数学必修平面向量综合练习题.docx
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数学必修平面向量综合练习题
ItwaslastrevisedonJanuary2,2021
数学必修平面向量综合练习题
一、选择题【共12道小题】1、下列说法中正确的是()
A.两个单位向量的数量积为1B.若a·b=a·c且a≠0,则b=c
C.
D.若b⊥c,则(a+c)·b=a·b
参考答案与解析:
解析:
A中两向量的夹角不确定;B中若a⊥b,a⊥c,b与c反方向则不成立;C中应为
;D中b⊥c
b·c=0,所以(a+c)·b=a·b+c·b=a·b.
答案:
D主要考察知识点:
向量、向量的运算
2、设e是单位向量,
=2e,
=-2e,|
|=2,则四边形ABCD是(
)||=2,则四边形ABCD是(
)=|=2,则四边形ABCD是(
)2|=2,则四边形ABCD是(
),|=2,则四边形ABCD是(
)则|=2,则四边形ABCD是(
)四|=2,则四边形ABCD是(
)边|=2,则四边形ABCD是(
)形|=2,则四边形ABCD是(
)A|=2,则四边形ABCD是(
)B|=2,则四边形ABCD是(
)C|=2,则四边形ABCD是(
)D|=2,则四边形ABCD是(
)是|=2,则四边形ABCD是(
)(|=2,则四边形ABCD是(
)|=2,则四边形ABCD是(
)|=2,则四边形ABCD是(
)|=2,则四边形ABCD是(
)|=2,则四边形ABCD是(
))|=2,则四边形ABCD是(
)|=2,则四边形ABCD是(
)
A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形
参考答案与解析:
解析:
所以|
|=|
|,且AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形.又因为|
|=|
|=2,所以四边形ABCD是菱形.
答案:
B主要考察知识点:
向量、向量的运算
3、已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90°,且c=2a+3b,d=ka-4b,若c⊥d,则实数k的值为(
)
参考答案与解析:
解析:
∵c⊥d,∴c·d=(2a+3b)·(ka-4b)=0,即2k-12=0,∴k=6.
答案:
A主要考察知识点:
向量、向量的运算
4、设0≤θ<2π,已知两个向量
=(cosθ,sinθ),
=(2+sinθ,2-cosθ),则向量
长度的最大值是(
)
A.
B.
C.
D.
参考答案与解析:
解析:
=(2+sinθ-cosθ,2-cosθ-sinθ),
所以|
|=
≤
=
.
答案:
C主要考察知识点:
向量与向量运算的坐标表示
5、设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为(
)
A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)
参考答案与解析:
解析:
依题意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以d=-6a+4b-4c=(-2,-6).
答案:
D主要考察知识点:
向量与向量运算的坐标表示
6、已知向量a=(3,4),b=(-3,1),a与b的夹角为θ,则tanθ等于()
A.
参考答案与解析:
解析:
由已知得a·b=3×(-3)+4×1=-5,|a|=5,|b|=
,
所以cosθ=
.
由于θ∈[0,π],
所以sinθ=
.
所以tanθ=
=-3.
答案:
D主要考察知识点:
向量与向量运算的坐标表示
7、向量a与b不共线,
=a+kb,
=la+b(k、l∈R),且
与
共线,则k、l应满足(
)
+l=0=0
+1=0=0
参考答案与解析:
解析:
因为
与
共线,所以设
=λ
(λ∈R),即la+b=λ(a+kb)=λa+λkb,所以(l-λ)a+(1-λk)b=0.
因为a与b不共线,所以l-λ=0且1-λk=0,消去λ得1-lk=0,即kl-1=0.
答案:
D主要考察知识点:
向量、向量的运算
8、已知平面内三点A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且AP=λPB,则λ的值为()
C.
D.
参考答案与解析:
解析:
因为
=λ
所以(4,4)=λ(2,2).所以λ=
.
答案:
C主要考察知识点:
向量与向量运算的坐标表示
9、设平面向量a1,a2,a3的和a1+a2+a3=0,如果平面向量b1,b2,b3满足|bi|=2|ai|,且ai顺时针旋转30°后与bi同向,其中i=1,2,3,则()
+b2+b3=0+b3=0
+b2-b3=0+b2+b3=0
参考答案与解析:
解析:
根据题意,由向量的物理意义,共点的向量模伸长为原来的2倍,三个向量都顺时针旋转30°后合力为原来的2倍,原来的合力为零,所以由a1+a2+a3=0,可得b1+b2+b3=0.
答案:
D主要考察知识点:
向量、向量的运算
10、设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若
且
·
=1,则P点的轨迹方程是(
)
+
y2=1(x>0,y>0)
=1(x>0,y>0)
=1(x>0,y>0)
+3y2=1(x>0,y>0)
参考答案与解析:
解析:
设P(x,y),则Q(-x,y).设A(xA),xA,B(0,yByB0,
=(x,y-yB)
=(xAx,-y).
∵
=2PA,∴x=2(xA,x),y-yB=2y,xA=
x,yB=3y(x>0,y>0).
又∵
·
=1,(-x,y)·(-xA,yB)=1,
∴(-x,y)·(
x,3y)=1,
即
x2+3y2=1(x>0,y>0).
答案:
D主要考察知识点:
向量、向量的运算
11、已知△ABC中,点D在BC边上,且
,若
则r+s的值是(
)
A.
C.
参考答案与解析:
解析:
△ABC中,
=
=
(
)=
-
,故r+s=0.
