初一期末.docx
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初一期末.docx
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初一期末
一.解答题(共12小题)
1.(2014春•江都市期末)
(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”,请说明∠A+∠B=∠C+∠D;
(2)阅读下面的内容,并解决后面的问题:
如图2,AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,求∠P的度数;
①如图3,直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,求∠P的度数;
②在图4中,直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、∠D的关系,直接写出结论,无需说明理由.
③在图5中,AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、∠D的关系,直接写出结论,无需说明理由.
2.(2014春•江阴市期末)如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠AOC=60°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2,使一边OM在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC,求∠CON的度数;
(2)将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为 秒(直接写出结果);
(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3,使ON在∠AOC的内部,请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系,并说明理由.
3.(2014春•麦积区校级期末)如图1,∠ABC的平分线和外角∠ACD的平分线相交于O1点.若∠BAC=40°.
(1)求∠BO1C的度数;
(2)如图2,在
(1)的条件下,再画∠O1BC和∠O1CD的角平分线相交于O2点,求∠BO2C的度数;
(3)若∠BAC=n°,按上述规律继续画下去,请直接写出∠BO2014C的度数.
4.(2014春•相城区期末)第一中学组织七年级部分学生和老师到苏州乐园开展社会实践活动,租用的客车有50座和30座两种可供选择.学校根据参加活动的师生人数计算可知:
若只租用30座客车x辆,还差5人才能坐满;
(1)则该校参加此次活动的师生人数为 (用含x的代数式表示);
(2)若只租用50座客车,比只租用30座客车少用2辆,求参加此次活动的师生至少有多少人?
(3)已知租用一辆30座客车往返费用为400元,租用一辆50座客车往返费用为600元,学校根据师生人数选择了费用最低的租车方案,总费用为2200元,试求参加此次活动的师生人数.
5.(2014春•相城区期末)我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一,所谓“作差法”:
就是通过作差、变形,并利用差的符号来确定它们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M﹣N,若M﹣N>0,则M>N.若M﹣N=0,则M=N.若M﹣N<0,则M<N.请你用“作差法”解决以下问题:
(1)如图,试比较图①、图②两个矩形的周长C1、C2的大小(b>c);
(2)如图③,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形,试比较两个小正方形的面积之和S1与两个矩形面积之和S2的大小.
6.(2014春•太仓市期末)如图:
在长方形ABCD中,AB=CD=4cm,BC=3cm,动点P从点A出发,先以1cm/s的速度沿A→B,然后以2cm/s的速度沿B→C运动,到C点停止运动,设点P运动的时间为t秒,是否存在这样的t,使得△BPD的面积S>3cm2?
如果能,请求出t的取值范围;如果不能,请说明理由.
7.(2011•河南)某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动,收费标准如下:
人数m
0<m≤100
100<m≤200
m>200
收费标准(元/人)
90
85
75
甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动.已知甲校报名参加的学生人数多于100人,乙校报名参加的学生人数少于100人.经核算,若两校分别组团共需花费20800元,若两校联合组团只需花费18000元.
(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗?
为什么?
(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人?
8.(2006•大兴安岭)某公司经营甲、乙两种商品,每件甲种商品进价12万元,售价14.5万元;每件乙种商品进价8万元,售价10万元,且它们的进价和售价始终不变.现准备购进甲、乙两种商品共20件,所用资金不低于190万元,不高于200万元.
(1)该公司有哪几种进货方案?
(2)该公司采用哪种进货方案可获得最大利润?
最大利润是多少?
(3)若用
(2)中所求得的利润再次进货,请直接写出获得最大利润的进货方案.
9.(2014春•东海县校级期末)乘法公式的探究及应用
(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式);
(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个矩形,面积是 (写成多项式乘法的形式);
(3)比较图1、图2阴影部分的面积,可以得到公式 ;
(4)运用你所得到的公式,计算:
(a+b﹣2c)(a﹣b+2c).
10.(2013春•龙岗区期末)已知∠AOB=90°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合,它的两条直角边分别与OA、OB相交于点D、E.
