相似形经典题解.docx
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相似形经典题解
相似形经典题解
例1:
假设学生座位到黑板的距离是5米,老师在黑板上写字,究竟要写多大,才能使学生望去时,同他书桌相距30厘米的课本字感觉相同(即视角相同)?
分析
看黑板上的字和看课本的字有远与近的区别,若双眼去看,有一个调整视力焦距的问题,现在考虑二者的视角相等,要视角相等,只要两三角形相似。
解:
量得几何课本正文字的大小为0.4cmX0.35cm(高X宽)。
如图,假设看垂直课本和垂直黑板上一个字的视角相等,于是有
△OAB∽△OA’B’
则
=
即AB=
这里OC=5m=500cm,OC’=30cm
字高度A’B’=0.4cm,AB=500*0.4/30≈7
字宽度:
A’B’=0.35cm,AB=500*0.35/30≈6
因此,老师的黑板字大小应为7cm*6cm(宽*高)。
说明相似三角形对应线段之比等于相似比,这一性质应用较多。
例如利用影长计算大树或建筑物的高度;利用某种物质的固定长度,计算该物体与观测者的距离等等。
例2大江的一侧有甲、乙两个工厂,它们有垂直于江边的小路,长度分别为m千米及n千米.设两条小路相距L千米。
现在要在江边建立一个抽水站,把水送到甲、乙两厂去,欲使供水管路最短,抽水站应建在哪里?
解如图所示,AD垂直于江边于D,BE垂直江边于E,则AD=m千米,BE=n千米,DE=L千米。
延长BE至F,使EF=BE。
连接AF交DE于C,则在C点建抽水站,到甲、乙两厂的供水管路AC+CB为最短。
设CE=X千米,因为Rt△ADC∽Rt△FEC,
所以CD/CE=AD/EF,即x/(l-x)=m/n,
解得x=ml/(m+n)千米
说明此题用其它方法远不及几何解法简单、明确。
例3如图,工地上两根电灯杆相距L米,分别在高为4米、6米的A、C处用铁丝将两杆固定,求铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高MH。
解设MH=x米,BH=m米,DH=n米,则
L=m+n
由于△BMH∽△BCD,△DMH∽△DAB,
故有x/6=m/L,x/4=n/L
由此推得x=2.4米
所以交点M处离地面的高为2.4米。
说明
(1)答案与L无关,可任意取定L的几个不同的长度,画出图形进行验证。
(2)若令AB=h1,CD=h2则1/x=1/h1+h1/h2,即X=h1h2/(h1+h2)
例4例4一条笔直的公路L穿过草原,公路边有一卫生站A,距离公路30千米的地方有一居民点B,A、B的直线距离是90千米(如图).有一天,某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点B,汽车在公路上的最快速度是60千米/时,而在草地上的最快速度是30千米/时.问该司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短?
最短时间是多少?
分析虽然A、B间的最短路线是线段AB,但由于草地上的车速较慢(需3小时),如果利用一段公路,即使路途长了,而时间有可能缩短(如先从公路上开到C,再从C开到B只需2.414小时),那么在何处离开公路最好呢?
假设在P处离开公路,从草地开往B,行车时间最短。
由于公路上速度是草地上速度的2倍,设想把公路上行驶路程变为草地上行驶路程。
过A作∠CAE=30°,过P作PF⊥AE于F则PF=1/2AP,这样转化后,行车所需时间相当于草地行车程为(BP十PF)所需的时间,但从B点到定射线AE的最短线是垂线段BE,BE交AC于D,因此,P点应与D点重合(否则BP十PF>BD十DE)。
解过A作∠CAE=30°,过B作射线AE的垂线段BE交AC于D,D点就是应离开公路的地点,因此,所行路线为AD十DB。
又因为BE⊥AE、BC⊥AC,所以∠DBC=∠DAE=30°,BC=30,AB=90,
则AC=
=60
DC=10
AD=60
一10
BD=20
DE=30
一5
所以最短行车时间为(BD+DE)/30=(30
+15
)/30=
+
/2
说明当AB>2AC时,情况会有变化,请同学们自己讨论。
例5黄金矩形(宽与长之比成黄金比)是一种特殊的矩形,被古希腊人认为是最美的矩形,如图是一幢房子的正面视图,房顶是一个三角形,下面就是一个黄金矩形。
如果从一个黄金矩形中取走一个正方形,(如图),那么剩下的是一个什么样的矩形?
