相交线与平行线教师版.docx
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相交线与平行线教师版
相交线与平行线
专题一相交线
知识点梳理
邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线。
∠3+∠4=180°
注意点:
⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;
⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
一、基础练习
1.如图1,直线AB、CD相交于点O,若∠1=28°,则∠2=_____.
2.如图2,O为直线AB上一点,过O作一射线OC使∠AOC=3∠BOC,则∠BOC=_____.
3.如图3,直线AB与CD相交于点O,若∠AOC+∠BOD=90°,则∠BOC=_____.
(图1)(图2)(图3)
4.下列说法中,正确的是()
A.有公共顶点的角是对顶角B.相等的角是对顶角
C.对顶角一定相等D.不是对顶角的角不相等
5.两条相交直线与另外一条直线在同一平面内,它们的交点个数是().
A.1B.2C.3或2D.1或2或3
6.如图,直线AB、CD相交于点O,OA平分∠EOC,并且∠EOC=70°,求∠BOD的度数.
7.如图,直线a,b,c两两相交,∠4=120°,∠2=∠3,求∠1的度数.
二、拓展探究
1.如图,AOE是一条直线,OB⊥AE,OC⊥OD,找出图中互补的角有多少对,分别是哪些?
2.如图,直线AB、CD、EF相交于点O,∠AOE=30°,∠BOC是∠AOC的2倍多30°,求∠DOF的度数.
三、难点透释
1.对顶角和邻补角都是指两个角之间的关系,即互为对顶角、互为邻补角;
2.对顶角相等,但相等的角却不一定是对顶角;邻补角是两角互补的特殊情况.
专题二垂线
知识梳理
1、垂线
⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
符号语言记作:
如图所示:
AB⊥CD,垂足为O
⑵垂线性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)
⑶垂线性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简称:
垂线段最短。
2、垂线的画法:
⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意:
①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。
画法:
⑴一靠:
用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:
移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画:
沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线。
3、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离
记得时候应该结合图形进行记忆。
如图,PO⊥AB,同P到直线AB的距离是PO的长。
PO是垂线段。
PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。
现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
一、基础练习
1.如图1,OA⊥OB,OD⊥OC,O为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________.
2.如图2,AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________.
3.如图3,AB、CD相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,则OE与AB的位置关系是_____.
4.下列说法正确的有()
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在平面内,过一点可以画一条直线垂直于已知直线;④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.到直线L的距离等于2cm的点有()
A.0个B.1个C.无数个D.无法确定
6.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为()
A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm
7.已知钝角∠AOB,点D在射线OB上.
(1)画直线DE⊥OB;
(2)画直线DF⊥OA,垂足为F.
8.如图,O是直线AB上一点,OD,OE分别是∠AOC与∠BOC的角平分线.试判断OD和OE的位置关系
二、拓展探究
1.如图,已知∠AOB=165°,AO⊥OC,DO⊥OB,OE平分∠COD.求∠COE的度数.
2.如图,直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70°,求∠DOG的度数.
三、难点透释
垂直是两条直线相交的特例,画已知直线的垂线可以画出无数条,但过一点画已知直线的垂线有且只有一条,垂足可能在所给图形的延长线上;过直线外一点的斜线段有无数条。
专题三同位角、内错角、同旁内角
知识点梳理
1、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图,直线
被直线
所截
①∠1与∠5在截线
的同侧,同在被截直线
的上方,
叫做同位角(位置相同)
②∠5与∠3在截线
的两旁(交错),在被截直线
之间(内),叫做内错角(位置在内且交错)
③∠5与∠4在截线
的同侧,在被截直线
之间(内),叫做同旁内角。
④三线八角也可以成模型中看出。
同位角是“A”型;内错角是“Z”型;同旁内角是“U”型。
2、如何判别三线八角
判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全。
例如:
1
如图,判断下列各对角的位置关系:
⑴∠1与∠2;⑵∠1与∠7;⑶∠1与∠BAD;⑷∠2与∠6;⑸∠5与∠8。
我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线),得到下列各图。
如图所示,不难看出∠1与∠2是同旁内角;∠1与∠7是同位角;∠1与∠BAD是同旁内角;∠2与∠6是内错角;∠5与∠8对顶角。
注意:
图中∠2与∠9,它们是同位角吗?