答案:
B主要考察知识点:
向量、向量的运算
12、定义a※b=|a||b|sinθ,θ是向量a和b的夹角,|a|、|b|分别为a、b的模,已知点A(-3,2)、B(2,3),O是坐标原点,则
※
等于(
)
参考答案与解析:
解析:
由题意可知
=(-3,2),
=(2,3),
计算得
·
=-3×2+2×3=0,
另一方面
·
=|
||
|cosθ,
∴cosθ=0,
又θ∈(0,π),从而sinθ=1,∴
※
=|
||
|sinθ=13.
答案:
D主要考察知识点:
向量与向量运算的坐标表示
二、填空题【共4道小题】1、已知a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7,则向量a与b的夹角是____________.
参考答案与解析:
解析:
由已知得a+b=-c,两边平方得a2+2a·b+b2=c2,所以2a·b=72-32-52=15.设a与b的夹角为θ,则cosθ=
=
=
所以θ=60°.
答案:
60°主要考察知识点:
向量、向量的运算
2、若
=2e1+e2,
=e1-3e2,
=5e1+λe2,且B、C、D三点共线,则实数λ=___________.
参考答案与解析:
解析:
由已知可得
=(e1-3e2)-(2e1+e2)=-e1-4e2,
=(5e1+λe2)-(e1-3e2)=4e1+(λ+3)e2.
由于B、C、D三点共线,所以存在实数m使得
即-e1-4e2=m[4e1+(λ+3)e2].所以-1=4m且-4=m(λ+3),消去m得λ=13.
答案:
13主要考察知识点:
向量、向量的运算
3、已知e1、e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=2e1+e2和b=2e2-3e1的夹角是__________.
参考答案与解析:
解析:
运用夹角公式cosθ=
,代入数据即可得到结果.
答案:
120°主要考察知识点:
向量、向量的运算
4、如图2-1所示,两射线OA与OB交于O,则下列选项中向量的终点落在阴影区域内的是_________________.
图2-1
①
②
+
③
④
+
⑤
-
参考答案与解析:
解析:
由向量减法法则可知③⑤不符合条件,①②显然满足,④不满足.
答案:
①②主要考察知识点:
向量、向量的运算
三、解答题【共6道小题】
1、如图2-2所示,在△ABC中,
=c,
=a,
=b,且a·b=b·c=c·a,试判断△ABC的形状.
图2-2
参考答案与解析:
解:
∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0.
又b=-(a+c),
∴-(a+c)·(a-c)=0,即c2-a2=0.
∴|c|=|a|.同理,|b|=|a|,
故|a|=|b|=|c|,所以△ABC为等边三角形.主要考察知识点:
向量、向量的运算
2、如图2-3所示,已知|
|=|
|=1,
、
的夹角为120°,
与
的夹角为45°,|
|=5,用
,
表示
.(注:
cos75°=
)
图2-3
参考答案与解析:
解:
设
=λ
+μ
则
·
=(λ
+μ
)·
=λ
+μ
·
=λ+μcos120°=λ
μ.
又
·
=|
||
|cos45°=5cos45°=
∴λ
μ=
·
=(λ
+μ
)·
=λ
·
+μ
=λcos120°+μ=
λ+μ.
又
·
=|
|·|
|cos(120°-45°)=5cos75°=
∴
λ+μ=
.
∴λ=
μ=
.
∴
=
+
.主要考察知识点:
向量、向量的运算
3、在四边形ABCD中(A、B、C、D顺时针排列),
=(6,1),
=(-2,-3).若有
∥
又有
⊥
求
的坐标.
参考答案与解析:
解:
设
=(x,y),则
=(6+x,1+y),
=(4+x,y-2),
=(-x-4,2-y),
=(x-2,y-3).
又
∥
及
⊥
所以x(2-y)-(-x-4)y=0,①
(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0.②
解得
或
∴
=(-6,3)或(2,-1).主要考察知识点:
向量与向量运算的坐标表示
4、已知平面向量a=(
-1),b=(
).
(1)证明a⊥b;
(2)若存在不同时为零的实数k、t,使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,求函数关系式k=f(t).
参考答案与解析:
(1)证明:
因为a·b=(
,-1)·(
,
)=
+(-1)×
=0,所以a⊥b.
(2)解:
由已知得|a|=
=2,|b|=
=1,
由于x⊥y,所以x·y=0,即[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=0.
所以-ka2+ta·b-k(t2-3)b·a+t(t2-3)b2=0.
由于a·b=0,所以-4k+t(t2-3)=0.
所以k=
t(t2-3).
由已知k,t不同时为零得k=
t(t2-3)(t≠0).主要考察知识点:
向量与向量运算的坐标表示
5、已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=
且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=
且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
参考答案与解析:
解:
(1)设c=(x,y),∵|c|=
∴
即x2+y2=20,①
∵c∥a,a=(1,2),∴2x-y=0,即y=2x.②
联立①②得
或
∴c=(2,4)或(-2,-4).
(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,
即2a2+3a·b-2b2=0.
∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0.①
∵|a|2=5,|b|2=
代入①式得a·b=
.
∴cosθ=
=-1.
又∵θ∈[0,π],∴θ=π.主要考察知识点:
向量与向量运算的坐标表示
6、如图2-4所示,已知△AOB,其中
=a,
=b,而M、N分别是△AOB的两边OA、OB上的点,且
=λa(0<λ<1),
=μb(0<μ<1),设BM与AN相交于P,试将向量
=p用a、b表示出来.
图2-4
参考答案与解析:
解:
由题图可知p=
或p=
而
=λa,
设
=m(
)=m(b-λa),
又∵
=μb,设
=n(
)=n(a-μb),
∴p=
=λa+m(b-λa)=λ(1-m)a+mb,
p=
=μb+n(a-μb)=na+μ(1-n)b.
∵a、b不共线,且表示方法唯一,
∴
解得
∴p=λ[
]a+
,
即p=
.主要考察知识点:
向量、向量的运算
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