731离散型随机变量的均值新版高中数学课件教案学案习题人教A版选择性必修第三册docx.docx
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7.3离散型随机变量的数字特征
7.3.1离散型随机变量的均值
素养要求
课标要求
1.通过具体实例,理解离散型随机变量通过研究离散型随机变量的分布列及其
的分布列及其数字特征.
数字特征,进一步提升数学抽象及数据
2.能计算简单离散型随机变量的均值.
分析素养.
知识探究
课前预习
新知探究
A情境引入
某城市随机抽查了1000户居民的住房情况,发现户型主要集中在160平方米,
100平方米,60平方米三种,对应住房比例为1:
5:
4,能否说该市的户均住房
问题上述情境中的计算是否合理,怎样运算才更合理?
提示此种计算显然不合理,忽略了不同住房面积的居民所占的比例,造成了“被平均"现象,通过本课时的学习我们可以找到正确的计算方法.
A知识梳理
1.离散型随机变量的均值或数学期望
正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地,若离散型随机变量X的分布列为
则称E(X)=X1〃1+了2〃2XiPiXnPn=.£X双为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.
2.两点分布的期望
一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么印0=0X(l-p)+lXp=2;
3.离散型随机变量的均值的性质
设X的分布列为P(X=xA=pi,i=l,2,…,n.
一般地,下面的结论成立:
E(aX+b}=aE(X)+b.
拓展深化
[微判断]
1.随机变量X的均值顼为是个变量,其随X的变化而变化.(X)
提示随机变量X的均值E(X)是个定值,不随X的变化而变化.
2.随机变量的均值与样本的平均值相同.(X)
提示随机变量的均值与样本的均值并非等价,因为样本代表的是部分的情况,不能完全与整体等价.
3.若随机变量X的均值印0=2,则E(2X)=4.(V)
[微训练]
1.已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
p
2
13
5
13
6
13
则X的数学期望E(X)=()
A3027
C.2D.||
解析E(X)=lX-^+2X-^+3X-^—
答案A
2.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的期望为.
I12
解析X=2,3.P(X=2)=w=§,P(X=3)=苴=§.
LL1,28
故E(X)=2X-+3X-=-
*小8
答案i
[微思考]
某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3:
2:
1的比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理?
提示由于平均在每1kg的混合糖果中,3种糖果的质量分别是|kg,|kg和/kg,所以混合糖果的合理价格应该是18x|+24x|+36x|=23(7C/kg).
这里的23元/kg就是混合糖果价格的均值.
课堂互动题型剖析IIIIIIMIfflHHIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII聊I
题型一利用定义求离散型随机变量的均值
【例1】袋中有4只红球,3只黑球,今从袋中随机取出4只球,设取到一只红球得2分,取到一只黑球得1分,试求得分X的均值.
解取出4只球颜色及得分分布情况是:
4红得8分,3红1黑得7分,2红2黑得6分,1红3黑得5分,因此,
4仔5)=可=云
CiCi18
P(X=6)=可=勇,
ClC\12
P(X=7)=kM
35'
C*Cg1P(X=8)=〒
故X的分布列如下:
X
5
6
7
8
P
4
35
18
35
12
35
1
35
4isI?
144
.■.E(X)=5X—+6X—+7X—+8X—=—(^).
规律方法求随机变量的均值关键是写出分布列,一般分为四步:
(1)确定X的可能取值;
(2)计算出P(X=k);(3)写出分布列;(4)利用顼X)的计算公式计算E(X).
【训练1】某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”,规则如下:
在这一环节中嘉宾需要猜三道题目,若三道题目中猜对一道题目可得1分,若猜对两
道题目可得3分,要是三道题目完全猜对可得6分,若三道题目全部猜错,则扣
211
掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为奈§p且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值.
解根据题意,设X表示“该嘉宾所得分数",则X的可能取值为一4,1,3,
6.