说明本题选自英国《世纪数学教材》,结论很明显,请读者自己研究。
例6例6 某出版社一位编辑在设计一本书的封面时,想把封面划分为四个矩形,其中左上角矩形与右下角矩形相似(如图),以给人一种和谐的感觉,这样的两个相似矩形怎样画出来?
分析在封面矩形ABCD中(如图),我们先作出一条横向分割线EF,此时要作出纵向分割线GH,使矩形AEPG相似于矩形PHCF,关健要确定两条分割线的交点P.当然利用相似比EP/PF=AE/CF=AE/EB,可以算出或画出EP来.但是在设计时,两相似矩形的大小会根据不同需要而改变,每次都计算就很麻烦,能不能找到更好的方法呢?
如果能找到P点位置的规律就更好了。
现在假设两个相似的矩形已经作出来了,如图连结AP、PC,则AE/CF=EP/FP(对应边成比例),∠AEP=∠CFP=90°(对应角相等),
于是△AEP∽△CFP,
便有∠APE=∠CPF。
这样,A、P、三点共线,即P点必在对角线AC上。
解作对角线AC,在AC上根据需要取一点P,过P作EF∥BC,作GH∥AB,则矩形AEPG和矩形CFPH就是两个相似的矩形。
因为矩形AEPG和矩形CFPH的每一个内角都是直角,
又由AE∥FC,AG∥CH,可得AE/CF=EP/FP=AP/CP,PG/PH=GA/HC=AP/CP,
于是AE/CF=EP/FP=PG/PH=GA/HC,
所以矩形AEPG∽矩形CFPH.
说明这样的封面设计还可以进一步推广:
1、1、 该编辑又想改矩形为四边形,便过对角线上一点P,尝试着画了两斜线分别与两组对边相交于E、F和G、H(如图)这样仍有四边形AEPG∽四边形CFPH,你想想为什麽?
2、如图在平行四边形ABCD中,对角线AC上任一点P,作两条直线分别与两组对边相交于E、F和和G、H,这时EG与HF有何关系?
图中有哪些是相似形?
总之,生活或工作中的许多问题,都存在一定的数学规律,就看你是不是去留心、去思考了。
例6暑假里,小强帮母亲到鱼店去买鱼。
鱼店里有一种“竹篓鱼”,个个都长得非常相似,现有大小两种不同的价钱,如图所示,鱼长10cm的每条10元;鱼长13cm的每条15元,小强不知道买哪种更好些,你们看怎么办?
分析这里要用到“立体相似”的知识,两个相似的立体,若相似比(对应线段长度之比)为m/n,则体积之比是m3/n3.
解设两条相似的鱼A、B的长分别为10cm和13cm,即B对于A的相似比是13/10,则体积之比就是133/103=2193/1000=2.197;
而A是10元,B是15元,这样B对于A的价格比是15/10=1.5
这里,论体积B是A的2.197倍,但价格B才是A的1.5倍,很显然,买日比买A更合算。
说明这虽然是小强遇到的事,但在我们的日常生活中有时也会碰到,我们已经学习过“相似形面积比”的知识,如果再有“立体相似”的知识,遇到这类问题就不会感到困难了。
练习
1.如图,一人拿着一支刻有厘米分划的小尺,他站在距电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约12个分划恰好遮住电线杆,已知臂长约60厘米,求电线杆的高。
2.射击瞄准时,要求枪的标尺缺口上沿中央A、准星尖B和瞄准点C在一条直线上(下图),这样才能命中目标。
已知某种冲锋枪基线AB长38.5cm(下图),如果射击距离AC=100m,当准星尖在缺口内偏差BB’为1mm时,弹着偏差CC’是多少(BB’∥CC’)?