(1)如图1,当CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,求证:
CD=CE.
(2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,在图2这种情况下,上述结论是否还成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请写出你的猜想,不需证明.
11.(2014春•沙河市期末)阅读材料并解决问题:
我们已经知道完全平方公式可以用平面几何图形拼图来表示面积,实际上还有一些多项式乘法也可以用这种拼图形式来表示结果,例如:
(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2就可以用图甲中的①、②、③表示图乙或图丙图形的面积.
(1)请你写出图丁所表示的整式乘法及其结果;
(2)画出一个几何图形,使它的面积能表示:
(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2【注意要在图中标出①②③】
(3)请仿照上述方法另写一个含有a、b的整式乘法及其结果,并画出与之相应的几何图形.
12.(2014春•嘉峪关校级期末)在我市中小学标准化建设工程中,某学校计划购进一批电脑和电子白板,经过市场考察得知,购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元,购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.
(1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元?
(2)根据学校实际,需购进电脑和电子白板共30台,总费用不超过30万元,但不低于28万元,该校有几种购买方案?
(3)上面的哪种方案费用最低?
按费用最低方案购买需要多少钱?
一.解答题(共12小题)
1.(2014春•江都市期末)
(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”,请说明∠A+∠B=∠C+∠D;
(2)阅读下面的内容,并解决后面的问题:
如图2,AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,求∠P的度数;
①如图3,直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,求∠P的度数;
②在图4中,直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、∠D的关系,直接写出结论,无需说明理由.
③在图5中,AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、∠D的关系,直接写出结论,无需说明理由.
考点:
三角形内角和定理;三角形的外角性质.菁优网版权所有
分析:
(1)根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证;
(2)根据角平分线的定义可得∠1=∠2,∠3=∠4,再根据
(1)的结论列出整理即可得解;
①表示出∠PAD和∠PCD,再根据
(1)的结论列出等式并整理即可得解;
②根据四边形的内角和等于360°可得(180°﹣∠1)+∠P+∠4+∠B=360°,∠2+∠P+(180°﹣∠3)+∠D=360°,然后整理即可得解;
③根据
(1)的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD,∠PAD+∠P=∠D+∠PCD,然后整理即可得解.
解答:
解:
(1)在△AOB中,∠A+∠B+∠AOB=180°,
在△COD中,∠C+∠D+∠COD=180°,
∵∠AOB=∠COD,
∴∠A+∠B=∠C+∠D;
(2)如图2,∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠2+∠B=∠3+∠P,
∠1+∠P=∠4+∠D,
∴2∠P=∠B+∠D,
∴∠P=
(∠B+∠D)=
×(36°+16°)=26°;
①如图3,∵AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠PAD=180°﹣∠2,∠PCD=180°﹣∠3,
∵∠P+(180°﹣∠1)=∠D+(180°﹣∠3),
∠P+∠1=∠B+∠4,
∴2∠P=∠B+∠D,
∴∠P=
(∠B+∠D)=
×(36°+16°)=26°;
②如图4,∵AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴(180°﹣2∠1)+∠B=(180°﹣2∠4)+∠D,
在四边形APCB中,(180°﹣∠1)+∠P+∠4+∠B=360°,
在四边形APCD中,∠2+∠P+(180°﹣∠3)+∠D=360°,
∴2∠P+∠B+∠D=360°,
∴∠P=180°﹣
(∠B+∠D);
③如图5,∵AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵(∠1+∠2)+∠B=(180°﹣2∠3)+∠D,
∠2+∠P=(180°﹣∠3)+∠D,
∴2∠P=180°+∠D+∠B,
∴∠P=90°+
(∠B+∠D).
点评:
本题考查了三角形的内角和定理,角平分线的定义,准确识图并运用好“8字形”的结论,然后列出两个等式是解题的关键,用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观.
2.(2014春•江阴市期末)如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠AOC=60°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2,使一边OM在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC,求∠CON的度数;
(2)将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为 12或30 秒(直接写出结果);
(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3,使ON在∠AOC的内部,请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系,并说明理由.
