学大精品讲义六上数学含答案第八讲工程问题一.docx
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学大精品讲义六上数学含答案第八讲工程问题一
第八讲工程问题
(一)
课程目标
1.工程问题中工作总量、工作时间、工作效率的意义的理解;
2.工程问题的工作总量、工作时间、工作效率三个数量关系的理解与运用;
3.工程问题中利用单位“1”表示工作总量的运用;
课程重点
运用工程问题的工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系解决问题。
课程难点
1.工程问题中工作总量、工作时间、工作效率三个数量关系的理解和运用;
2.工程问题中利用单位“1”表示工作总量的运用;
3.工程问题中的合作问题;工程问题中先单独做再合作的问题。
教学方法建议
1.工程问题往往关系复杂,题型多样,富于变化,所以要求我们认真审题,抓住关键,选择适合的方法。
2.研究这三种数量关系,在解题中要注意三种数量关系的对应关系。
即求谁的工
作时间,就要找它所对应的工作总量和它对应的工作效率。
(讲解、分析、比较、练习。
)
一.知识梳理
1.计算有关工程问题的工作总量、工作时间、工作效率的问题叫工程问题。
工程问题中有整数应用题和分
数应用题,它们讨论同样都是工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系。
2.工程问题的特点:
一般没有具体的工作总量,工作总量通常用单位“1”表示,用
1表示各单位
工作时间
的工作效率。
工作效率与完成工作总量所需时间互为倒数。
解工程问题应用题,一般都是围绕寻找工作效率的问题进行。
3.工程问题的基本数量关系式:
工作效率⨯工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间
总做总量÷工作时间=工作效率
工程问题主要是研究这三种数量关系,在解题中要注意三种数量关系的对应关系。
即求谁的工作时间,就要找它所对应的工作总量和它对应的工作效率。
4.工程问题有关注水和放水的问题,两开关齐开,研究的是工作效率的差。
工程问题往往关系复杂,题型多样,富于变化,所以要求我们认真审题,抓住关键,选择适合的方法。
二.方法归纳
工程问题是分数应用题的一种,这类问题的特点是一般不给出具体的工作总量,解题时常把工作总量看作单位1,工作问题作为一种典型应用题,具有特定的解题思路,实际生活中有许多题目可以用这种思考。
可以利用常见的数学思想方法,如代换法、比例法、列表法、方程法等.抛开“工作总量”和“时间”,
抓住题目给出的工作效率之间的数量关系,转化出与所求相关的工作效率,最后再利用先前的假设“把整
个工程看成一个单位”,求得问题答案.一般情况下,工程问题求的是时间.
基本思路:
以每人每天的工作量计算工作效率。
关键问题:
以工作效率为突破口,梳理工作的过程。
注意事项:
要找准单位“1”
三.课堂精讲
例1一项工程,甲单独完成需要3小时,乙单独完成需4小时,甲乙合作几小时完成这项工程的1?
2
【解题规律】能把工作总量看成单位“1”,找出工作效率,考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系,解答时要注意从问题出发,找出已知条件与所求问题之间的关系,再已知条件回到问题即可
解决问题。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
1.生产一批零件,甲单独做需要15天完成,乙单独做需要12天完成,丙单独做需要10天完成,如果甲、乙、丙三人合作,多少天完成?
2.一项工程,甲单独做需要20小时,乙单独做要30小时,两队合作10小时完成了工程的几分之几?
3.一件工作,甲单独完成需要8天,乙的工作效率是甲的2倍,两人同时合作,几天能完成这件工作?
3
4.
一件工作,甲单独做需要12天,乙的工作效率是甲的
4
4
,两个合做,几天能完成这件工作的?
5
例2有一份稿件,单独一个人打,甲要10小时完成,乙要8小时完成,两人合作2小时,打印了全稿的几分之几?
剩下的由甲单独打,还要多少小时?
【解题规律】理解工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系,解答时往往把工作总量看做单位“1”,再利用它们的数量关系解答。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
5.
一项工程,甲单独做8天完成,乙8天才可以完成这项工程的2,两队合作,几天可以完成?
3
6.一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成。
现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续完成,乙需要几天可以完成全部工作
例3一项工程,甲、乙两队合做,10天可以完成.如果甲队做4天,乙队做6天,共完成这项工程的.求甲队独做这项工程要多少天?
【解题规律】已知两人的共同效率及其中一个人的效率,求出另外一个人的效率,由此得出所要求的问题。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
7.一件工作,甲乙两人合作30天可以完成,他们共同做了6天后,甲离开了剩下的由乙继续做了40天才完成。
如果这件工作由甲或乙单独完成需要多少天?
