高二数学直线与椭圆位置关系学案及作业.docx
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高二数学直线与椭圆位置关系学案及作业
直线与椭圆位置关系
思想方法:
在解题中,将直线的方程与椭圆的方程联立,消去一个变量后可得到一个二次方程,控制、讨论这个方程的根,并结合根与系数关系,可以解决如下问题:
(1)判断直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离);
(2)交点问题(公共点的个数,与交点坐标相关的等式或不等式);
(3)计算弦长(弦长公式为或,其中为弦所在直线的斜率)
(4)涉及到中点弦的问题还可以采用点差法来处理.
题型一:
直线与椭圆的位置关系:
例1:
(1)直线y=x+m和椭圆4x2+y2=1,当直线与椭圆有公共点时,求实数m的取值范围。
(2)若直线与曲线有一个公共点,求m的取值范围
变式:
若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点,求实数m的范围.
题型二:
弦长问题:
例2:
(1)已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点交椭圆与A、B两点.,求弦AB的长.
(2)过点P(0,2)的直线与椭圆相交于A、B两点,且弦长,求直线方程.
(3)已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m,求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。
变式:
分别是椭圆的左、右焦点,过作倾斜角的直线与椭圆交于两点,求的面积.
题型三:
中点弦问题:
例3:
已知一直线与椭圆相交于A、B两点,弦AB的中点坐标为M(1,1),求直线AB的直线方程
练习:
在椭圆中中,求通过点(2,1)且被这点平分的弦所在的直线方程和弦长。
题型四:
求椭圆方程:
例4:
中心在原点,一个焦点为F1(0,)的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为,求椭圆的方程
例5:
已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q,且OP⊥OQ,|PQ|=,求椭圆方程.
例6.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与坐标原点距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆相交于C、D两点,试判断是否存在k值,使以CD为直径的圆过定点E?
若存在求出这个k值,若不存在说明理由.
2019-2020年高二数学直线与椭圆位置关系学案及作业
1.设直线:
与椭圆的交点是A,B,为椭圆上的动点,则使的面积为的点的个数为()A.1B.2C.3D.4
2.直线与椭圆恒有公共点,则的取值范围是()
A.B.C.D.
3.已知是椭圆的焦点,过作倾斜角为的弦AB,则的面积为_____________.
4.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点,则的方程为()
A.B.C.D.
5、若直线与椭圆相交于A,B两点,当变化时,的最大值是()
2
6.设F1,F2是椭圆=1的左、右两个焦点,若椭圆上满足PF1⊥PF2的点P有且只有两个,则离心率e的值为
7.AB为椭圆中心弦,F2(-c,0)是其右焦点,则的面积的最大值为
8.已知直线l:
,椭圆,则m为时l与椭圆相切;m为时l与椭圆相交;m为时,l与椭圆相离。
9.设AB是过椭圆左焦点的弦,那么以AB为直径的圆必与椭圆的左准线
10.在椭圆上求一点,使它到直线l:
的距离最短,并求出此距离
11.一动圆过定点,且与定圆相切。
(1)求动圆圆心C的轨迹M的方程:
(2)过点P(0,2)的直线与轨迹M交于不同两点E、F,求的取值范围。
12.设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.
(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)求四边形面积的最大值.
13、对于椭圆,是否存在存直线,使与椭圆交于不同的两点,且线段恰好被直线平分,若存在,求出的倾斜角的范围,若不存在,请说明理由.
14.椭圆的对称轴为坐标轴,与直线交于两点,又,
中点与椭圆中心连线的斜率为,求椭圆方程.
15.椭圆的左右焦点分别为F1和F2,过中心O做支线与椭圆相交于A、B两点,若得面积为20,求直线AB的方程。
2019-2020年高二数学直线与椭圆的位置关系学案(基础)
知识点归纳
1、椭圆参数的几何意义,如下图所示:
(1)|PF1|+|PF2|=2a,|PM2|+|PM1|=,==e;
(2)焦半径:
,
.
2、直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题:
可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题,往往通过消元后最终转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题,讨论时特别要注意转化的等价性,即解决直线与椭圆的相交问题要用好化归思想和等价转化思想
3、涉及直线与椭圆相交弦的问题:
主要有这样几个方面:
有弦长,弦所在直线的方程(如中点弦、相交弦等)、弦的中点的轨迹等,这可以利用“设点代点、设而不求”的方法(设交点坐标,将交点坐标代入曲线方程,并不具体求出坐标,而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决)
4、弦长公式:
若直线与椭圆交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为
;
若直线与椭圆交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为
5、椭圆的参数方程
的参数方程为:
,的参数方程为:
典型示例:
【例1】设椭圆的中心是坐标原点,长轴在轴上,离心率,已知点到这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标.
【变式】求椭圆上的点到直线的距离的最小值.
【例2】1、试判断直线与椭圆的位置关系
2、直线被椭圆所截的弦的中点坐标是(B)
(A)(,-)(B)(-,)(C)(,-)(D)(-,)
3、过椭圆的左焦点作倾斜角为的弦AB,则弦AB的长为(B)
(A)(B)(C)(D)
【变式】1、直线
与椭圆的位置关系是(C)
(A)与C均相交(B)与C相切,与C相交
(C)与C相交,与C相切(D)与均相离
2.已知椭圆C:
,过点P(-2,0)作椭圆C的切线,则切线方程是(A)
(A)(B)(C)(D)
3、已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点,交椭圆与A,B两点,
(1)求弦AB的长;
(2)求AB的中点坐标。
【例3】已知椭圆,①求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;②过引椭
圆的割线,求截得的弦的中点轨迹方程;③求过点且被平分的弦所在的直线方程.
【变式】求以椭圆内的点为中点的弦所在直线方程.
【例4】已知椭圆,、为两焦点,问能否在椭圆上找一点,使到左准线的距离是与的等比中项?
若存在,则求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【变式】.椭圆中心在原点,焦点在轴上,离心率,它与直线交于,两
点,且,求椭圆方程.
练习:
1、已知对k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点,则实数m的取值范围是()
A(0,1)B(0,5)C[1,5)∪(5,+∞)D[1,5)
2、椭圆与直线交于两点,过原点与线段中点所在直线的斜率为,则的值是()A B C D
3、直线y=x+1与椭圆4x2+y2=λ(λ≠0)只有一个公共点,则λ等于()
(A)(B)(C)(D)
4、椭圆上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于()
(A)2(B)4(C)8(D)
5、已知椭圆,以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在的直线的斜率是()
(A)(B)-(C)2(D)-2
6、已知椭圆的方程为,、分别为它的焦点,CD为过的弦,则△的周长为16.
7、在椭圆内通过点且被这点所平分的弦所在的直线方程是________.
【例4变式】设椭圆方程为,由可得.由直线和椭
圆方程联立消去可得.设,得,即,化简得,由韦达定理得,解出,故所求椭圆方程为
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