∴f(x)的顶点 在第一象限. (理)(北师大天津附中模拟)已知函数f(x)满足f(x+4)=f(x),又f(3+x)=f(3-x),当1≤x≤5时,f(x)=x2-bx+2,若m=f(ln ),n=f(ln8),p=f( ),则m、n、p的大小关系是( ) A.n C.p [答案] A [解析] ∵f(3+x)=f(3-x),∴f (1)=f(5). ∴1-b+2=25-5b+2.∴4b=24,b=6. ∵0 <1,∴4<4+ln <5. ∴f(ln )=f(4+ln ).f( )=f( )=f (2). 2=lne2 ∴f(ln8) ) ),即n 2.(浙江杭州学军中学模拟)二次函数f(x)=ax2+bx+c,a为正整数,c≥1,a+b+c≥1,方程ax2+bx+c=0有两个小于1的不等正根,则a的最小值为( ) A.2B.3 C.4D.5 [答案] D [解析] 由题意得f(0)=c≥1,f (1)=a+b+c≥1,当a越大时,y=f(x)的开口越小,当a越小时,y=f(x)的开口越大,而y=f(x)的开口最大时,y=f(x)过(0,1),(1,1),则c=1,a+b+c=1,a+b=0,a=-b,此时- = ,另外还要满足b2-4ac>0,a(a-4)>0,a>4,则a的最小值为5,故选D. 二、填空题 3.(2012·广东深圳一模)已知定义在区间[0,3]上的函数f(x)=kx2-2kx的最大值为3,那么实数k的取值集合为________. [答案] {1,-3} [解析] ∵f(x)=kx2-2kx=k(x-1)2-k (1)当k>0时,二次函数开口向上, 当x=3时,f(x)有最大值, f(3)=k·32-2k×3=3k=3⇒k=1; (2)当k<0时,二次函数开口向下, 当x=1时,f(x)有最大值, f (1)=k-2k=-k=3⇒k=-3.故k的取值集合为{1,-3}. 4.(湖北黄冈中学模拟)若二次函数f(x)的导函数f′(x)=2x+2m,且f(0)=m2-m,则f(x)=__________;若x∈[-2,0],存在f(x)≤0,则m的取值范围是________. [答案] f(x)=x2+2mx+m2-m [0,4] [解析] 设f(x)=x2+2mx+b.由f(0)=m2-m求出b,∴f(x)=x2+2mx+m2-m. 先求出[-2,0]内f(x)>0恒成立,m∈(-∞,0)∪(4,+∞), ∴m∈[0,4]. 三、解答题 5.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2,求a的值. [分析] 作出函数图像,因对称轴x=a位置不定,故分类讨论对称轴位置以确定f(x)在[0,1]上的单调情况. [解析] 当对称轴x=a<0时,如图1所示. 当x=0时,y有最大值,ymax=f(0)=1-a. ∴1-a=2,即a=-1,且满足a<0,∴a=-1. 图1 图2 当0≤a≤1时,如图2所示.即当x=a时,y有最大值, ymax=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1. ∴a2-a+1=2,解得a= . ∵0≤a≤1,∴a= 舍去.当a>1,如图3所示. 图3 由图可知,当x=1时y有最大值, ymax=f (1)=2a-a=2, ∴a=2,且满足a>1,∴a=2. 综上可知,a的值为-1或2. 6.(创新题)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3). (1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式; (2)若f(x)的最大值为正数,求实数a的取值范围. [解析] (1)∵f(x)+2x>0的解集为(1,3), ∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0, 即f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.① 由f(x)+6a=0,得 ax2-(2+4a)+9a=0.② ∵方程②有两个相等的根, ∴Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0, 即5a2-4a-1=0,解得a=1或a=- . 由于a<0,故舍去a=1,将a=- 代入①, 得f(x)=- x2- x- . (2)f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a =a 2- . 由a<0,可得f(x)的最大值为- >0, 由 解得a<-2- 或-2+
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