8.某工程甲、乙、丙三个队合作4天完成,甲队单独做8天完成,乙队单独做需要12天完成,丙队单独做需要多少天?
9.某工程先由甲单独做63天,再由乙单独做28天即可完成。
如果由甲、乙两人合作,需48天完成。
现
在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么还需要多少天?
10.(2012年小联盟)甲做一项工程用18天就能单独完成,如果甲乙双方一起做,用6天就能完成工程的一半,求,乙方单独完成工程的话用多少天才行?
11.某项工作先有甲单独做45天,再由乙单独做18天可以完成,如果甲乙两人合作可30天内完成。
现由
甲先单做20天,然后再由乙来单独完成,还需要多少天。
例4广州市某大厦发生火灾后,需要再次装修。
由甲乙两个工程队一起装修,需要24天完成。
现由甲队先
盖6天,再由乙队盖2天,共盖了这间屋子的
3,如果这座大厦全部由甲队装修,需要多少天完成?
20
【解题规律】由两人所做的工程及所花时间、共同效率之间的关系,求出各自的效率,要正确理解这些关系,才能找出解题的突破口
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
12.某工程先由甲单独做40天,再由乙做28天就可以完成。
现在甲乙合作35天就完成了。
如果先由甲单
独做30天,再由乙接着做,乙还要工作多少天才能完成?
13.甲、乙两队合作15天可以完成一项工程,如果两队合作5天后,乙队在单独做12天,还剩下这项工程
的2没有完成,乙单独做完这项工程需要多少天?
5
例5(难度系数四颗星)甲乙两人做一项工程,如果全是晴天,甲需要12天,乙需要15天可以完成,雨天甲的工作效率比晴天减少40%,乙减少10%,两人同时开工,恰好同时完工,问工程中有多少个雨天?
1
,雨天时甲的工作效率就是
1
×(1﹣40%)=
1
;晴天时乙的工作效率是
1
12
12
20
15
解:
晴天时甲的工作效率是
雨天时乙的工作效率就是1×(1﹣10%)=
15
,
3.
50
日工作效率相比:
晴天甲比乙快1-1=
1215
1雨天甲比乙慢3-1
606020
=1
100
晴天甲比乙快出的
1,多少个雨天里就追过来了:
16060
÷1
100
=5(天)
3
即3个晴天的量5个雨天就追平了.6个晴天的量10个雨天就追平了.
验证6个晴天和10个雨天
1
×6+
1
×10=1乙:
1
×6+
3
12
20
15
50
甲:
×10=1
因为甲=乙所以工作中有10个雨天.
答:
工作中有10个雨天.
【解题规律】这种类型的题要注意分析单位1、效率、时间、总量的关系,把这项工作看成单位“1”,工作效率都用分数表示出来,求出晴天和雨天的工效比,看晴天甲比乙多做的工作量在雨天乙需要几天追
平.最后代入数据验证.找到符合条件的数据.难度较大。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】C
14.有甲乙两项工程,现分别由A、B两个施工队完成。
在晴天A施工队完成任务要12天,B施工队完成任务需要15天;在雨天,A施工队的工作效率要下降50%,B施工队的工作效率要下降25%。
最后两施工队同时开工并同时完工,在施工的日子里,雨天有多少天?
例6(2013•北京模拟)一件工作,甲、乙合作要4小时完成,乙、丙合作要5小时完成.现在先由甲、丙
合作2小时后,余下的乙还需6小时完成,乙单独做这件工作要几小时?
解:
可以理解成甲乙先合作2小时,乙丙再合作2小时,丙还做了6﹣2﹣2=2小时.
并2小时完成了1﹣
﹣
=
,
所以乙单独做这件工作要2÷
=20小时.
答:
乙单独做这件工作要20小时.
【解题规律】三人完成工作总量的类型,主要考查工作量、工作时间及工作效率之间的关系.
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
15.
一项工程甲单独做6天可以完成,乙单独做要用8天可以完成,丙先做三天,结果完成这项工程的1,
4
余下的由甲、乙、丙三人合作,还需要几天完成?
例7有一项工程,甲队单独作业需要10小时,乙队单独作业需要8小时,如果按照甲、乙,甲、乙,…的
顺序轮流工作,每人每次工作1小时,那么完成这项工作需要多长时间?
解:
1÷(
)4个循环后剩下的工作量,甲需要的时间:
1﹣(
)×4=
=1÷
=4(次)
剩下的工作量甲需要的时间是:
=1(小时).
完成这项工作需要的时间是:
4×2+1=9(小时).答:
完成这项工作需要9小时.
【解题规律】属于两人轮流做的工程问题,关键是求出循环的次数,然后再求循环完以后还需要的时间.