经典题解
例1:
假设学生座位到黑板的距离是5米,老师在黑板上写字,究竟要写多大,才能使学生望去时,同他书桌相距30厘米的课本字感觉相同(即视角相同)?
分析
看黑板上的字和看课本的字有远与近的区别,若双眼去看,有一个调整视力焦距的问题,现在考虑二者的视角相等,要视角相等,只要两三角形相似。
解:
量得几何课本正文字的大小为0.4cmX0.35cm(高X宽)。
如图,假设看垂直课本和垂直黑板上一个字的视角相等,于是有
△OAB∽△OA’B’
则
=
即AB=
这里OC=5m=500cm,OC’=30cm
字高度A’B’=0.4cm,AB=500*0.4/30≈7
字宽度:
A’B’=0.35cm,AB=500*0.35/30≈6
因此,老师的黑板字大小应为7cm*6cm(宽*高)。
说明相似三角形对应线段之比等于相似比,这一性质应用较多。
例如利用影长计算大树或建筑物的高度;利用某种物质的固定长度,计算该物体与观测者的距离等等。
例2大江的一侧有甲、乙两个工厂,它们有垂直于江边的小路,长度分别为m千米及n千米.设两条小路相距L千米。
现在要在江边建立一个抽水站,把水送到甲、乙两厂去,欲使供水管路最短,抽水站应建在哪里?
解如图所示,AD垂直于江边于D,BE垂直江边于E,则AD=m千米,BE=n千米,DE=L千米。
延长BE至F,使EF=BE。
连接AF交DE于C,则在C点建抽水站,到甲、乙两厂的供水管路AC+CB为最短。
设CE=X千米,因为Rt△ADC∽Rt△FEC,
所以CD/CE=AD/EF,即x/(l-x)=m/n,
解得x=ml/(m+n)千米
说明此题用其它方法远不及几何解法简单、明确。
例3如图,工地上两根电灯杆相距L米,分别在高为4米、6米的A、C处用铁丝将两杆固定,求铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高MH。
解设MH=x米,BH=m米,DH=n米,则
L=m+n
由于△BMH∽△BCD,△DMH∽△DAB,
故有x/6=m/L,x/4=n/L
由此推得x=2.4米
所以交点M处离地面的高为2.4米。
说明
(1)答案与L无关,可任意取定L的几个不同的长度,画出图形进行验证。
(2)若令AB=h1,CD=h2则1/x=1/h1+h1/h2,即X=h1h2/(h1+h2)
例5例4一条笔直的公路L穿过草原,公路边有一卫生站A,距离公路30千米的地方有一居民点B,A、B的直线距离是90千米(如图).有一天,某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点B,汽车在公路上的最快速度是60千米/时,而在草地上的最快速度是30千米/时.问该司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短?
最短时间是多少?
分析虽然A、B间的最短路线是线段AB,但由于草地上的车速较慢(需3小时),如果利用一段公路,即使路途长了,而时间有可能缩短(如先从公路上开到C,再从C开到B只需2.414小时),那么在何处离开公路最好呢?
假设在P处离开公路,从草地开往B,行车时间最短。
由于公路上速度是草地上速度的2倍,设想把公路上行驶路程变为草地上行驶路程。
过A作∠CAE=30°,过P作PF⊥AE于F则PF=1/2AP,这样转化后,行车所需时间相当于草地行车程为(BP十PF)所需的时间,但从B点到定射线AE的最短线是垂线段BE,BE交AC于D,因此,P点应与D点重合(否则BP十PF>BD十DE)。
解过A作∠CAE=30°,过B作射线AE的垂线段BE交AC于D,D点就是应离开公路的地点,因此,所行路线为AD十DB。
又因为BE⊥AE、BC⊥AC,所以∠DBC=∠DAE=30°,BC=30,AB=90,
则AC=
=60
DC=10
AD=60
一10
BD=20
DE=30
一5
所以最短行车时间为(BD+DE)/30=(30
+15
)/30=
+
/2
说明当AB>2AC时,情况会有变化,请同学们自己讨论。
例5黄金矩形(宽与长之比成黄金比)是一种特殊的矩形,被古希腊人认为是最美的矩形,如图是一幢房子的正面视图,房顶是一个三角形,下面就是一个黄金矩形。
如果从一个黄金矩形中取走一个正方形,(如图),那么剩下的是一个什么样的矩形?