1
9'
7
•••P(X=-4)=[l-|jX[1一易X[1-U=;,212,112,1117P(X=1)=tX-X-+-X-X-+-X-X-=—,
212,211,1117
P(X=3)=zX-X-+-X-X-+-X-X-=—,
21121
P(X=6)=3X-X-=-=-
、2,
12
18
7
【例2】已知随机变量X的分布列为:
X
-2
-1
0
1
2
P
1
4
1
3
1
5
m
1
20
若Y=~2X,则E(Y)=.
解析由随机变量分布列的性质,得
!
+?
+!
+秫+&=1,解得/n=£,
1,1,1,1,117
..E(X)=(—2)X7+(—1)X-+OX-+1X-+2X—=——
43joZU3U
由Y=~2X,得E(y)=~2E(X),
a„(17)17
即E(y)=-2X^J=-
17
答案15
【迁移1】(变设问)本例条件不变,若Y=2X~3,求顼K).解由公式E(aX+b)=aE(X)+力及E(X)=一就得,
(17)62
E(Y)=E(2X—3)=2E(X)—3=2XI-3=—话.
【迁移2】(变条件,变设问)本例条件不变,若Y=aX+3,且E(K)=—求a的值.
1711
解・「E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=一元3=—。
,
♦♦<7=15.
规律方法离散型随机变量性质有关问题的解题思路
若给出的随机变量Y与X的关系为Y=aX+b,a,力为常数,一般思路是先求出顼X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y).也可以利用X的分布列得到Y的分布列,关键是由X的取值计算K的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E(Y).
【训练2】已知随机变量X和匕其中Y=12X+7,且E(Y)=34,若X的分布列如下表,则机的值为()
X
1
2
3
4
P
1
4
m
n
1
12
解析因为K=12X+7,则顼F)=12E(X)+7,即E(y)=12^1x|+2-m+3-H+4X^+7=34.
所以2m+3«=|,①
又f+m+"+土=1,
2
所以m+n=y②
由①②可解得m=|.
答案A
题型三离散型随机变量均值的应用
2
【例3]某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为5和
3
亍现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品3.设甲、乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品3研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值.
解记E=“甲组研发新产品成功",F=“乙组研发新产品成功".由题设知2一13一2——一一
P(E)=5,P(E)=yP(F)=g,P(F)=M,且事件e与f,e与f,e与f,E与F都相互独立.
⑴记H=“至少有一种新产品研发成功",则H=EF,于是P(H)=P(E)P(F)=\2_2_
X5=T55
-?
13
故所求的概率为p(h)=i—p(h)=i—e=e.
(2)设企业可获利润为X万元,则X的可能取值为0,100,120,220.
--122
因为P(X=0)=P(eF)=3X5=15,
-131
P(X=100)=P(E0=/§=§,
-224
P(X=120)=P(Ef)=3X-=—,
232
P(X=220)==§X§=§,
故所求的分布列为
X
0
100
120
220
P
2
15
1
5
4
15
2
5
2142
均值为E(X)=0X—+100X-+120X—+220X-=140(万元).
规律方法解答实际问题时,
(1)把实际问题概率模型化;
(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列;(3)利用公式求出相应均值.
【训练3】某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家独立地对每位学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”和“不支持”的概率都是若某人获得两个“支持”,则给予10万元的创业资助;若只获得一个“支持”,则给予5万元的资助;若未获得“支持”,则不予资助.令X表示该公司的资助总额.
(1)写出X的分布列;
⑵求均值顼X).
解
(1)X的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.
P(X=0)=g,P(X=5)=&
155
P(X=10)=函,P(X=15)=孟,
P(X=20)=岳,P(X=25)=&P(X=30)=土.
故X的分布列为
X
0
5
10
15
20
25
30
P
X64
3
32
15
64
5
16
15
64
3
32
X64
(2)叫=0X*+5x3+10X另+15X*+20X另+25x3+30X*=15(万
元).
