中值定理与导数习题.docx
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中值定理与导数习题
习题3
一、填空题
1.设,则有_________个根,它们分别位于________
区间;
2.函数在上满足拉格朗日定理条件的;
3.函数与在区间上满足柯西定理条件的;
4.函数在上满足拉格朗日中值定理条件的;
5.;
6.;
7.;
8.函数的单调减区间是;
9.设在可导,则是在点处取得极值的条件;
10.函数在及取得极值,则;
11.函数的极小值是;
12.函数的单调增区间为;
13.函数的极小值点是;
14.函数在上的最大值为,最小值为;
14.函数在的最小值为;
15.设点是曲线的拐点,则;
16.曲线的下凹区间为,曲线的拐点为;
17.曲线的上凹区间为;
18.曲线的拐点为;
19.若是的四次多项式函数,它有两个拐点,并且在点处的切线平行于轴,那么函数的表达式是;
20.曲线的拐点为;
21.曲线的水平渐近线的方程是,垂直渐近线的方程是;
22.的垂直渐近线为;水平渐近线为;
23.曲线在的曲率;
24.曲线的曲率计算公式为;
25.抛物线在顶点处的曲率为;
二.单项选择题
1.罗尔定理中的三个条件;在上连续,在可导,且是在至少存在一点,使得成立的().
必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要
2.函数,则().
在任意闭区间上罗尔定理一定成立;在上罗尔定理不成立;
在上罗尔定理成立;在任意闭区间上,罗尔定理都不成立;
3.设函数在区间上连续,在开区间上可导,且,,则必有().
;;
4.下列函数在上满足拉格朗日中值定理条件的是().
;;;
5.函数,它在().
不满足拉格朗日中值定理的条件;
满足拉格朗日中值定理的条件,且;
满足中值定理的条件,但无法求出的表达式;
不满足中值定理条件,但有满足中值定理的结论.
6.若在开区间可导,且是任意两点,则至少存在一点使得下式成立().
;
7.设是的可导函数,是的任意两点,则().
在之间恰有一个,使得
在之间至少存在一点,使得
对于与之间的任一点,均有
8.若在开区间可导,且对任意两点恒有,则必有().
(常数)
9.已知函数,则方程有().
分别位于区间的三个根;
四个根,它们分别为;
四个根,分别位于
分别位于区间的三个根;
10.若为可导函数,为开区间一定点,而且有,则在闭区间上必总有().
11.若,则方程().
无实根有唯一实根有三个实根有重实根
12.若在区间上二次可微,且(),则方程在上().
没有实根有重实根有无穷多实根有且仅有一个实根
13.求极限时,下列各种方确的是().
用洛必达法则后,求得极限为0;
因为不存在,所以上述极限不存在;
原式=
因为不能用洛必达法则,故极限不存在;
14.设为未定型,则存在是也存在的().
必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要条件
15.若与可导,,且,则().
必有存在,且必有存在,且
如果存在,且如果存在,不一定有
16.函数在().
单调增加单调减少
单调增加,其余区间单调减少单调减少,其余区间单调增加
17.已知在上连续,在可导,且当时,有,又,则().
在上单调增加,且;
在上单调增加,且;
在上单调减少,且;
在上单调增加,但正负符号无法确定.
18.当时,有不等式()成立.
当时,当时
当时,当时
19.函数的图形,在().
处处是凸的;处处是凹的;
为凸的,在为凹的为凹的,在为凸的.
20.若在区间,函数的一阶导数,二阶导数,则函数在此区间是().
单调减少,曲线上凹;单调增加,曲线上凹;
单调减少,曲线下凹单调增加,曲线下凹.
21.曲线的凹凸区间是().
为其凹区间;为其凸区间;
当时,曲线是凸的,时是凹的;
当时,曲线是凹的,时是凸的;
22.曲线().
有一个拐点;有二个拐点;有三个拐点;无拐点;
23.若点为曲线的拐点,则().
必有存在且等于零;必有存在但不一定等于零;
如果存在,必等于零;如果存在,必不等于零.
24.设函数在处有,在处不存在,则().
及一定都是极值点;只有是极值点;
及都可能不是极值点;及至少有一个点是极值点.
25.曲线().
有极值点,但无拐点;有拐点,但无极值点;
是极值点,是拐点;既无极值点又无拐点.
26.若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值,则().
极大值一定是最大值,极小值一定是最小值;
极大值一定是最大值,或极小值一定是最小值;
极大值不一定是最大值,极小值不一定是最小值;
极大值必大于极小值.
27.函数在区间上的最小值为().
;0;1;无最小值.
28.指出曲线的渐近线().
没有水平渐近线,也没有斜渐近线;
为垂直渐近线,无水平渐近线;
既有垂直渐近线,又有水平渐近线;
只有水平渐近线.
29.曲线的渐近线有().
1条;2条;3条;4条;
30.设在可导,且对于任意,当时有,则().
对于任意;对于任意;
函数单调增加;函数单调增加.
