考研数学一真题及答案.docx
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考研数学一真题及答案
20XX年考研数学一真题
一、选择题(18小题,每小题4分,共32分。
下列每题给出的四
个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
)
(1)极限
(A)1
(B)
(C)
(D)
【考点】C。
【解析】
【方法一】
这是一个“
”型极限
【方法二】
原式
而
(等价无穷小代换)
则
【方法三】
对于“”型极限可利用基本结论:
若,,且
则,求极限
由于
则
【方法四】
综上所述,本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较,极限的四则运算,两个重要极限
(2)
设函数由方程确定,其中
为可微函数,且
则
。
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】
【解析】
B。
因为,
所以
综上所述,本题正确答案是(B)。
【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微
分
(3)设为正整数,则反常积分的收敛性
(A)仅与的取值有关(B)仅与的取值有关
(C)与的取值都有关(D)与的取值都无关
【答案】D。
【解析】
本题主要考察反常积分的敛散性,题中的被积函数分别在
和时无界
在反常积分中,被积函数只在时无界。
由于,
已知反常积分收敛,则也收敛。
在反常积分中,被积函数只在时无界,由于
(洛必达法则)
且反常积分收敛,所以收敛
综上所述,无论取任何正整数,反常积分收敛。
综上所述,本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(4)
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】
【解析】
因为
D。
综上所述,本题正确答案是C。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用
(5)
设为矩阵,为
矩阵,为阶单位矩阵,若
则
(A)秩
秩
(B)秩
秩
(C)秩
秩
(D)秩
秩
【答案】A。
【解析】
因为为阶单位矩阵,知
又因,故
另一方面,为矩阵,为矩阵,又有
可得秩秩
综上所述,本题正确答案是A。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩
(6)设为4阶实对称矩阵,且
,若的秩为
3,则相似于
(A)(B)
(C)(D)
【答案】
D。
【解析】
由
知
,那么对于
推出来
所以的特征值只能是
、
再由是实对称矩阵必有
,而是的特征值,那么由
可知D正确
综上所述,本题正确答案是D。
【考点】线性代数—特征值与特征向量—实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵
(7)设随机变量的分布函数,则
(A)0
(B)
(C)
(D)
【答案】
【解析】
C。
综上所述,本题正确答案是C。
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—随机变量分布函数的概念及其性质
(8)
设为标准正太分布的概率密度,概率密度,若
为
上均匀分布得
为概率密度,则
应满足
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】A。
【解析】
根据密度函数的性质
为标准正态分布的概率密度,其对称中心在处,故
为上均匀分布的概率密度函数,即
,
,其他
所以
可得
综上所述,本题正确答案是A。
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—连续型随机变
量的概率密度,常见随机变量的分布
二、填空题(914小题,每小题4分,共24分。
)
(9)设
,则
。
【答案】。
【解析】
【方法一】
则,
【方法二】
由参数方程求导公式知,
代入上式可得。
【方法三】
由得,,则
当时,则
综上所述,本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数,复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法
(10)。
【答案】。
【解析】
令,则
综上所述,本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数积分学—基本积分公式,不定积分
和定积分的换元积分法与分部积分法
(11)已知曲线的方程为起点是终点是
,则曲线积分。
【答案】。
【解析】
如图所示,其中
所以
综上所述,本题正确答案是。
-1O1
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲线积分的概念、性
质及计算
(12)设,则的形心坐标。
【答案】。
【解析】
综上所述,本题正确答案是。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的
概念、性质、计算和应用
(13)设
,若由
生成的向量空间的维数为
,则
。
【答案】
6。