说明本题选自英国《世纪数学教材》,结论很明显,请读者自己研究。
例7例6 某出版社一位编辑在设计一本书的封面时,想把封面划分为四个矩形,其中左上角矩形与右下角矩形相似(如图),以给人一种和谐的感觉,这样的两个相似矩形怎样画出来?
分析在封面矩形ABCD中(如图),我们先作出一条横向分割线EF,此时要作出纵向分割线GH,使矩形AEPG相似于矩形PHCF,关健要确定两条分割线的交点P.当然利用相似比EP/PF=AE/CF=AE/EB,可以算出或画出EP来.但是在设计时,两相似矩形的大小会根据不同需要而改变,每次都计算就很麻烦,能不能找到更好的方法呢?
如果能找到P点位置的规律就更好了。
现在假设两个相似的矩形已经作出来了,如图连结AP、PC,则AE/CF=EP/FP(对应边成比例),∠AEP=∠CFP=90°(对应角相等),
于是△AEP∽△CFP,
便有∠APE=∠CPF。
这样,A、P、三点共线,即P点必在对角线AC上。
解作对角线AC,在AC上根据需要取一点P,过P作EF∥BC,作GH∥AB,则矩形AEPG和矩形CFPH就是两个相似的矩形。
因为矩形AEPG和矩形CFPH的每一个内角都是直角,
又由AE∥FC,AG∥CH,可得AE/CF=EP/FP=AP/CP,PG/PH=GA/HC=AP/CP,
于是AE/CF=EP/FP=PG/PH=GA/HC,
所以矩形AEPG∽矩形CFPH.
说明这样的封面设计还可以进一步推广:
2、1、 该编辑又想改矩形为四边形,便过对角线上一点P,尝试着画了两斜线分别与两组对边相交于E、F和G、H(如图)这样仍有四边形AEPG∽四边形CFPH,你想想为什麽?
2、如图在平行四边形ABCD中,对角线AC上任一点P,作两条直线分别与两组对边相交于E、F和和G、H,这时EG与HF有何关系?
图中有哪些是相似形?
总之,生活或工作中的许多问题,都存在一定的数学规律,就看你是不是去留心、去思考了。
例6暑假里,小强帮母亲到鱼店去买鱼。
鱼店里有一种“竹篓鱼”,个个都长得非常相似,现有大小两种不同的价钱,如图所示,鱼长10cm的每条10元;鱼长13cm的每条15元,小强不知道买哪种更好些,你们看怎么办?
分析这里要用到“立体相似”的知识,两个相似的立体,若相似比(对应线段长度之比)为m/n,则体积之比是m3/n3.
解设两条相似的鱼A、B的长分别为10cm和13cm,即B对于A的相似比是13/10,则体积之比就是133/103=2193/1000=2.197;
而A是10元,B是15元,这样B对于A的价格比是15/10=1.5
这里,论体积B是A的2.197倍,但价格B才是A的1.5倍,很显然,买日比买A更合算。
说明这虽然是小强遇到的事,但在我们的日常生活中有时也会碰到,我们已经学习过“相似形面积比”的知识,如果再有“立体相似”的知识,遇到这类问题就不会感到困难了。
练习
1.如图,一人拿着一支刻有厘米分划的小尺,他站在距电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约12个分划恰好遮住电线杆,已知臂长约60厘米,求电线杆的高。
2.射击瞄准时,要求枪的标尺缺口上沿中央A、准星尖B和瞄准点C在一条直线上(下图),这样才能命中目标。
已知某种冲锋枪基线AB长38.5cm(下图),如果射击距离AC=100m,当准星尖在缺口内偏差BB’为1mm时,弹着偏差CC’是多少(BB’∥CC’)?
