对数与对数函数经典例题doc.docx
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对数与对数函数经典例题doc.docx
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对数与对数函数经典例题doc
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经典例题透析
类型一、指数式与对数式互化及其应用
1.将下列指数式与对数式互化:
(1)
;
(2)
;(3)
;(4)
;(5)
;(6)
.
思路点拨:
运用对数的定义进行互化.
解:
(1);
(2);(3);(4);(5);
(6).
总结升华:
对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.
举一反三:
【变式1】求下列各式中x的值:
(1)
(2)(3)lg100=x(4)
思路点拨:
将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.
解:
(1);
(2)
;
(3)10x=100=102,于是x=2;
(4)
由
.
类型二、利用对数恒等式化简求值
2.求值:
解:
.
总结升华:
对数恒等式中要注意格式:
①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③其值为真数.
举一反三:
【变式1】求的值(a,b,c∈R+,且不等于1,N>0)
思路点拨:
将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算.
解:
.
类型三、积、商、幂的对数
3.已知lg2=a,lg3=b,用a、b表示下列各式.
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(1)lg9
(2)lg64(3)lg6(4)lg12(5)lg5(6)lg15
解:
(1)
2
6
原式=lg3=2lg3=2b
(2)
原式=lg2=6lg2=6a
(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)
原式=lg22+lg3=2a+b
(5)原式=1-lg2=1-a(6)
原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a
举一反三:
【变式
1】求值
(1)
(2)lg2·lg50+(lg5)
2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)
2
解:
(1)
(2)
原式=lg2(1+lg5)+(lg5)
2=lg2+lg2lg5+(lg5)
2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
(3)
原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)
2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)
2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
【变式2】已知3a=5b=c,,求c的值.
解:
由3a=c得:
同理可得
.
【变式3】设a、b、c为正数,且满足a2+b2=c2.求证:
.
证明:
.
【变式
4】已知:
a2+b2=7ab,a>0,b>0.
求证:
.
证明:
∵a2+b2=7ab,∴a2+2ab+b2=9ab,即(a+b)∵a>0,b>0,∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb
2=9ab,∴lg(a+b)2=lg(9ab)
∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb
,
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即.
类型四、换底公式的运用
4.
(1)已知logxy=a,用a表示;
(2)已知logax=m,logbx=n,logcx=p,求logabcx.
解:
(1)原式=;
(2)思路点拨:
将条件和结论中的底化为同底.
方法一:
am=x,bn=x,cp=x
∴,
∴;
方法二:
.
举一反三:
【变式1】求值:
(1)
;
(2)
;(3)
.
解:
(1)
(2);
(3)法一:
法二:
.
总结升华:
运用换底公式时,理论上换成以大于0不为
某个对数的底为标准,或都换成以10为底的常用对数也可.
1任意数为底均可,但具体到每一个题,一般以题中
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类型五、对数运算法则的应用
5.求值
(1)log89·log2732
(2)
(3)
(4)(log
2
125+log25+log
8
5)(log
8+log
25
4+log
5
2)
4
125
解:
(1)原式=.
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)
举一反三:
【变式1】求值:
解:
另解:
设=m(m>0).∴,
∴,∴,
∴lg2=lgm,∴2=m,即.
【变式2】已知:
log23=a,log37=b,求:
log4256=?
解:
∵∴,
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类型六、函数的定义域、值域
求含有对数函数的复合函数的定义域、值域,其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似,但要注意对数
函数本身的性质(如定义域、值域及单调性)在解题中的重要作用.
6.求下列函数的定义域:
(1);
(2).
思路点拨:
由对数函数的定义知:
x2>0,4-x>0,解出不等式就可求出定义域.
解:
(1)因为x2>0,即x≠0,所以函数;
(2)因为4-x>0,即x<4,所以函数.
举一反三:
【变式1】求下列函数的定义域.
(1)y=
x
x
且a1
1,k?
R).
(2)y=ln(a
-k·2)(a>0
解:
(1)因为,所以,
所以函数的定义域为(1,)(,2).
xxx
(2)因为a-k·2>0,所以()>k.
[1]当k≤0时,定义域为R;
[2]当k>0时,
(i)若a>2,则函数定义域为(k,+∞);
(ii)若0 (iii)若a=2,则当0 为. 实用文档 【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1,1],求y=f(log2x)的定义域. 思路点拨: 由-1≤x≤1,可得y=f(x)的定义域为[,2],再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[, 4]. 类型七、函数图象问题 7.作出下列函数的图象: (1)y=lgx,y=lg(-x),y=-lgx; (2)y=lg|x|;(3)y=-1+lgx. 解: (1)如图 (1); (2)如图 (2);(3)如图(3). 类型八、对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性可以: ①比较大小;②解不等式;③判断单调性;④求单调区间;⑤求值域和最值.要求同 学们: 一是牢固掌握对数函数的单调性;二是理解和掌握复合函数的单调性规律;三是树立定义域优先的观念. 8.比较下列各组数中的两个值大小: (1)log 3.4 ,log8.5 2 2 (2)log 0.31.8,log0.32.7 (3)log a5.1 ,loga5.9(a>0 且a≠1) 思路点拨: 由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成. (1)解法1: 画出对数函数y=log2 x的图象,横坐标为 3.4的点在横坐标为 8.5的点的下方, 所以,log23.4 + 3.4<8.5 ,所以log 23.4 解法2: 由函数y=log2x在R上是单调增函数,且 解法3: 直接用计算器计算得: log 3.4≈1.8,log 8.5≈3.1 ,所以log3.4 8.5; 2 2 2 2 (2)与第 (1)小题类似,log0.3x在R+上是单调减函数,且 1.8<2.7 ,所以log0.31.8>log0.32.7 ; (3)注: 底数是常数,但要分类讨论 a的范围,再由函数单调性判断大小. 解法1: 当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数,且5.1<5.9,所以,loga5.1 当0 5.1<5.9,所以,loga5.1>log a5.9 解法2: 转化为指数函数,再由指数函数的单调性判断大小, 令b1=loga5.1,则 ,令b2=loga5.9,则 当a>1时,y=ax在R上是增函数,且5.1<5.9 所以,b1 当0 5.1<5.9 所以,b1>b2,即. 实用文档 举一反三: 【变式 1】(2011 天津理 7)已知 则() A. B. C. D. 解析: 另,,,在同一坐标系下作出三个函数图像, 由图像可得 又∵为单调递增函数,∴故选C. 9.证明函数上是增函数. 思路点拨: 此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法,同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小 的方法. 证明: 设 ,且x1 则 又∵y=log x在 上是增函数 2 即f(x1) 2) ∴函数f(x)=log 2 在 上是增函数. (x+1) 2 举一反三: 【变式1】已知f(logax)= (a>0且a≠ 1),试判断函数 f(x) 的单调性. 解: 设t=log + ∈R).当a>1时,t=log x为增函数,若 t a x(x∈R,t a 1 2 12 ∴f(t 1 )-f(t2)= , ∵0 1 1) 在R上为增函数, 当0
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