考点:
角的计算;角平分线的定义;三角形内角和定理.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
(1)由角的平分线的定义和等角的余角相等求解;
(2)由∠BOC=120°可得∠AOC=60°,则∠AON=30°或∠NOR=30°,即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC,据此求解;
(3)因为∠MON=90°,∠AOC=60°,所以∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON,然后作差即可.
解答:
解:
(1)已知∠AOC=60°,
∴∠BOC=120°,
又OM平分∠BOC,
∠COM=
∠BOC=60°,
∴∠CON=∠COM+90°=150°;
(2)延长NO,
∵∠BOC=120°
∴∠AOC=60°,
当直线ON恰好平分锐角∠AOC,
∴∠AOD=∠COD=30°,
即顺时针旋转300°时NO延长线平分∠AOC,
由题意得,10t=300°
∴t=30,
当NO平分∠AOC,
∴∠NOR=30°,
即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC,
∴10t=120°,
∴t=12,
∴t=12或30;
(3)∵∠MON=90°,∠AOC=60°,
∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON,
∴∠AOM﹣∠NOC=(90°﹣∠AON)﹣(60°﹣∠AON)=30°,
所以∠AOM与∠NOC之间的数量关系为:
∠AOM﹣∠NOC=30°.
点评:
此题考查了角的计算,关键是应该认真审题并仔细观察图形,找到各个量之间的关系,是解题的关键.
3.(2014春•麦积区校级期末)如图1,∠ABC的平分线和外角∠ACD的平分线相交于O1点.若∠BAC=40°.
(1)求∠BO1C的度数;
(2)如图2,在
(1)的条件下,再画∠O1BC和∠O1CD的角平分线相交于O2点,求∠BO2C的度数;
(3)若∠BAC=n°,按上述规律继续画下去,请直接写出∠BO2014C的度数.
考点:
三角形内角和定理;三角形的外角性质;角平分线的性质.菁优网版权所有
专题:
规律型.
分析:
(1)根据∠O1CD=∠O1+∠O1BC,∠ACD=∠ABC+∠A,得出O1B、O1C分别平分∠ABC和∠ACD,得到∠ACD=2∠O1CD,∠ABC=2∠O1BC,于是得出∠A=2∠BO1C,从而得出答案;
(2)(3)根据
(1)的过程同理可得∠BO1C=2∠BO2C,因此找出规律,即可得出答案.
解答:
解:
(1)∵O1B、O1C分别平分∠ABC和∠ACD,
∴∠ACD=2∠O1CD,∠ABC=2∠O1BC,
∵∠O1CD=∠BO1C+∠O1BC,∠ACD=∠ABC+∠A,
∴∠A=2∠BO1C=40°,
∴∠BO1C=20°;
(2)根据
(1)可得:
∠BO1C=2∠BO2C,
即∠A=22∠BO2C=40°,
∴∠BO2C=10°,
(3)根据
(2)可得:
∠A=2n∠An,
∴∠An=n°×(
)n.
则∠BO2014C=(
)2014•n°
点评:
本题考查了三角形的内角和定理:
三角形的内角和为180°;用到的知识点是三角形的内角和、三角形的外角性质以及角平分线性质.
4.(2014春•相城区期末)第一中学组织七年级部分学生和老师到苏州乐园开展社会实践活动,租用的客车有50座和30座两种可供选择.学校根据参加活动的师生人数计算可知:
若只租用30座客车x辆,还差5人才能坐满;
(1)则该校参加此次活动的师生人数为 30x﹣5 (用含x的代数式表示);
(2)若只租用50座客车,比只租用30座客车少用2辆,求参加此次活动的师生至少有多少人?
(3)已知租用一辆30座客车往返费用为400元,租用一辆50座客车往返费用为600元,学校根据师生人数选择了费用最低的租车方案,总费用为2200元,试求参加此次活动的师生人数.