经典题解
例1:
假设学生座位到黑板的距离是5米,老师在黑板上写字,究竟要写多大,才能使学生望去时,同他书桌相距30厘米的课本字感觉相同(即视角相同)?
分析
看黑板上的字和看课本的字有远与近的区别,若双眼去看,有一个调整视力焦距的问题,现在考虑二者的视角相等,要视角相等,只要两三角形相似。
解:
量得几何课本正文字的大小为0.4cmX0.35cm(高X宽)。
如图,假设看垂直课本和垂直黑板上一个字的视角相等,于是有
△OAB∽△OA’B’
则
=
即AB=
这里OC=5m=500cm,OC’=30cm
字高度A’B’=0.4cm,AB=500*0.4/30≈7
字宽度:
A’B’=0.35cm,AB=500*0.35/30≈6
因此,老师的黑板字大小应为7cm*6cm(宽*高)。
说明相似三角形对应线段之比等于相似比,这一性质应用较多。
例如利用影长计算大树或建筑物的高度;利用某种物质的固定长度,计算该物体与观测者的距离等等。
例2大江的一侧有甲、乙两个工厂,它们有垂直于江边的小路,长度分别为m千米及n千米.设两条小路相距L千米。
现在要在江边建立一个抽水站,把水送到甲、乙两厂去,欲使供水管路最短,抽水站应建在哪里?
解如图所示,AD垂直于江边于D,BE垂直江边于E,则AD=m千米,BE=n千米,DE=L千米。
延长BE至F,使EF=BE。
连接AF交DE于C,则在C点建抽水站,到甲、乙两厂的供水管路AC+CB为最短。
设CE=X千米,因为Rt△ADC∽Rt△FEC,
所以CD/CE=AD/EF,即x/(l-x)=m/n,
解得x=ml/(m+n)千米
说明此题用其它方法远不及几何解法简单、明确。
例3如图,工地上两根电灯杆相距L米,分别在高为4米、6米的A、C处用铁丝将两杆固定,求铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高MH。
解设MH=x米,BH=m米,DH=n米,则
L=m+n
由于△BMH∽△BCD,△DMH∽△DAB,
故有x/6=m/L,x/4=n/L
由此推得x=2.4米
所以交点M处离地面的高为2.4米。
说明
(1)答案与L无关,可任意取定L的几个不同的长度,画出图形进行验证。
(2)若令AB=h1,CD=h2则1/x=1/h1+h1/h2,即X=h1h2/(h1+h2)
例6例4一条笔直的公路L穿过草原,公路边有一卫生站A,距离公路30千米的地方有一居民点B,A、B的直线距离是90千米(如图).有一天,某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点B,汽车在公路上的最快速度是60千米/时,而在草地上的最快速度是30千米/时.问该司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短?
最短时间是多少?
分析虽然A、B间的最短路线是线段AB,但由于草地上的车速较慢(需3小时),如果利用一段公路,即使路途长了,而时间有可能缩短(如先从公路上开到C,再从C开到B只需2.414小时),那么在何处离开公路最好呢?
