有理数复习有答案.docx
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有理数复习有答案
有理数综合复习
基础训练题
一、填空:
1、在数轴上表示-2的点到原点的距离等于()。
2、若∣a∣=-a,则a()0.
3、任何有理数的绝对值都是()。
4、如果a+b=0,那么a、b一定是()。
5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次,列式表示厚度是()。
6、已知|a|3,|b|2,|
ab|
ab,则ab()
7、|x
2||x
3|的最小值是()。
8、在数轴上,点A、B分别表示
11
,,则线段AB的中点所表示的数是()。
42
9、若a,b互为相反数,
m,n互为倒数,P的绝对值为3,则
2010
abmnp2p
()。
10、若abc≠0,则|a||b||c|的值是().
abc
11、下列有规律排列的一列数:
1、个数是()。
二、解答问题:
325
、、、
438
3
、,其中从左到右第
5
100
1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4,z对应的点到-2对应的点的距离是7,求x、
y、z这三个数两两之积的和。
3、若2x|45x||13x|4的值恒为常数,求x满足的条件及此时常数的值。
4、若a,b,c为整数,且|ab|2010
|ca|2010
1,试求|ca||ab||bc|的值。
5、计算:
-
1+5-7+9-11+
13-15+17
261220
30425672
能力培训题
知识点一:
数轴
例1:
已知有理数a在数轴上原点的右方,有理数b在原点的左方,那么()
A.abb
B.abb
C.
ab0
D.
ab0
拓展训练:
1、如图
a,b为数轴上的两点表示的有理数,在
a
b,b
2a,a
b,b
a中,负数的个数
有()aOb
A.1B.2C.3D.4
2、把满足2a5中的整数a表示在数轴上,并用不等号连接。
2、利用数轴能直观地解释相反数;
例2:
如果数轴上点A到原点的距离为3,点B到原点的距离为5,那么A、B两点的距离为。
拓展训练:
1、在数轴上表示数a的点到原点的距离为3,则a
3.
2、已知数轴上有A、B两点,A、B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3,那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于。
3、利用数轴比较有理数的大小;
例3:
已知a
0,b
0且a
b
0,那么有理数
a,b,
a,b
的大小关系
是。
(用“”号连接)
拓展训练:
1、若m
0,n
0且m
n,比较
m,n,m
n,m
n,n
m的大小,并用“”号连接。
例4:
已知a5,比较a与4的大小
拓展训练:
1、已知a3,试讨论a与3的大小
2、已知两数
a,b,如果a比b大,试判断a与b的大小
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。
例5:
有理数
a,b,c在数轴上的位置如图所示,式子
a
bab
b
c化简结果为
()
A.2a3bc
B.3bc
C.bc
D.cb
-1aO1bc
拓展训练:
1、有理数
a,b,c在数轴上的位置如图所示,则化简
abb1ac
1
c的结果
为。
ba
Oc1
2、已知ab
ab2b,在数轴上给出关于
a,b的四种情况如图所示,则成立的
精品资料
a0b
b
0a
0ab0ba
是。
①②③④
3、已知有理数
a,b,c在数轴上的对应的位置如下图:
则
c
1ac
ab化简后的结
果是()
-1c
Oab
A.b1
B.2ab1
C.1
2ab2c
D.12cb
三、提高练习
1、已知是有理数,且x
13
2
12y1
13
0,那以xy的值是()
2
3
A.B.
22
C.或
22
D.1或2
2、如图,数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B,再向右移动5个单位长度到
5
达点C.若点C表示的数为1,则点A表示的数为()B2AC
01
A.7B.3C.3D.2
3、如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A、B、C、D对应的数分别
是整数
a,b,c,d且d
2a10,那么数轴的原点应是()
ABCD
A.A点B.B点C.C点D.D点
4、数
a,b,c,d
所对应的点A,B,C,D在数轴上的位置如图所示,那么
ac与bd的
大小关系是()
A
D0CB
A.acbd
B.