【解析】
生成的向量空间的维数为
,所以可知,
所以可得
综上所述,本题正确答案是。
【考点】线性代数—向量—向量组的秩,向量组的秩与矩阵的秩
之间的关系,向量空间及其相关概念
(14)设随机变量的概率分布为,则
。
【答案】。
【解析】
泊松分布的概率分布为,
随机变量的概率分布为
对比可以看出
所以而
综上所述,本题正确答案是。
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—常见随机变量
的分布;
概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望
(均值)、方差、标准差及其性质
三、解答题:
小题,共94分。
解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。
(15)求微分方程的通解
【解析】
由齐次微分方程的特征方程
,
所以,齐次微分方程的通解为
设微分方程的特解为
则
代入原方程,解得
故特解为
所以原方程的通解为
【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性微分方程,简单的二阶常系数非齐次线性微分方程
(16)求函数的单调区间与极值
【解析】
函数的定义域为,
令,得,列表如下
极小
极大
极小
由上可知,
区间为
的单调增区间为
和,
和
;的单调减
极小值为
极大值为
【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数,函数单调性的判别函数的极值
高等数学—一元函数积分学—基本积分公式,积分上限的函数及其导数
(17)
(I)比较与的大小,
说明理由;
(II)记
求极限
。
【解析】
(I)当时,因,所以
所以有
(II)【方法一】由上可知,
所以
由夹逼定理可得
【方法二】
由于为单增函数,则当时,,从而有
又,由夹逼定理知
【方法三】
已知
因为,且在上连续,则
在上有界,从而存在使得
则
由及夹逼定理知
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限存在的两个准则:
单调有界准则和夹逼准则
高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质
(18)求幂级数
的收敛域及和函数。
【解析】
即时,原幂级数绝对收敛
时,级数为,由莱布尼茨判别法显然收敛,故
原幂级数的收敛域为。
又
令
则
所以
由于,所以
所以
所以幂级数的收敛域为,和函数为。
【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间
(指开区间)和收敛域,幂级数的和函数,简单幂级数的和函数的求
法,初等函数的幂级数展开式
(19)设为椭球面
上的动点,若
在点处的
切线平面与
面垂直,求点
的轨迹
并计算曲面积分
其中
是椭圆球面位于曲线上方的部
分。
【解析】
求轨迹
令
故动点
的切平面的
法向量为
由切平面垂直
面,得
又已知为椭球面
上的动点,所以
为的轨迹
再计算曲面积分
因为曲线在
面的投影为
又对方程
两边分别对
求导可得
解之得
于是
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算
(20)设.已知线性方程组存在2个
不同的解
(I)求;
(II)求方程组的通解。
【解析】
(I)因为已知线性方程组存在2个不同的解,所以
故
知
当时,
显然,此时方程组无解,舍去,
当时,
因为有解,所以
即,
(II)
,
,
时,已知
所以的通解为
其中为任意常数。
【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组有解的充分
必要条件,非齐次线性方程组的通解
(21)已知二次型在正交变换
下的标准形
为
且的第三列为
(I)求矩阵;
(II)证明为正定矩阵,其中为3阶单位矩阵。
【解析】
(I)二次型在正交变换下的标准形为
,可知二次型矩阵的特征值是。
又因为的第三列为,可知是矩阵在特
征值的特征向量。
根据实对称矩阵,特征值不同特征向量相互正交,设关于
的特征向量为,
则,即
取
(II)由于矩阵的特征值是,那么的特征值为,因为
的特征值全大于,所以正定。
【考点】线性代数—二次型—二次型及其矩阵表示,二次型的秩,
二次型的标准形和规范形,二次型及其矩阵的正定性
(22)设二维随机变量的概率密度为
求常数及条件概率密度。
【解析】
又
即
当
等价于
时,
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维连续
型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度,常用二维随
机变量的分布
(23)设总体的概率分布为
其中参数未知,以表示来自总体的简单随机样本(样
本容量为)中等于的个数,试求常数使
为的无偏估计量,并求的方差。
【解析】
记,则
故
要令为的无偏估计量,则有
可得
,
此时为的无偏估计量
此时,,由于故
因为,,所以
【考点】概率论与数理统计—参数估计—估计量的评选标准,区间估计的概念,单个正态总体的均值和方差的区间估计
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