假设在P处离开公路,从草地开往B,行车时间最短。
由于公路上速度是草地上速度的2倍,设想把公路上行驶路程变为草地上行驶路程。
过A作∠CAE=30°,过P作PF⊥AE于F则PF=1/2AP,这样转化后,行车所需时间相当于草地行车程为(BP十PF)所需的时间,但从B点到定射线AE的最短线是垂线段BE,BE交AC于D,因此,P点应与D点重合(否则BP十PF>BD十DE)。
解过A作∠CAE=30°,过B作射线AE的垂线段BE交AC于D,D点就是应离开公路的地点,因此,所行路线为AD十DB。
又因为BE⊥AE、BC⊥AC,所以∠DBC=∠DAE=30°,BC=30,AB=90,
则AC=
=60
DC=10
AD=60
一10
BD=20
DE=30
一5
所以最短行车时间为(BD+DE)/30=(30
+15
)/30=
+
/2
说明当AB>2AC时,情况会有变化,请同学们自己讨论。
例5黄金矩形(宽与长之比成黄金比)是一种特殊的矩形,被古希腊人认为是最美的矩形,如图是一幢房子的正面视图,房顶是一个三角形,下面就是一个黄金矩形。
如果从一个黄金矩形中取走一个正方形,(如图),那么剩下的是一个什么样的矩形?
说明本题选自英国《世纪数学教材》,结论很明显,请读者自己研究。
例8例6 某出版社一位编辑在设计一本书的封面时,想把封面划分为四个矩形,其中左上角矩形与右下角矩形相似(如图),以给人一种和谐的感觉,这样的两个相似矩形怎样画出来?
分析在封面矩形ABCD中(如图),我们先作出一条横向分割线EF,此时要作出纵向分割线GH,使矩形AEPG相似于矩形PHCF,关健要确定两条分割线的交点P.当然利用相似比EP/PF=AE/CF=AE/EB,可以算出或画出EP来.但是在设计时,两相似矩形的大小会根据不同需要而改变,每次都计算就很麻烦,能不能找到更好的方法呢?
如果能找到P点位置的规律就更好了。
现在假设两个相似的矩形已经作出来了,如图连结AP、PC,则AE/CF=EP/FP(对应边成比例),∠AEP=∠CFP=90°(对应角相等),
于是△AEP∽△CFP,
便有∠APE=∠CPF。
这样,A、P、三点共线,即P点必在对角线AC上。
解作对角线AC,在AC上根据需要取一点P,过P作EF∥BC,作GH∥AB,则矩形AEPG和矩形CFPH就是两个相似的矩形。
因为矩形AEPG和矩形CFPH的每一个内角都是直角,
又由AE∥FC,AG∥CH,可得AE/CF=EP/FP=AP/CP,PG/PH=GA/HC=AP/CP,
于是AE/CF=EP/FP=PG/PH=GA/HC,
所以矩形AEPG∽矩形CFPH.
说明这样的封面设计还可以进一步推广:
3、1、 该编辑又想改矩形为四边形,便过对角线上一点P,尝试着画了两斜线分别与两组对边相交于E、F和G、H(如图)这样仍有四边形AEPG∽四边形CFPH,你想想为什麽?
2、如图在平行四边形ABCD中,对角线AC上任一点P,作两条直线分别与两组对边相交于E、F和和G、H,这时EG与HF有何关系?
图中有哪些是相似形?
总之,生活或工作中的许多问题,都存在一定的数学规律,就看你是不是去留心、去思考了。
例6暑假里,小强帮母亲到鱼店去买鱼。
鱼店里有一种“竹篓鱼”,个个都长得非常相似,现有大小两种不同的价钱,如图所示,鱼长10cm的每条10元;鱼长13cm的每条15元,小强不知道买哪种更好些,你们看怎么办?
分析这里要用到“立体相似”的知识,两个相似的立体,若相似比(对应线段长度之比)为m/n,则体积之比是m3/n3.
解设两条相似的鱼A、B的长分别为10cm和13cm,即B对于A的相似比是13/10,则体积之比就是133/103=2193/1000=2.197;
而A是10元,B是15元,这样B对于A的价格比是15/10=1.5
这里,论体积B是A的2.197倍,但价格B才是A的1.5倍,很显然,买日比买A更合算。
说明这虽然是小强遇到的事,但在我们的日常生活中有时也会碰到,我们已经学习过“相似形面积比”的知识,如果再有“立体相似”的知识,遇到这类问题就不会感到困难了。
练习
1.如图,一人拿着一支刻有厘米分划的小尺,他站在距电线
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