acbd
C.acbd
D.不确定的
5、不相等的有理数
a,b,c在数轴上对应点分别为A,B,C,若abbc
a
c,那
么点B()
A.在A、C点右边B.在A、C点左边C.在A、C点之间D.以上均有可
能
6、设y
x1x
1,则下面四个结论中正确的是()
A.y没有最小值B.只一个x使y取最小值
C.有限个x(不止一个)使y取最小值D.有无穷多个x使y取最小值
7、在数轴上,点A,B分别表示
11
和,则线段AB的中点所表示的数是。
35
8、若a
0,b
0,则使xa
xba
b成立的x的取值范围是。
9、x是有理数,则x
100
221
x95
221
的最小值是。
10、已知
a,b,c,d
为有理数,在数轴上的位置如图所示:
且6a
6b3c4d
6,求3a2d
3b2a
2bc
的值。
dbOac
11、
(1)阅读下面材料:
点A、B在数轴上分别表示实数
a,b,A、B两点这间的距离表示为AB,当A、B两点中
有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,ABOBbab;当A、B两点
O(A)BOAB
都不在原点时,
oboab
①如图2,点A、B都在原点的右边AB
OBOA
b
aba
ab;
②如图3,点A、B都在原点的左边AB
OBOAbab
aab;
③如图4,点A、B在原点的两边AB
OAOB
a
ba
b
ab。
BAO
综上,数轴上A、B两点之间的距离AB
a
b。
bao
BOA
(2)回答下列问题:
a
oa
①数轴上表示2和5两点之间的距离是,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是;
②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是,如果AB2,那么x
为;
③当代数式x1x2取最小值时,相应的x的取值范围是;
④求x1x2x3
x1997的最小值。
绝对值复习
一、引言
绝对值是初中代数中的一个重要概念,引入绝对值概念之后,对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解;绝对值又是初中代数中一个基本概念,在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时,常常遇到含有绝对值符号的问题,理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面:
1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。
脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。
去绝对值符号法则:
aa0
a0a0
aa0
2、恰当地运用绝对值的几何意义
从数轴上看a表示数a的点到原点的距离;ab表示数a、数b的两点间的距离。
3、灵活运用绝对值的基本性质
①a0
②a2
a2a2
③abab
④aab0bb
⑤abab⑥abab
二、知识点复习
1、去绝对值符号法则
例1:
已知a
5,b
3且ab
ba那么ab。
拓展训练:
1、已知a
1,b
2,c
3,且a
bc,那么a
bc2。
2、若a
8,b
5,且ab
0,那么a
b的值是()
A.3或13B.13或-13C.3或-3D.-3或-13
拓展训练:
1、已知x
3x2的最小值是a,x
3x2的最大值为b,求a
b的值。
三、提高训练
1、如图,有理数
a,b在数轴上的位置如图所示:
-2a
-10b1
则在a
b,b
2a,b
a,a
b,a
2,b
4中,负数共有()
A.3个B.1个C.4个D.2个
2、若m是有理数,则mm一定是()
A.零B.非负数C.正数D.负数
3、如果x
2x2
0,那么x的取值范围是()
A.x2
B.x2
C.x2
D.x2
4、a,b是有理数,如果abab,那么对于结论
(1)a一定不是负数;
(2)b可能
是负数,其中()
A.只有
(1)正确B.只有
(2)正确C.
(1)
(2)都正确D.
(1)
(2)都不正
确
5、已知a
a,则化简a1a
2所得的结果为()
A.1B.1C.2a3D.32a
6、已知0a
4,那么a2
3a的最大值等于()
A.1B.5C.8D.9
8、满足abab成立的条件是()
A.ab0
B.
ab1
C.ab0
D.ab1
9、若2x
x5x2
5,则代数式
x52x
x
的值为。
x
10、若ab
a
0,则
a
bab
bab
的值等于。
11、已知
a,b,c是非零有理数,且abc
0,abc
abc
0,求
abc
abcabc
的值。
13、阅读下列材料并解决有关问题:
我们知道x
xx0
0x0
xx0
,现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式,
如化简代数式
x1x
2时,可令x1
0和x2
0,分别求得x
1,x
2(称
1,2分别为x
1
与x
2
的零点值)。
在有理数范围内,零点值x
1和x
2可将全体
有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:
(1)当x
1时,原式=x1x2
2x1;
(2)当1x2时,原式=x1x23;
(3)当x
2时,原式=x1x2
2x1。
2x
1
x
1
综上讨论,原式=
3
1
x
2
2x1x2
通过以上阅读,请你解决以下问题:
(1)分别求出x
2和x
4的零点值;
(2)化简代数式x
2x4
14、
(1)当x取何值时,x3有最小值?
这个最小值是多少?
(2)当x取何值时,5x2
有最大值?
这个最大值是多少?
(3)求x
4x5
的最小值。
(4)求
x7x8x9的最小值。
15、某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站,如图,现在要在AB段上
修建一个加油站M,为了使加油站选址合理,要求A,B,C,D四个汽车站到加油站M的
路程总和最小,试分析加油站M在何处选址最好?
16、先阅读下面的材料,然后解答问题:
ADCB
在一条直线上有依次排列的
nn1
台机床在工作,我们要设置一个零件供应站P,使这n
台机床到供应站P的距离总和最小,要解决这个问题,先“退”到比较简单的情形:
A1A2
甲P乙
A1A2(P)DA3
甲乙丙
①②
如图①,如果直线上有2台机床(甲、乙)时,很明显P设在
A1和
A2之间的任何地方都行,
因为甲和乙分别到P的距离之和等于
A1到
A2的距离.
如图②,如果直线上有3台机床(甲、乙、丙)时,不难判断,P设在中间一台机床A2处最合
适,因为如果P放在
A2处,甲和丙分别到P的距离之和恰好为
A1到
A3的距离;而如果P
放在别处,例如D处,那么甲和丙分别到P的距离之和仍是
A1到
A3的距离,可是乙还得
走从A2到D近段距离,这是多出来的,因此P放在A2处是最佳选择。
不难知道,如果直
线上有4台机床,P应设在第2台与第3台之间的任何地方;有5台机床,P应设在第3
台位置。
问题
(1):
有n机床时,P应设在何处?