考点:
一元一次不等式的应用;二元一次方程的应用.菁优网版权所有
分析:
(1)若只租用30座客车x辆,还差5人才能坐满,说明了人数与客车数的关系.人数=客车数的30倍﹣5;
(2)若只租用50座客车,比只租用30座客车少用2辆,据此列出不等式,求出x的最小值,继而求得师生的最少人数;
(3)设租用30座客车a辆,50座客车b辆,根据总费用为2200元,求出a和b的值,找出费用最低的租车方案,然后求出师生总人数.
解答:
解:
(1)由题意得,该校参加此次活动的师生人数为:
30x﹣5,
故答案为:
30x﹣5;
(2)由题意得,50(x﹣2)≥30x﹣5,
解得:
x≥
,
∵当x越小时,参加活动的师生就越少,且x为整数,
∴当x=5时,参加的师生最少,为30×5﹣5=145人;
(3)设租用30座客车a辆,50座客车b辆,
则400a+600b=2200,
∵a、b为整数,
∴
或
,
当
时,能乘坐的最多人数为180人,
当
时,能乘坐的人数为170人,
∵参加此次活动的师生人数为30x﹣5,且x为整数,
∴当x<6时,与“根据师生人数选择租车方案”不符合,
当x=6时,参加的师生为175人,符合题意,
当x>6时,人数超过180人,不符合题意.
答:
参加此次活动的师生人数为175人.
点评:
本题考查一元一次不等式的应用,将现实生活中的事件与数学思想联系起来,读懂题列出不等式关系式即可求解.注意此题分类讨论的数学思想.
5.(2014春•相城区期末)我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一,所谓“作差法”:
就是通过作差、变形,并利用差的符号来确定它们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M﹣N,若M﹣N>0,则M>N.若M﹣N=0,则M=N.若M﹣N<0,则M<N.请你用“作差法”解决以下问题:
(1)如图,试比较图①、图②两个矩形的周长C1、C2的大小(b>c);
(2)如图③,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形,试比较两个小正方形的面积之和S1与两个矩形面积之和S2的大小.
考点:
整式的混合运算.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
(1)根据图形表示出两个矩形的周长C1、C2,利用作差法比较即可;
(2)根据图形表示出两个小正方形的面积之和S1与两个矩形面积之和S2,利用作差法比较即可.
解答:
解:
(1)由图形得:
C1=2(a+b+c+b)=2a+4b+2c;
C2=2(a﹣c+b+3c)=2a+2b+4c,
C1﹣C2=2a+4b+2c﹣2a﹣2b﹣4c=2(b﹣c),
∵b>c,
∴2(b﹣c)>0,
则C1>C2;
(2)由图形得:
S1=a2+b2;S2=2ab,
∴S1﹣S2=a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2>0,
∴S1>S2.
点评:
此题考查了整式的混合运算,弄清题意是解本题的关键.
6.(2014春•太仓市期末)如图:
在长方形ABCD中,AB=CD=4cm,BC=3cm,动点P从点A出发,先以1cm/s的速度沿A→B,然后以2cm/s的速度沿B→C运动,到C点停止运动,设点P运动的时间为t秒,是否存在这样的t,使得△BPD的面积S>3cm2?
如果能,请求出t的取值范围;如果不能,请说明理由.
考点:
一元一次不等式组的应用.菁优网版权所有
专题:
动点型.
分析:
分两段考虑:
①点P在AB上,②点P在BC上,分别用含t的式子表示出△BPD的面积,再由S>3cm2建立不等式,解出t的取值范围值即可.
解答:
解:
①当点P在AB上时,假设存在△BPD的面积满足条件,即运动时间为t秒,则
S△BPD=
(4﹣t)×3=
(4﹣t)>3
解得t<2,
又因为P在AB上运动,0≤t≤4,
所以0≤t<2;
②当点P在BC上时,假设存在△BPD的面积满足条件,即运动时间为t秒,则
S△BPD=
(4﹣t)×2×4=4t﹣16>3
解得t>
,
又因为P在BC上运动,4<t≤5.5,
所以
<t≤5.5;
综上所知,存在这样的t,使得△BPD的面积满足条件,此时0≤t<2;
<t≤5.5.
