二次函数最全的中考二次函数知识点总结.docx
- 文档编号:18003804
- 上传时间:2023-08-05
- 格式:DOCX
- 页数:105
- 大小:438.39KB
二次函数最全的中考二次函数知识点总结.docx
《二次函数最全的中考二次函数知识点总结.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《二次函数最全的中考二次函数知识点总结.docx(105页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
二次函数最全的中考二次函数知识点总结
.
二次函数知识点总结及相关典型题目
第一部分
二次函数基础知识
相关概念及定义
二次函数的概念:
一般地,形如
y
ax2
bxc(a,b,c是常数,a0
)的函数,叫做二次函
数。
这里需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数
a
0,而b,c可以为零.二次函数的定
义域是全体实数.
二次函数yax2
bx
c的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量
x的二次式,x的最高次数是2.
⑵a,b,c是常数,a是二次项系数,
b是一次项系数,
c是常数项.
二次函数各种形式之间的变换
二次函数y
ax2
bxc
用配方法可化成:
yaxh2
k的形式,其中
b
,k
4ac
b2
h
4a
.
2a
yax2
;②yax2
k;③yaxh2
二次函数由特殊到一般,
可分为以下几种形式:
①
;
④yaxh2
k;⑤yax2
bxc.
二次函数解析式的表示方法
一般式:
y
ax2
bx
c(a,b,c为常数,a
0);
顶点式:
y
a(x
h)2
k(a,h,k为常数,a
0
);
两根式:
y
a(x
x1)(x
x2)(a
0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).
注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交
点式,只有抛物线与
x轴有交点,即
2
4ac0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次
b
函数解析式的这三种形式可以互化.
二次函数y
ax2
的性质
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
a0
向上
0,0
y轴
a0向下0,0y轴
性质
x0时,y随x的增大而增大;x0时,y随x的增大而减小;x0时,y有最小值0.
x0时,y随x的增大增大而减小;x0时,y随x的增大而增大;x0时,y有最
大值0.
二次函数y
ax2
c的性质
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质性质
a
0
0,c
x
0时,y随x的增大而增大;x0时,y随
向上
y轴
x的增大而减小;x0时,y有最小值c.
a
0
0,c
x
0时,y随x的增大而减小;x0时,y随
向下
y轴
x的增大而增大;x0时,y有最大值c.
二次函数y
ax
2
h的性质:
a的符
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
号
a0
向上
h,0
X=h
xh时,y随x的增大而增大;xh时,y随x的
增大而减小;xh时,y有最小值0.
.
.
a0
向下
h,0
X=h
xh时,y随x的增大而减小;xh时,y随x的
增大而增大;x
h时,y有最大值0.
二次函数y
ax
2
k的性质
h
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a
0
h,k
x
h时,y随x的增大而增大;xh时,y随
向上
X=h
xh时,y有最小值k.
x的增大而减小;
a
0
向下
h,k
x
h时,y随x的增大而减小;xh时,y随
X=h
xh时,y有最大值k.
x的增大而增大;
抛物线y
ax2
bx
c的三要素:
开口方向、对称轴、顶点.
a的符号决定抛物线的开口方向:
当
a
0
时,开口向上;当
a0
时,开口向下;
a相等,抛物线的开口大小、形状相同.
对称轴:
平行于
y轴(或重合)的直线记作
b
.特别地,y轴记作直线x0.
x
2a
顶点坐标坐标:
(
b
4ac
b2
2a
,
)
4a
a相同,那么抛物线的开口方向、
顶点决定抛物线的位置
.几个不同的二次函数,如果二次项系数
开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
抛物线y
ax2
bx
c中,a,b,c与函数图像的关系
二次项系数a
二次函数y
ax2
bx
c中,a作为二次项系数,显然a
0.
⑴当a
0时,抛物线开口向上,
a越大,开口越小,反之
a的值越小,开口越大;
⑵当a
0时,抛物线开口向下,
a越小,开口越小,反之
a的值越大,开口越大.
总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,
a的正负决定开口方向,
a的大小决定开口的大
小.
一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下,
b决定了抛物线的对称轴.
⑴在a
0的前提下,
当b
0
时,
b
0,即抛物线的对称轴在
y轴左侧;
2a
当b
0
时,
b
0,即抛物线的对称轴就是
y轴;
2a
当b
0
时,
b
0,即抛物线对称轴在
y轴的右侧.
2a
⑵在a
0
的前提下,结论刚好与上述相反,即
当b
0
时,
b
0
,即抛物线的对称轴在
y轴右侧;
2a
当b
0
时,
b
0,即抛物线的对称轴就是
y轴;
2a
当b
0
时,
b
0
,即抛物线对称轴在
y轴的左侧.
2a
b决定了抛物线对称轴的位置.
总结起来,在a确定的前提下,
总结:
常数项c
⑴当c
0时,抛物线与
y轴的交点在x轴上方,即抛物线与
y轴交点的纵坐标为正;
⑵当c
0时,抛物线与
y轴的交点为坐标原点,即抛物线与
y轴交点的纵坐标为0;
.
.
⑶当c0时,抛物线与
y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.
总结起来,c决定了抛物线与
y轴交点的位置.
总之,只要a,b,c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
求抛物线的顶点、对称轴的方法
2
4ac
b2
b
4acb
2
公式法:
y
2
bx
b
ax
cax
4a
,∴顶点是(
,
),对称轴是
2a
2a
4a
直线x
b
.
2a
yaxh2
配方法:
运用配方的方法,将抛物线的解析式化为
k的形式,得到顶点为
(h,k),对称轴是直线xh.