问题
(2)根据问题
(1)的结论,求的最小值。
有理数的运算复习
一、引言
在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算,当引进负数概念后,数集扩大到了有理数范围,我们又学习了有理数的计算,有理数的计算与算术数的计算有
很大的不同:
首先,有理数计算每一步要确定符号;其次,代数与算术不同的是“字母代数”,所以有理数的计算很多是字母运算,也就是通常说的符号演算。
数学竞赛中的计算通常与推理相结合,这不但要求我们能正确地算出结果,而且要善于观
察问题的结构特点,将推理与计算相结合,灵活选用算法和技巧,提高计算的速成度,有
理数的计算常用的技巧与方法有:
1、利用运算律;2、以符代数;3、裂项相消;4、分解相约;5、巧用公式等。
二、知识点反馈
1
、利用运算律:
加法运算律
加法交换律abba
乘法运算律
乘法交换律abba
加法结合律abc
abc
乘法结合律abc
乘法分配律abc
abc
abac
23
例1:
计算:
5
422.7572
33
拓展训练:
1、计算
(1)
0.6
0.0825
270.9225
1111
31591
(2)3
4114
719
69
1144
例2:
计算:
92450
25
拓展训练:
1、计算:
2345
1111
2345
2、裂项相消
ab
(1)
ab
111
;
(2)
abnn1
11
nn1
m
;(3)
nnm
11
nnm
2
(4)
nn1n
1
1
2nn1
11
1
n1n2
1
例3、计算
12
2334
20092010
拓展训练:
1
1、计算:
13
11
3557
1
2007
2009
3、整体替换
三、提高训练
1、a是最大的负整数,b是绝对值最小的有理数,则
a2007
b2009
=。
2008
111
2、计算:
(1)
355779
1997
1
=;
1999
(2)
434
0.258226
1
2=。
3
3、若a与b互为相反数,则
1898a2
99b2
=。
1997ab
1
1
3
1
3
5
1
3
97
2
4
4
6
6
6
98
98
98
4、计算:
=。
5、计算:
222
2324
252627
2829
210=。
1997
6、,
1998
97,
98
1998,98
199999
这四个数由小到大的排列顺序
是。
7、计算:
3.14
31.4
628
0.686
68.6
6.86=()
A.3140B.628C.1000D.1200
1234
8、
2468
11
1415
2830
1
等于()
1
A.B.
44
C.
D.
22
564
9、计算:
2.53
2
=()
29
510
A.B.
23
814.54
2040
C.D.
99
10、为了求12223
22008
的值,可令S=12223
22008,则2S=
222324
22009
2009
2
,因此2S-S=
1,所以12223
22008=220091
仿照以上推理计算出
15253
2009
5
的值是()
A、5
20091
B、5
20101
2009
5
1
C、
4
D520101
、
4
11、
a1,a2,a3,
a2004都是正数,如果M
a1a2
a2003
a2a3
a2004,
Na1a2
a2004
a2a3
a2003
,那么
M,N
的大小关系是()
A.MN
B.MN
C.MN
D.不确定
b
12、设三个互不相等的有理数,既可表示为
19992000
求ab的值
13、计算
1,a
b,a的形式,又可表示为
0,,b的形式,
a
(1)5.7
0.00036
0.19
0.006
5700
0.000000164
(2)
43
0.258
2
14
3
313
41
6.5262
3
14
、已知
m,n互为相反数,
a,b互为负倒数,x的绝对值等于3,
求x31mn
abx2
mnx2001
2003
ab的值
15、已知ab2a20,
1
求
aba
1
1b1
1
a2b2
1
a2006b
的值
2006
16、图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案,最上面一层有一个圆圈,以
下各层均比上一层多一个圆圈,一共堆了n层.将图1倒置后与原图1拼成图2的形状,
n(n1)
这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为
123n.
2
第1层
第2层
第n层
图1图2图3图4
如果图1中的圆圈共有12层,
(1)我们自上往下,在每个圆圈中都按图3的方式填上一串
连续的正整数1,2,3,4,,则最底层最左边这个圆圈中的数是;
(2)我们自上往下,在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数23,22,21,,求
图4中所有圆圈中各数的绝对值之和.
计算专项训练
【例1】计算下列各题
2332512333
(3)3
4
37
25
4
4
33
⑴()0.750.5()
(1)()4
4
12271339
⑵(0.125)
(1)(8)()
35
【例2】计算:
1234567891011122005200620072008
【例3】计算:
111111
⑴
261220309900
1111
⑵
13355799101
反思说明:
一般地,多个分数相加减,如果分子相同,分母是两个整数的积,且每个分母中因数差相同,可以用裂项相消法求值。
111
①
②11(11)
n(n1)nn1
n(nk)knnk
1111
③[]④
1111
()
n(n1)(n2)2n(
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