点评:
此题考查一元一次不等式组的实际运用,注意结合动点问题,利用面积解决问题.
7.(2011•河南)某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动,收费标准如下:
人数m
0<m≤100
100<m≤200
m>200
收费标准(元/人)
90
85
75
甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动.已知甲校报名参加的学生人数多于100人,乙校报名参加的学生人数少于100人.经核算,若两校分别组团共需花费20800元,若两校联合组团只需花费18000元.
(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗?
为什么?
(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人?
考点:
二元一次方程组的应用.菁优网版权所有
专题:
方程思想.
分析:
(1)由已知分两种情况讨论,即a>200和100<a≤200,得出结论;
(2)根据两种情况的费用,即x>200和100<x≤200分别设未知数列方程组求解,讨论得出答案.
解答:
解:
(1)这两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人,理由为:
设两校人数之和为a,
若a>200,则a=18000÷75=240;
若100<a≤200,则a=18000÷85=211
>200,不合题意,
则这两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240人,超过200人.
(2)设甲学校报名参加旅游的学生有x人,乙学校报名参加旅游的学生有y人,则
①当100<x≤200时,得
解得
(6分)
②当x>200时,得
解得
不合题意,舍去.
答:
甲学校报名参加旅游的学生有160人,乙学校报名参加旅游的学生有80人.
点评:
此题考查的是二元一次方程组的应用,关键是把不符合题意的结论舍去.
8.(2006•大兴安岭)某公司经营甲、乙两种商品,每件甲种商品进价12万元,售价14.5万元;每件乙种商品进价8万元,售价10万元,且它们的进价和售价始终不变.现准备购进甲、乙两种商品共20件,所用资金不低于190万元,不高于200万元.
(1)该公司有哪几种进货方案?
(2)该公司采用哪种进货方案可获得最大利润?
最大利润是多少?
(3)若用
(2)中所求得的利润再次进货,请直接写出获得最大利润的进货方案.
考点:
一元一次不等式的应用.菁优网版权所有
专题:
应用题;压轴题;方案型.
分析:
(1)关系式为:
190≤甲种商品总进价+乙种商品总进价≤200,根据此不等关系列不等式组求解即可;
(2)利润=甲种商品数量×(14.5﹣12)+乙种商品数量×(10﹣8),整理后按
(1)中自变量的取值算出最大利润;
(3)用最大利润45万元来进货,用最大利润进货,没有总件数限制,但要考虑尽量把钱用完.分以下五种情况讨论,通过计算比较即可.①全进甲,能购买3件;②全进乙,能购买5件;③甲进1件,同时乙进4件;④甲进2件,同时乙进2件;⑤甲进3件,同时乙进1件.
解答:
解:
(1)设购进甲种商品x件,乙种商品(20﹣x)件,根据题意得
190≤12x+8(20﹣x)≤200,
解得7.5≤x≤10,
∵x为非负整数,
∴x取8,9,10,
有三种进货方案:
①购甲种商品8件,乙种商品12件;
②购甲种商品9件,乙种商品11件;
③购甲种商品10件,乙种商品10件.
(2)设利润为w元,
则w=x×(14.5﹣12)+(20﹣x)×(10﹣8)=0.5x+40,
∴购甲种商品10件,乙种商品10件时,可获得最大利润,最大利润是45万元.
(3)①全进甲,能购买3件,利润为(14.5﹣12)×3=7.5万元;
②全进乙,能购买5件,利润为(10﹣8)×5=10万元;
③甲进1件,同时乙进4件,利润为(14.5﹣12)×1+(10﹣8)×4=10.5万;
④甲进2件,同时乙进2件,利润为2.5×2+2×2=9万元;
⑤甲进3件,同时乙进1件,利润为2.5×3+2×1=9.5万元;
所以购甲种商品1件,乙种商品4件时,可获得最大利润为10.5万元.
点评:
解决本题的关键是读懂题意,找到符合题意的不等关系式,及
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