不是,因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成。
一、基础练习
1.如图1,AO⊥BC于O,则∠2与∠3是_____,∠1与∠4是_____,∠1与∠2是_____.
2.如图2,一对对顶角是_____与______,一对同位角是______与________,一对内错角是______与________.
3.如图3,∠ABD与∠CDB是直线_____与直线____被直线______所截形成的__________;∠CBD与∠ADB是直线_____与直线____被直线______所截形成的_________.
(图1)(图2)
4.如图4所示,下列说法错误的是()
A.∠A和∠B是同旁内角B.∠A和∠3是内错角
C.∠1和∠3是内错角D.∠C和∠3是同位角
5.已知∠1和∠2是同位角,则它们之间的关系是()
A.∠1=∠2B.∠1>∠2C.∠1<∠2D.无法确定
6.找出图中的同位角,内错角,同旁内角(仅限于用数字表示).
二、拓展探究
1.如图,同位角、内错角、同旁内角的对数依次是()
A.4对,4对,2对B.4对,4对,4对
C.6对,4对,4对D.以上判断都不对
2.如图,若以DC、AB为两条直线,那么第三条直线与这两条直线相交有几种可能?
都出现什么角?
请分别写出来.
三、难点透释
1.“三线八角”中,角与角之间的关系是位置关系,而不是大小关系;两角之间没有公共顶点,角的某一边一定是截线的一部分,三种角均成对出现;
2.同位角的特征:
两角在截线同旁,被截两线的同方向;内错角的特征:
两角在截线两侧,被截两线之间;同旁内角的特征:
两角在截线同旁,被截两线之间.
专题四平行线
知识点梳理
1、平行线的概念:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线
与直线
互相平行,记作
∥
。
2、两条直线的位置关系
在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:
⑴相交;⑵平行。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线)
判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:
①有且只有一个公共点,两直线相交;
②无公共点,则两直线平行;
③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线)
3、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
如左图所示,∵
∥
,
∥
∴
∥
注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会结论,这两条直线都平行。
一、基础练习
1.在同一平面内,若两条直线相交,则公共点的个数是________。
若两条直线平行,则公共点的个数是_________.
2.同一平面内的三条直线,其交点的个数可能为________.
3.直线L同侧有A,B,C三点,若过A,B的直线L1和过B,C的直线L2都与L平行,则A,B,C三点________,理论根据是.
4.在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是()毛
A.平行或相交B.垂直或相交C.垂直或平行D.平行、垂直或相交
5.在同一平面内有三条直线,若其中有且只有两条直线平行,则它们交点的个数为()
A.0个B.1个C.2个D.3个
6.下列说法正确的有()
①不相交的两条直线是平行线。
②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种。
③若线段AB与CD没有交点,则AB∥CD。
④若a∥b,b∥c,则a与c不相交.
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.根据下列要求画图.
(1)如图1所示,过点A画MN∥BC。
(2)如图2所示,过点C画CE∥DA,与AB交于点E,过点C画CF∥DB,与AB的延长线交于点F.
(图1)(图2)
8.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,过P点作AD的平行线交DC于Q点,则PQ与BC平行吗?
为什么?
二、拓展探究
1.平面内的1条直线可以把平面分成部分;
平面内的2条直线可以把平面分成部分;
平面内的3条直线可以把平面分成部分.
2.在平行线定义中我们强调了“在同一平面内”,没有这个限制行吗?
如果没有这个限制,你能猜想一下“两条直线之间有几种位置关系”吗?
请试一试.
三、难点透释
1.平行线是指两条直线,而不是线段或射线;虽然有时我们说两条线段或射线平行,实际上是指它们所在的直线平行;
2.平行公理中的“有且只有”指出了平行线的存在性(有)和唯一性(只有).
专题五平行线的判定
知识点梳理
1、两直线平行的判定方法
方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行
简称:
同位角相等,两直线平行
方法二 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行
简称:
内错角相等,两直线平行
方法三 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行
简称:
同旁内角互补,两直线平行
几何符号语言:
∵∠3=∠2
∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
∵∠1=∠2
∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
∵∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
请同学们注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,然后得出平行。
平行线的判定是写角相等,然后写平行。
注意:
⑴几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系,常由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。
上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”,判定两直线“平行”这种“位置关系”。
⑵根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有两种:
①如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行。
②如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。
一、基础练习
1.在同一平面内,直线a,b相交于P,若a∥c,则b与c的位置关系是.
