北师大版六年级数学下册正比例和反比例含试题和答案.docx
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北师大版六年级数学下册正比例和反比例含试题和答案
年级
六年级
科目
数学
主讲老师
【同步教育信息】
一、本周主要内容
正比例和反比例
二、本周学习目标
1、使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量,能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
2、使学生初步认识正比例的图像是一条直线,能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线,能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。
3、使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中,初步体会数量之间相依互变的关系,感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型,进一步提升思维水平。
4、使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系,增强探索数学知识和规律的意识,养成积极主动地参与学习活动的习惯,提高学好数学的信心。
三、考点分析
1、两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。
如果这两种量中相对应的两个数的比的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们之间的关系叫做正比例关系。
如果用字母x和y分别表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,正比例关系可以用这样的式子来表示:
=K(一定)。
2、用“描点法”可以得到正比例的图像,正比例的图像是一条直线。
对照图像,能根据一种量的值,估计另一种量相对应的值。
3、两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。
如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们之间的关系叫做反比例关系。
如果用字母x和y分别表示两种相关联的量,用k表示它们的积,反比例关系可以用这样的式子来表示:
xy=K(一定)。
4、两个变量的比值一定,这两个变量成正比例;两个变量的积一定,这两个变量成反比例;没有上述两种关系,这两个变量不成比例。
【典型例题】
例1、(正比例的意义)一列火车行驶的时间和路程如下表。
这两种量有什么关系?
时间/时
1
2
3
4
5
6
……
路程/千米
120
240
360
480
600
720
……
分析与解:
(1)从上表可以看出,表中有时间和路程两种量。
(2)从左往右看,时间扩大,路程也扩大;从右往左看,时间缩小,路程也缩小。
所以它们是两种相关联的量。
(3)路程和时间的比值始终不变,
=120,
=120,
=120……这个比值就是火车的行驶速度。
通过观察和计算,我们对路程和时间的关系有两点发现:
第一点路程和时间是两种相关联的量,也就是时间变化,路程也随着变化;第二点路程和对应的时间的比的比值(也就是速度)是一定的,有这样的关系:
=速度(一定)。
具备了这两个条件,我们就可以得到结论:
行驶的路程和时间成正比例关系;行驶的路程和时间成正比例的量。
点评:
判断两种量是不是成正比例,分三步:
一看它们是不是相关联的两种量;二是看一种量变化,另一种量是不是也随着变化;满足了前面两个条件,再看它们的比值是否一定。
不要省去任何一步。
如果用字母x和y分别表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,正比例关系可以用这样的式子来表示:
=K(一定)。
例2、(判断是否成正比例)练习本的单价一定,买练习本的数量和总价是不是成正比例?
为什么?
分析与解:
根据正比例的意义,看两个变量的比值是否一定,如果两个变量的比值一定,那么这两个变量就成正比例,反之,则不成正比例。
买练习本的数量和总价是两种相关联的量,它们与练习本的单价有下面的关系:
=练习本的单价(一定)
所以练习本的数量和总价成正比例。
例3、(正比例的图像)磁悬浮列车匀速行驶时,路程与时间的关系如下。
时间/分
1
2
3
4
5
6
7
……
路程/千米
7
14
21
28
35
42
49
……
(1)图中的点A表示时间为1分钟时,磁悬浮列车驶过的路程为7千米。
请你试着描出其他各点。
(2)连接各点,它们在一条直线上吗?
(3)根据图像判断,列车运行2分半钟时,行驶的路程是多少千米?
行驶30千米大约需要几分钟?
路程/千米
42
35
28
21
14
7●A
0
1234567时间/分
分析与解:
根据提供的各组数据描出图像的许多个点,再依次连成直线。
路程和时间相对应的数的比值都是7,即速度一定,路程和时间成正比例,图像是一条直线。
对照图像,可以根据时间的值估计出路程的值,也可以根据路程的值估计出时间的值,估计时允许有一定的出入。
(1)描点、连线如图。
路程/千米
42●
35●
28●
21●
14●
7●A
0
1234567时间/分
(2)在一条直线上,因为路程和时间成正比例,正比例的图像是一条直线。
(3)根据图像,列车运行2分半钟时,行驶的路程是17.5千米;行驶30千米大约需要4.3分钟。
例4、(辨析)圆的周长和直径成正比例,圆的面积和半径成正比例?
分析与解:
圆的周长和直径成正比例,而圆的面积和半径却不成正比例。
可列表判断。
半径/cm
1
2
3
4
5
6
……
直径/cm
2
4
6
8
10
12
……
周长/cm
6.28
12.56
18.84
25.12
31.4
37.68
……
面积/cm²
3.14
12.56
28.26
50.24
78.5
113.04
……
圆的周长和直径的相对应的数的比值都是3.14,所以圆的周长和直径成正比例。
而圆的面积和半径的相对应的数的比值是变化的,所以圆的面积和半径不成正比例。
圆的周长和直径成正比例,圆的面积和半径却不成正比例。
例5、(反比例的意义)下表是王师傅加工一批零件时,每小时加工零件个数随时间变化的情况。
这两种量有什么关系?