素养达成逐步落实
—、素养落地
1.通过本节课的学习,进一步提升数学抽象及数据分析素养.
2.求离散型随机变量均值的步骤:
(1)确定离散型随机变量X的取值;
(2)写出分布列,并检查分布列的正确与否;
(3)根据公式写出均值.
3.若X,K是两个随机变量,且Y=aX+b,则E(r)=aE(X)+b;如果一个随机变量服从两点分布,可直接利用公式计算均值.
二'素养训练
1.袋中有10个大小相同的小球,其中记为0号的有4个,记为"号的有"个("
=1,2,3).现从袋中任取一球,X表示所取到球的标号,则顼X)等于()
3
A.2B,2
47
C.§D.§
解析由题意,可知X的所有可能取值为0,1,2,3.
2113
P(X=0)=§,P(X=1)=而,P(X=2)=§,P(X=3)=而.
21137
.,.E(X)=0X-+lX—+2X-+3X——-
答案D
2.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得一1分,则得分X的均值
为()
A.0
C.1D.-1
解析因为P(X=1)=§,P(X=—1)=|,
所以由均值的定义得E(X)=lx|+(—l)x|=o.
答案A
3.若p为非负实数,随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
P
12~P
1
2
则顼X)的最小值为()
3
A.1B,2
2
C,3D.2
解析由pNO,:
一pNO,得0WpW?
则E(X)=?
—p+2X?
=?
—pNl.故选A.
AAAAA
答案A
4.随机抛掷一枚骰子,则所得骰子点数X的均值为
解析抛掷一枚骰子所得点数X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
p
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
所以E(X)=lx|+2x|+3x|+4x|+5x|+6x|=(l+2+3+4+5+6)x|=
21_7~6=2-
答案
5.袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上"号的有顾=1,
2,3,4)个.现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.
(1)求X的分布列、均值;
(2)若Y=aX+4,E(Y)=1,求a的值.
解
(1)X的分布列为
3
20
111313
X的均值E(X)=0X-+lX—+2X—+3X—+4X-=-匕JL\j。
匕
(2)E(y)=o顼X)+4=l,
又E(X)=|,
3
则,+4=1,
「・。
=—2.
课后作业■山IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII巩固提高
基础达标
一、选择题
1.已知离散型随机变量X的分布列为
则顼2X+1)=(
解析•.•E(X)=-lX-+0X-+lX-=--
顼2X+1)=2E(X)+1=2X
6,
答案c
2.已知某一随机变量X的分布列如下表所示,若顼X)=6.3,则。
的值为()
X
a
7
9
P
b
0.1
0.4
B.5
A.4
C.6
D.7
解析根据分布列的性质可知力+0.1+0.4=1,所以》=0.5.又E(X)=a.0.5+
7X0.1+9X0.4=6.3,所以。
=4.
答案A
3.设随机变量X的分布列如下表,且E(X)=1.6,则a~b等于()
X
0
1
2
3
p
0.1
A
b
0.1
B.0.1
A.0.2
C.-0.2
D.-0.4
解析由0.1+a+Z?
+0.1=1,得a+「=0.8.
又由E(X)=0X0.1+L』+2%+3X0.1=1.6,
得a+2b=l.3,
解得。
=0.3,b=0.5,则a~b=~0.2.
答案C
4.某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分,击不中10环得0分.已知他
击中10环的概率为0.8,则射击一次得分X的期望是()
A.0.2
B.0.8
C.1
D.0
解析因为P(X=l)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)=lX0.8+0X0.2=0.8.
答案B
5.随机变量X的可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=L2,3,4),E(X)
=3,则a+b等于()
A.10
B.5
C'5
解析易知E(X)=lX(0+O)+2X(20+O)+3X(3a+")+4X(4a+ZO=3,即30a+100=3.①
又(a+")+(2a+Z?
)+(3a+")+(4a+Z?
)=1,即10a+40=l,②
由①②,得。
=法,b=Q.