运用抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平
分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点
.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失
.
用待定系数法求二次函数的解析式
一般式:
y
ax2
bx
c.已知图像上三点或三对
x、y的值,通常选择一般式.
顶点式:
y
ax
h2
k.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
交点式:
已知图像与
x轴的交点坐标x1、x2
,通常选用交点式:
y
ax
x1x
x2.
直线与抛物线的交点
y轴与抛物线y
ax2
bx
c得交点为(0,
c).
与y轴平行的直线
x
h与抛物线yax2
bx
c有且只有一个交点(h,
ah2
bh
c).
抛物线与x轴的交点:
二次函数y
ax2
bx
c的图像与x轴的两个交点的横坐标
x1、x2,是
对应一元二次方程
ax2
bx
c
0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元
二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点
0
抛物线与x轴相交;
②有一个交点(顶点在
x轴上)
0
抛物线与x轴相切;
③没有交点
0
抛物线与x轴相离.
平行于x轴的直线与抛物线的交点
k,则
可能有
0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为
横坐标是ax2
bx
c
k的两个实数根.
一次函数y
kx
nk
0
的图像l与二次函数y
ax2
bx
ca
0的图像G的交点,由
方程组
y
kx
n
的解的数目来确定:
①方程组有两组不同的解时
l与G有两个交点;
y
ax2
bx
c
②方程组只有一组解时
l与G只有一个交点;③方程组无解时
l与G没有交点.
抛物线与x轴两交点之间的距离:
若抛物线
y
ax2
bx
c与x轴两交点为Ax1,0,Bx2,0,
由于x1、x2
是方程ax2
bx
c
0的两个根,故
x1
x2
b
x1
x2
c
a
a
2
b2
AB
x1x2
x1
x2
2
x1
x2
2
4x1x2
b
4c
4ac
a
a
a
a
二次函数图象的对称
:
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
关于x轴对称
y
2
bx
关c于x轴对称后,得到的解析式是
y
ax
2
bx
c;
ax
y
ax
2
k关于x轴对称后,得到的解析式是
y
a
xh
2
h
k;
关于y轴对称
.
.
2
yaxbx关c于y轴对称后,得到的解析式是
2
yaxhk关于y轴对称后,得到的解析式是
关于原点对称
y
2
bx关c于原点对称后,得到的解析式是
ax
y
ax
2
h关k于原点对称后,得到的解析式是
y
ax2
bx
c;
y
ax
h
2
k;
y
ax2
bx
c;
y
a
x
h
2
k;
关于顶点对称
y
2
bx
c
2
b2
ax
y
ax
bxc
;
关于顶点对称后,得到的解析式是
2
2
2a
y
axh
k关于顶点对称后,得到的解析式是
y
k.
axh
关于点
m,n对称
y
axh
2
k关于点m,n对称后,得到的解析式是
y
ax
2
k
h2m
2n
总结:
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此
a永
远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,
可以依据题意或方便运算的原则,
选择合适的形式,
习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物
线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
二次函数图象的平移
平移步骤:
yax
2
k,确定其顶点坐标
h,k
⑴将抛物线解析式转化成顶点式
h
;
⑵保持抛物线y
ax2的形状不变,将其顶点平移到
h,k
处,具体平移方法如下:
y=ax2
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移
|k|个单位
平移|k|个单位
平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
y=a(x-h)2+k
平移
规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;
k值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”
.
根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
三点式。
1,已知抛物线
y=ax2+bx+c经过A(
3,0),B(2
3,0),C(0,-3)三点,求抛物线的解析式。
2,已知抛物线
y=a(x-1)
2+4,经过点A(2,3),求抛物线的解析式。
顶点式。
y=x2-2ax+a2+b顶点为A(2,1),求抛物线的解析式。
1,已知抛物线
2,已知抛物线
y=4(x+a)
2-2a的顶点为(3,1),求抛物线的解析式。
交点式。
1,已知抛物线与
x
轴两个交点分别为(3,0),(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)
的解析式。
2,已知抛物线线与
x轴两个交点(
4,0),(1,0)求抛物线y=1a(x-2a)(x-b)
的解析式。
2
定点式。
1,在直角坐标系中,不论
a取何值,抛物线
y
1x2
5
ax2a2经过x轴上一定点
Q,直线
y(a
2)x
2经过点Q,求抛物线的解析式。
2
2
2,抛物线y=x
2+(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线
y=mx+m+4,求抛物线的解析式。
.
.
3,抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A,求抛物线的解析式。
平移式。
1,把抛物线y=-2x2向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到抛物线y=a(x-h)2+k,求
此抛物线解析式。
2,抛物线yx2x3向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.
距离式。
1,抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析式。
2,已知抛物线y=mx2+3mx-4m(m﹥0)与x轴交于A、B两点,与轴交于C点,且AB=BC,求此抛物线的解
析式。
对称轴式。
1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点,这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍,求
抛物线的解析式。
2、已知抛物线y=-x2+ax+4,交x轴于A,B(点A在点B左边)两点,交y轴于点C,且OB-OA=3OC,求此
4
抛物线的解析式。
对称式。
1,平行四边形
ABCD对角线AC在x轴上,且A(-10,0),AC=16,D(2,6)。
AD交y轴于E,将三角形
ABC沿x轴折叠,点B到B1的位置,求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。
2,求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴(或x轴)对称的抛物线的解析式。
切点式。
1,已知直线y=ax-a2(a≠0)与抛物线y=mx2有唯一公共点,求抛物线的解析式。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 二次 函数 中考 知识点 总结