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
16.一件工程甲单独做要6小时完成,乙单独做要10小时完成。
如果按照甲乙、甲乙……的顺序交替工作,每次一小时,那么需要多少小时完成?
四.讲练结合题
1.一项工作,甲单独做20天可以完成,乙单独做30天可以完成,现在两人合做,用16天就完成了工作,
已知在这16天中甲休息了2天,乙休息了若干天.请问:
乙休息了多少天?
2.如果甲、乙两队合做一项工程,恰好24天完成;如果乙队先做5天,然后甲队来帮忙,又共同做了10天后,全部工程才完成了一半,请问:
甲队单独完成这项工程需要多少天?
3.一项工程,甲单独做要6小时完成,乙单独做要10小时完成.如果按甲、乙、甲、乙……的顺序交替
工作,每人工作1小时后交换,那么需要多少小时才能完成任务?
4.游泳池有甲、乙、丙三个注水管。
如果单开甲管需要20小时注满水池;甲、乙两管合开需要8小时注
满水池;乙、丙两管合开需要6小时注满水池。
那么,单开丙管需要多少小时注满水池?
五.课后自测练习
1.一项工程,计划5小时完成,实际4小时就完成了任务,工作效率提高了()。
1
B、
1
C、
1
20
5
4
A、D、无法确定
2.打一份稿件,甲单独打4小时完成,乙独单打5小时完成。
今甲乙合打2小时,正好打了90页。
(1)这份稿件共有多少页?
(2)两人共同打完这份稿件要用多少时间?
3.一项工程甲独做24小时完成,乙独做36小时完成。
现在要求20小时完成,并且两人合做的时间尽可能少。
那么,甲、乙合做了几个小时?
4.一个水池有两个排水管甲和乙,一个进水管丙.若同时开放甲、丙两管,20小时可将满池水排空;若同时开放乙、丙两水管,30小时可将满池水排空,若单独开丙管,60小时可将空池注满.若同时打开甲、乙、丙三水管,要排空水池中的满池水,需几小时?
5.一项工程,甲独做要12天,乙独做要16天,丙独做要20天,如果甲先做了3天,丙又做了5天,其余的由乙去做,还要几天?
6.一个水池,单独开甲进水管需10小时将它注满,单独开乙进水管需12小时将它注满,单独开丙放水管需30小时放完一池水,问同时开放三管,多少小时将空池注满?
7.一项工程,甲队单独做15天完成,乙队独做好10天完成。
甲乙合作若干天后,乙队因另有任务调走,
从开始到完成任务,甲队工作了9天。
乙队比甲队少工作几天?
8.一件工作,甲单独做需要20天完成,乙单独需要12天完成。
这件工作先由甲做了若干天后,然后由乙
继续做完,从开始到完工共用14天。
这件工作先由甲独做了几天?
9.抄一份书稿,甲每天的工作效率等于乙、丙两人每天工作效率的和;丙的工作效率相当于甲、乙每天工
1
作效率和的
5
;如果三人合抄只需要8天就完成了,那么乙一人单独抄需要多少天?
第八讲工程问题
(一)【答案】
111
例1.解:
÷(+)
234
17
=÷
212
6
=
7
6
答:
甲乙合作
7
1
小时能够完成这项工程的。
2
【搭配课堂训练题】
111
1.解:
1÷(++)
151210
15
=1÷
60
=4(天)
答:
甲乙丙三人合作,4天完成。
11
2.解:
(+
2030
)×10
1
=
20
1
×10+
30
×10
11
=+
23
5
=
6
5
答:
两队合作10小时完成了工程的。
6
1
3.解:
1÷(
8
18
+×2)=
83
8
答:
3
天能完成这件工作。
4
4.解:
5
113
÷(+×
12124
17
)=5天
35
17
答:
5
35
4
天能完成这件工作的。
5
1
例2.(
10
19
+)×2=
820
91
(1-)÷
2010
11
=(小时)
2
11
答:
剩下的由甲单独打,还要
2
小时。
【搭配课堂训练题】
12
5.1÷(+
83
4
÷8)=4
5
(天)
4
答:
4
5
天可以完成。
1
6.(1-
9
1
×3)÷
6
=4(天)
答:
乙需要4天可以完成全部工作。
71
例3.乙:
(-
1510
1
×4)÷(6-4)=
30
1
1÷(
10
1
-)=15(天)
30
答:
甲队独做这项工程要15天。
【搭配课堂训练题】
1
7.乙:
(1-
30
1
×6)÷40=
50
1
1÷
50
=50(天)
11
甲:
1÷(-
3050
)=75(天)
答:
如果这件工作由甲或乙单独完成需要75天。
1
8.1÷(
4
11
--
812
)=24(天)
答:
丙队单独做需要24天。
7
9.28÷48=
12
75
1-=
1212
5
甲:
12
1
÷(63-28)=
84
乙:
11
-
4884
1
=
112
1
(1-
84
×42)÷
1
112
=56(天)
答:
甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么还需要56天。
1
10.