答案D
二、填空题
6.已知某一随机变量X的分布列如下表:
X
3
b
8
P
0.2
0.5
a
且E(X)=6,贝ija=,b=.
解析由0.2+0.5+。
=1,得。
=0.3.又由E(X)=3X0.2+Q0.5+8・a=6,得》=
6.
答案0.36
7.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数X的分布列为
X
1
2
3
4
P
0.5
0.2
0.2
0.1
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为100元;分2期或3期付款,其利润为150元;分4期付款,其利润为200元.若K表示经销一件该商品的利润,则E(Y)=元.
解析由题意可知K可以取100,150,200,分布列如下
Y
100
150
200
P
0.5
0.4
0.1
.•.顼7)=100X0.5+150X0.4+200X0.1=130(元).
答案130
8.某人进行一项试验,若试验成功,则停止试验;若试验失败,则再重新试验
2
一次;若试验3次均失败,则放弃试验.若此人每次试验成功的概率均为孕则此人试验次数X的均值是.
解析试验次数X的可能取值为1,2,3,
2
则P(X=1)=5,122尸(乂=2)=衬5=6,
ii(2,niP(x=3)=//k+J=6・
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
2
3
2
9
1
9
22113
所以E(X)=1X-+2X-+3X~=—
心古13
答案V
三'解答题
9.盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有2节废电池,现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止.
求:
(1)抽取次数X的分布列;
(2)平均抽取多少次可取到好电池.
解
(1)由题意知,X取值为1,2,3.
3
P(X=1)=§;
233
P(X=2)=^X-=—;
211
P(X=3)=^X-=—
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
3
5
3
10
1
10
331
⑵E(X)=1X-+2X—+3X—=1.5(次),
即平均抽取1.5次可取到好电池.
10.在有奖摸彩中,一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的,20个奖品是25元的,5个奖品是100元的.在不考虑获利的前提下,一张彩票的合理价格是多少元?
解设一张彩票的中奖额为随机变量X,显然X的所有可能取值为0,5,25,
100.依题意,可得X的分布列为
X
0
5
25
100
P
391
1
1
1
400
50
500
2000
391111
所以E(X)=0X—+5X—+25X—+100X^-^
=0.2(元),
所以一张彩票的合理价格是0.2元.
能力提升
11.某人有资金10万元,准备用于投资经营甲、乙两种商品,根据统计资料:
投资甲获利(万元)
2
3
-1
概率
0.4
0.3
0.3
投资乙获利(万元)
1
4
-2
概率
0.6
0.2
0.2
那么他应该选择经营种商品.
解析投资甲项目获利的期望E甲=2X0.4+3X0.3+(—l)X0.3=1.4,
投资乙项目获利的期望E乙=lX0.6+4X0.2+(—2)X0.2=l.因为8甲>归乙.故他应该选择经营甲种商品.
答案甲
12.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X,求X的分布列及均值.
解根据题意易知X=0,1,2,3.分布列如下:
X
0
1
2
3
27
125
54
125
36
125
8
125
所以印0=0X会+1X若+2X卷+3X告
1506
125=5-
创新猜想
13.(多选题)设p为非负实数,随机变量X的概率分布为:
X
0
1
2
P
12~P
P
1
2
则下列说法正确的是()
-1-2--1-4-
oO
一_一_
pP
A.C.
OW5—pWl,「1]<1>
解析由表可得2从而得Pe0,2,期望值E(X)=Ox|j一刃+瑚
。
寻W1,
113
+2X-=p+l,当且仅当p=5时,E(X)最大值=万.
答案AB
14.(多空题)某射手射击所得环数X的分布列如下:
X
7
8
9
10
P
X
0.1
0.3
已知X的均值E(X)=8.9,则x的值为,y的值为
x+0.1+0.3+y=1,
解析由题意知
〔7x+8X0.1+9X0.3+10y=8.9,
解得y=0.4,x=0.2.
答案0.20.4
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