31.设函数在上则或的大小顺序是().
;
;.
32.设有二阶连续导数,且,则().
是的极大值;是的极小值;
是曲线的拐点;
不是的极值,不是曲线的拐点.
33.在区间,方程().
无实根;有且仅有一个实根;有且仅有两个实根;有无穷多个实根
34.设时,与是同阶无穷小,则为().
1;2;3;4.
35.函数不可导点的个数是().
3;2;1;0.
36.设函数在的某个邻域连续,且为其极大值,则存在当时,必有()。
;;
37.函数在取得极值,则()。
0;;1;2。
38.下列曲线集邮水平渐近线,又有垂直渐近线的是()。
;;
;。
39.设为正整数,则()。
;1;0;
40.=()。
1;;;。
三.计算题
1.求下列极限:
;
2.求极限:
;
3.求极限:
;
4.求极限:
;
5.求极限:
;
6.求极限:
;
7.求极限:
;
8.求极限:
;
9.求极限:
;
10.求极限:
;
11.求极限:
;
12.求极限:
;
13.求极限:
;
14.求极限:
.
15.按(x-4)的幂展开多项式x4-5x3+x2-3x+4.
16.应用麦克劳林公式,按x幂展开函数f(x)=(x2-3x+1)3.
17.求函数按(x-4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式.
18..求函数按(x+1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式.
19..求函数f(x)=tanx的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式.
20.判定函数f(x)=arctanx-x单调性.
21.判定函数f(x)=x+cosx(0≤x≤2π)的单调性.
22.确定下列函数的单调区间:
y=2x3-6x2-18x-7;
23.确定下列函数的单调区间:
(x>0);
24.确定下列函数的单调区间:
;
25.确定下列函数的单调区间:
y=(x-1)(x+1)3;
26.确定下列函数的单调区间:
27.确定下列函数的单调区间:
y=xne-x(n>0,x≥0);
28.确定下列函数的单调区间:
y=x+|sin2x|.
29.判定下列曲线的凹凸性:
y=4x-x2;
30.判定下列曲线的凹凸性:
(x>0);
31.判定下列曲线的凹凸性:
y=xarctanx;
32..求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:
.y=x3-5x2+3x+5;
33.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:
y=xe-x;
34.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:
y=(x+1)4+ex;
35.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:
y=ln(x2+1);
36.试决定曲线y=ax3+bx2+cx+d中的a、b、c、d,使得x=-2处曲线有水平切线,(1,-10)为拐点,且点(-2,44)在曲线上.
37.试决定y=k(x2-3)2中k的值,使曲线的拐点处的法线通过原点.
38.求函数的极值:
y=2x3-6x2-18x+7;
39.求函数的极值:
y=x-ln(1+x);
40.求函数的极值:
;
41.求函数的极值:
;
42.求函数的极值:
y=excosx;
43.求函数的极值:
;
44.求函数的极值:
y=x+tanx.
45.试问a为何值时,函数在处取得极值?
它是极大值还是极小值?
并求此极值.
46.求下列函数的最大值、最小值:
y=2x3-3x2,-1≤x≤4;
47.问函数y=2x3-6x2-18x-7(1≤x≤4)在何处取得最大值?
并求出它的最大值.
48.问函数(x<0)在何处取得最小值?
49.问函数(x≥0)在何处取得最大值?
50.求椭圆4x2+y2=4在点(0,2)处的曲率.
51.求曲线y=lnsecx在点(x,y)处的曲率及曲率半径.
52.求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率及曲率半径.
53.求曲线x=acos3t,y=asin3t在t=t0处的曲率.
四.证明题
1.验证罗尔定理对函数y=lnsinx在区间上的正确性.
2.验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2+x-2在区间[0,1]上的正确性.
3.对函数f(x)=sinx及F(x)=x+cosx在区间上验证柯西中值定理的正确性.
4.不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数,说明方程f'(x)=0有几个实根,并指出它们所在的区间.
5.证明恒等式:
(-1≤x≤1).
6.若方程a0xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an-1x=0有一个正根x0,证明方程
a0nxn-1+a1(n-1)xn-2+⋅⋅⋅+an-1=0
必有一个小于x0的正根.
7.设a>b>0,n>1,证明:
nbn-1(a-b) 8.设a>b>0,证明: 9.证明下列不等式: (1)|arctana-arctanb|≤|a-b|; (2)当x>1时,ex>e⋅x. 10.证明方程x5+x-1=0只有一个正根. 11.证明下列不等式: 当x>0时,; 12.证明下列不等式: 当x>0时,; 13.证明下列不等式: 当时,sinx+tanx>2x; 14.证明下列不等式: 当时,; 15.设=0,证明多项式f(x)=a0+a1x+⋅⋅⋅+anxn在(0,1)至少有一个零点. 16.设f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)可导,且f(a)=0,证明存在一点ξ∈(0,a),使 f(ξ)+ξf'(ξ)=0.
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