2.不相邻的两个直角,如果它们有一边在同一直线上,那么另一边的位置关系是.
3.如图所示,BE是AB的延长线,量得∠CBE=∠A=∠C.
(1)由∠CBE=∠A可以判断___∥___,根据是_________________.
(2)由∠CBE=∠C可以判断___∥___,根据是_________________.
4.如图1所示,下列条件中,能判断AB∥CD的是()毛
A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD
(图1)(图2)(图3)
5.如图2所示,如果∠D=∠EFC,那么()
A.AD∥BCB.EF∥BCC.AB∥DCD.AD∥EF
6.如图3所示,能判断AB∥CE的条件是()
A.∠A=∠ACEB.∠A=∠ECDC.∠B=∠BCAD.∠B=∠ACE
7.如图,直线AB、CD被直线EF所截,∠1=∠2,直线AB和CD平行吗?
为什么?
二、拓展探究
8.如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗?
为什么?
9.如图所示,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,∠1+∠2=90°,那么,直线AB、CD的位置关系如何?
说明你的理由.
三、难点透释
1.涉及平行线的判定一定要先找准“三线八角”;
2.判定两条直线平行的方法有六种:
①平行线的定义;②平行线的传递性;③平行线的判定公理;④平行线的判定定理1;⑤平行线的判定定理2;⑥平行线的判定推论.
专题六平行线的性质
知识点梳理
1、平行线的性质:
性质1:
两直线平行,同位角相等;
性质2:
两直线平行,内错角相等;
性质3:
两直线平行,同旁内角互补。
几何符号语言:
∵AB∥CD
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥CD
∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)
∵AB∥CD
∴∠4+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)
2、两条平行线的距离
如图,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。
注意:
直线AB∥CD,在直线AB上任取一点G,过点G作CD的垂线段GH,则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。
一、基础练习
1.平面内互不重合的四条直线,若a∥b,a⊥c,b⊥d,则直线c、d的位置关系为.
2.如图1,AB∥EF,BC∥DE,则∠E+∠B的度数为________.
3.如图2,AD∥BC,∠B=30°,DB平分∠ADE,则∠DEC的度数为________.
(图1)(图2)(图3)(图4)(图5)
4.如图3,a∥b,a、b被c所截,得到∠1=∠2的依据是()
A.两直线平行,同位角相等B.两直线平行,内错角相等
C.同位角相等,两直线平行D.内错角相等,两直线平行
5.如图4,AB∥CD,那么()
A.∠1=∠4B.∠1=∠3C.∠2=∠3D.∠1=∠5
6.如图5,在平行四边形ABCD中,下列各式不一定正确的是()
A.∠1+∠2=180°B.∠2+∠3=180°C.∠3+∠4=180°D.∠2+∠4=180°
7.如图,AB∥CD,∠3:
∠2=3∶2,求∠1的度数
8.如图,AB∥CD,AE、DF分别是∠BAD、∠CDA的角平分线,AE与DF平行吗?
为什么?
二、拓展探究
9.如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐的角A是120°,第二次拐的角B是150°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,问∠C是多少度?
说明你的理由.
10.如图,若AB∥DE,∠B=135°,∠D=145°,你能求出∠C的度数吗?
三、难点透释
判定是由角的数量关系得直线的位置关系,性质是由直线的位置关系得角的数量关系.
专题七平行线的判定及性质习题课
知识点梳理
平行线的性质与判定
①平行线的性质与判定是互逆的关系
两直线平行 同位角相等;
两直线平行 内错角相等;
两直线平行 同旁内角互补。
其中,由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质。
一、基础练习
1.如图1所示,一条公路两次拐弯后和原来的方向相同,即拐弯前、后的两条路平行,若第一次拐角是145°,则第二次拐角为________.
2.如图2所示,AB∥CD,∠D=80°,∠CAD:
∠BAC=3:
2,则∠CAD=_______,∠ACD=_______.
3.如图3所示,AD∥BC,∠1=78°,∠2=40°,则∠ADC=.