每小时加工零件的个数/个
20
30
40
60
80
……
加工的时间/时
12
8
6
4
3
……
分析与解:
(1)从上表可以看出,表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。
(2)从左往右看,每小时加工零件的个数扩大,加工的时间反而缩小;从右往左看,每小时加工零件的个数缩小,加工的时间反而扩大。
所以它们是两种相关联的量。
(3)每小时加工零件的个数和相对应的加工的时间的积都始终不变,如20×12=240,30×8=240,40×6=240……而这个积就是这批零件的总个数。
通过观察和计算,我们发现:
每小时加工零件的个数和加工的时间是两种相关联的量,每小时加工零件的个数随着加工的时间变化而变化,但无论它们怎么变化,相对应的积是一定的,有这样的关系:
每小时加工零件的个数×加工的时间=零件的总个数(一定)。
所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量,它们之间的关系叫做反比例关系。
点评:
判断两种量是不是成反比例,和正比例一样,分三步:
一看它们是不是相关联的两种量;二是看一种量变化,另一种量是不是也随着变化;满足了前面两个条件,再看它们的乘积是否一定,进行判断。
不要省去任何一步。
如果用字母x和y分别表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,正比例关系可以用这样的式子来表示:
xy=K(一定)。
例6、(判断是否成反比例)总产量一定,每公顷的产量和公顷数是不是成反比例?
为什么?
分析与解:
根据反比例的意义,看两个变量的乘积是否一定,如果两个变量的积一定,那么这两个变量就成反比例,反之,则不成反比例。
每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量,它们与总产量有下面的关系:
每公顷的产量×公顷数=总产量(一定)
所以每公顷的产量和公顷数成反比例。
例7、(辨析)和一定,一个加数和另一个加数成反比例。
分析与解:
判断两个变量是否成反比例,关键是看两个变量的乘积是否一定。
很明显,和一定,两个加数的积是变化的,所以它们不成反比例。
和一定,一个加数和另一个加数不成反比例。
因为它们的积不一定。
点评:
有些相关联的量,虽然也是一种量变化,另一种量也随着变化,但它们不是积一定,也不是比值一定,它们就不成比例。
像这样的还有:
人的跳高高度和身高;减数一定,被减数和差等。
例8、(综合题1)
(1)长方形的面积一定,长和宽成反比例吗?
为什么?
(2)长方形的周长一定,长和宽成反比例吗?
为什么?
分析与解:
判断时可以用列表的方式列举数据,也可以根据计算的公式来推导。
(1)因为长方形的长×宽=长方形的面积(一定),所以长和宽成反比例。
(2)长方形的周长=(长+宽)×2,长方形的周长一定,长+宽的和一定,但不是积一定,所以长和宽不成反比例。
例9、(综合题2)分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中,每两种量的比例关系。
(1)大米的总千克数一定,每天吃的千克数和天数;
(2)每天吃的千克数一定,大米的总千克数和天数;
(3)天数一定,大米的总千克数和每天吃的千克数。
分析与解:
在大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中,当某一种量一定时,另外两种量可能成正比例关系,也可能成反比例关系。
可以根据数量关系式来判断。
(1)因为每天吃的千克数×天数=大米的总千克数(一定),所以大米的总千克数一定时,每天吃的千克数和天数成反比例。
(2)因为
=每天吃的千克数(一定),所以每天吃的千克数一定时,大米的总千克数和天数成正比例。
(3)因为
=天数(一定),所以天数一定时,大米的总千克数和每天吃的千克数成正比例。
【模拟试题】
1、仔细观察每张表格,思考表格中两种量之间有关系吗?
有什么关系?
为什么?