6
11
-=
189
1
1÷
9
=9(天)
答:
乙方单独完成工程的话用9天才行。
1
11.解:
设甲需要x天,则乙需要(
30
-x)天;
1
45x+18×(
30
-x)=1
x=
2
135
(1-
2
135
1
×20)÷(
30
2
-
135
)=38(天)
答:
甲先单做20天,然后再由乙来单独完成,还需要38天。
1
例4.解:
设甲需要x天,则乙需要(
24
-x)天;
1
6x+2(
24
3
-x)=
20
1
x=
60
111
-=
246040
1
1÷
60
=60(天)
答:
乙需要60天。
【搭配课堂训练题】
1
12.解:
设甲工作x天,则乙工作(
35
-x)天;
1
40x+(
35
-x)×28=1
1
x=
60
111
-=
356084
11
×30=
602
11
(1-)÷
284
=42(天)
答:
乙还要工作42天才能完成。
1
13.12÷(1-
15
2
×5-
5
)=45(天)
答:
乙单独做完这项工程需要45天。
例5:
【搭配课堂训练题】
1.解:
设晴天x天,雨天y天;
11
×(1-50%)=
1224
11
×(1-25%)=
1520
11
x+
1224
y=1
11
x+
1520
y=1解得:
x=6,y=12
答:
在施工的日子里,雨天有12天。
例6.【搭配课堂训练题】
14.(1-)=2(天)
答:
余下的由甲、乙、丙三人合作,还需要2天完成。
例7.【搭配课堂训练题】
11
1÷(+
610
3
)=3
4
(小时)
111
1-(+)=
6105
111
÷=1
565
(小时)
111
(-)÷
5610
1
=(小时)
3
1
3+3+31+
3
1
=7(小时)
3
1
答:
每次一小时,那么需要7
3
小时完成。
四、讲练结合题
1.解:
设乙休息了x天;
11
×(16-2)+
2030
×(16-x)=1
x=7答:
乙休息了7天。
11
2.(-
224
1
×10)÷5=
60
1
1÷(
24
1
-)=40(天)
60
答:
甲单独完成这项工程需要40天。
11
3.1÷(+
610
3
)=3
4
小时
11
1-(+
610
1
)×3=
5
111
÷=1
565
小时
1
(
5
11
-)÷
610
1
=小时
3
1
3+3+1+
3
1
=7小时
3
1
答:
每人工作1小时后交换,那么需要7
3
小时才能完成任务。
1
4.乙:
8
13
-=
2040
13
丙:
-
640
11
=
120
1÷
11
120
120
=
11
(小时)
答:
单开丙管需要
120
11
小时注满水池。
五.课后自测练习1.C
1
2.
(1)
4
19
+=
520
99
×2=
2010
9
90÷
10
=100(页)
答:
这份稿件共有100页;
9
(2)1÷=
20
20
(小时)
9
20
答:
两人共同打完这份稿件要用
9
小时。
15
3.×20=
246
51
1-=
66
11
÷
636
=6(小时)
答,甲、乙合做了6个小时。
1
4.甲:
+
60
11
=
2015
111
乙:
+=
603020
11
1÷(+-
1520
1
)=10(小时)
60
答:
需要10小时。
11
5.×3=
124
11
×=
204
111
1--=
442
11
÷
216
=8(天)
答:
还要8天。
1
6.1÷(
10
11
+-
1230
20
)=(小时)
3
20
答:
同时开放三管,
3
小时将空池注满。
13
7.×9=
155
31
(1-)÷
510
=4(天)
9-4=5(天)
答:
乙队比甲队少工作5天。
8.解:
设甲单独做了x天,则乙做了(14-x)天;
11
x+
2012
(14-x)=1
x=5
答:
这件工作先由甲独做了5天。
9.方法一:
1
解:
设甲要x天,乙要y天,则甲的功效为
x
1
,乙的功效为
y
11
,丙的功效为-;
xy
11111
-=(+)
xy5xy
1111
(++-
xyxy
)×8=1
解得x=16y=24
答:
乙一人单独抄需要24天。
方法二:
1
三人合作的效率为:
8
1
甲的效率为:
8
1
÷2=
16
丙:
(甲+乙)=1:
5
111
丙:
×=
8648
11
乙的效率:
-
816
11
-=
4824
1
1÷
24
=24(天)
答:
乙一人单独抄需要24天。
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