(图1)(图2)(图3)(图4)
4.如图4所示,DE∥BC,CD平分∠ACB,∠B=72°,∠ACB=40°,那么∠BDC等于()
A.78°B.90°C.88°D.92°
5.下列说法:
①两条直线平行,同旁内角互补。
②同位角相等,两直线平行。
③内错角相等,两直线平行。
④垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是()
A.①B.②和③C.④D.①和④
6.若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相()
A.垂直B.平行C.重合D.相交
7.如图,
,
,
.试判断
与
的关系,并说明你的理由.
解:
BE∥CF.
理由:
∵
(已知)
∴_________=__________=90°()
∵
()
∴∠ABC-∠1=∠BCD-∠2,即∠EBC=∠BCF
∴________∥________()
8.如图,直线AD与AB、CD相交于A、D两点,EC、BF与AB、CD相交于E、C、B、F,如果∠1=∠2,∠B=∠C.求证:
∠A=∠D.
二、拓展探究
1.如图,若直线AB∥ED,你能推得∠B、∠C、∠D之间的数量关系吗?
请说明理由.
2.如图,AB//CD,试解决下列问题:
⑴∠1+∠2=_____;⑵∠1+∠2+∠3=_____;
⑶试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=.
专题八命题、定理
知识点梳理
命题:
⑴命题的概念:
判断一件事情的语句,叫做命题。
⑵命题的组成
每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。
命题常写成“如果……,那么……”的形式。
具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论。
有些命题,没有写成“如果……,那么……”的形式,题设和结论不明显。
对于这样的命题,要经过分析才能找出题设和结论,也可以将它们改写成“如果……,那么……”的形式。
注意:
命题的题设(条件)部分,有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述;命题的结论部分,有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。
一、基础练习
1.在下列命题中:
①相等的角是对顶角;②同角的余角相等;③等角的补角相等,其真命题是________.
2.命题“同角的余角相等”的题设是;结论是.
3.要判断一个命题是假命题,只要举一个_____例就行了;要判断一个命题是真命题,必须用推理的方法,也就是从题设出发,经过正确的推理,得出结论成立,才可以断定这个命题是_____命题
4.“两条直线相交,只有一个交点”的题设是()
A.两条直线B.相交C.只有一个交点D.两条直线相交
5.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例,正确的是()
A.∠1=80°,∠1的补角∠2=100°,∠2>∠1B.∠1=90°,∠1的补角∠2=90°,∠2=∠1
C.∠1=100°,∠1的补角∠2=80°,∠2<∠1D.140°角不小于它的补角40°
6.下列语句中:
①熊猫没有翅膀;②对顶角相等;③同位角相等;④连接AB两点;⑤两条直线相交有几个交点?
其中命题个数为().
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.举出反例说明下列命题是假命题.⑴大于90°的角是钝角;⑵相等的角是对顶角.
8.将下列命题改写成“如果……那么……”形式.
⑴同位角相等,两直线平行;⑵在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.
二、拓展探究
1.用几何符号语言表达“互为邻补角的平分线互相垂直”的题设与结论,并画出图形.
2.同一平面内的三条直线a,b,c给出下列五个论断:
⑴a∥b;⑵b∥c;⑶b⊥c;⑷a∥c;⑸a⊥c;以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个正确的命题并说明理由.
三、难点透释
1.命题是陈述句,它由题设和结论组成;命题有真有假.
专题九平移
知识点梳理
1、平移变换
①把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。
②新图形的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点
③连接各组对应点的线段平行且相等
2、平移的特征:
①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等,图形的形状与大小都没有发生变化。
②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等。
一、基础练习
1.在平移过程中,平移后的图形与原来的图形________和_________都相同,因此对应线段和对应角都________.
2.如图1所示,平移△ABC可得到△DEF,如果∠A=50°,∠C=60°,那么∠E=度,
∠EDF=_______度,∠F=______度,∠DOB=_______度.
3.如图2所示,长方体中,平移后能得到棱AA1的棱有________.
(图1)(图2)(图3)
4.如图3所示,△FDE经过怎样的平移可得到△ABC.()
A.沿射线EC的方向移动DB长。
B.沿射线EC的方向移动CD长
C.沿射线BD的方向移动BD长。
D.沿射线BD的方向移动DC长
5.在平移
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