表格1
数量/本
1
3
6
8
10
20
……
总价/元
4
12
24
32
40
80
……
表格2
单价/元
1.5
2
3
4
5
6
……
总价/元
6
8
12
16
20
24
……
表格3用60元钱购买笔记本,笔记本的单价和可以购买的数量如下表:
单价/元
1.5
2
3
4
5
6
……
数量/本
40
30
20
15
12
10
……
2、用一批纸装订练习本,每本25页,可以装订400本。
如果要装订500本,每本有X页。
题中()量一定,关系式:
()○()=()(一定),()和()成()比例。
3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺,需要640块。
如果改用边长0.4米的正方形地砖,需要Y块。
题中()量一定,关系式:
()○()=()(一定),()和()成()比例。
4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中
当底面周长一定时,()与()成()比例;
当高一定时,()与()成()比例;
当侧面积一定时,()与()成()比例。
5、在被除数、除数、商这三种量中,
当()一定时,()与()成正比例;
当()一定时,()与()成反比例;
6、当a×b=c(a、b、c为三种量,且均不为0)。
()一定,()与()成()比例;
()一定,()与()成()比例;
()一定,()与()成()比例;
7、判断。
(1)、工作总量一定,工作效率和工作时间成反比例。
()
(2)、图上距离和实际距离成正比例。
()
(3)、X和Y表示两种变化的相关联的量,同时5X-7Y=0,X和Y不成比例。
()
(4)、分数的大小一定,它的分子和分母成正比例。
()
(5)、在一定的距离内,车轮周长和它转动的圈数成反比例。
()
(6)、两种相关联的量,不成正比例,就成反比例。
()
(7)订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。
()
(8)在400米赛跑中,跑步的速度和所用时间成反比例。
()
(9)工作总量一定,已完成的量和未完成的量成反比例。
()
(10)正方体的棱长和体积成正比例。
()
(11)被除数一定,除数和商成反比例。
()
(12)圆的周长和它的直径成正比例。
()
8、判断下面每题中的两种量是不是成比例,如果成比例,成什么比例。
(1)、装配一批电视机,每天装配台数和所需的天数()。
(2)、正方形的边长和周长()。
(3)、水池的容积一定,水管每小时注水量和所用时间()。
(4)、房间面积一定,每块砖的面积和铺砖的块数()。
(5)、在一定时间里,加工每个零件所用的时间和加工零件的个数()。
(6)、在一定时间里,每小时加工零件的个数和加工零件的个数()。
9、思考:
明明三岁时体重12千克,十一岁时体重44千克。
于是小张就说:
“明明的体重和身高成正比例。
”你认为小张的说法对吗?
为什么?
10、某造纸厂每小时造纸1.5吨,2小时、3小时┈┈各造纸多少吨?
(1)把下表填写完整。
造纸时间/时
1
2
3
4
……
造纸吨数/吨
1.5
……
(2)根据表中的数据,在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点,再把它们连起来。
吨数/吨
6
5
4
3
2
1
0
1234567时间/时
(3)造纸吨数与造纸时间成正比例吗?
为什么?
(4)根据图像判断,5小时造纸多少吨?
【试题答案】
1、仔细观察每张表格,思考表格中两种量之间有关系吗?
有什么关系?
为什么?
表格1
数量/本
1
3
6
8
10
20
……
总价/元
4
12
24
32
40
80
……
=4,
=4,
=4……
因为
=单价(一定),所以单价一定时,总价和数量成正比例。
表格2
单价/元
1.5
2
3
4
5
6
……
总价/元
6
8
12
16
20
24
……
=4,
=4,
=4……
因为
=数量(一定),所以数量一定时,总价和单价成正比例。
表格3用60元钱购买笔记本,笔记本的单价和可以购买的数量如下表:
单价/元
1.5
2
3
4
5
6
……
数量/本
40
30
20
15
12
10
……
1.5×40=60,2×30=60,4×15=60……
因为单价×数量=总价(一定),所以总价一定时,单价和数量成反比例。
2、用一批纸装订练习本,每本25页,可以装订400本。
如果要装订500本,每本有X页。
题中(纸的总页数)量一定,关系式:
(每本页数)×(装订本数)=(纸的总页数)(一定),(每本页数)和(装订本数)成(反)比例。
3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺,需要640块。
如果改用边长0.4米的正方形地砖,需要Y块。
题中(会客室地面面积)量一定,关系式:
(每块砖的面积)×(砖的块数)=(会客室地面面积)(一定),(每块砖的面积)和(砖的块数)成(反)比例。
4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中
当底面周长一定时,(侧面积)与(高)成(正)比例;
当高一定时,(侧面积)与(底面周长)成(正)比例;
当侧面积一定时,(底面周长)与(高)成(反)比例。
5、在被除数、除数、商这三种量中,
当(除数)一定时,(被除数)与(商)成正比例;
当(被除数)一定时,(除数)与(商)成反比例;
6、当a×b=c(a、b、c为三种量,且均不为0)。
(c)一定,(a)与(b)成(反)比例;
(a)一定,(c)与(b)成(正)比例;
(b)一定,(c)与(a)成(正)比例;
7、判断。
(1)、工作总量一定,工作效率和工作时间成反比例。
(√)
(2)、图上距离和实际距离成正比例。
(×)
(3)、X和Y表示两种变化的相关联的量,同时5X-7Y=0,X和Y不成比例。
(×)
(4)、分数的大小一定,它的分子和分母成正比例。
(√)
(5)、在一定的距离内,车轮周长和它转动的圈数成反比例。
(√)
(6)、两种相关联的量,不成正比例,就成反比例。
(×)
(7)订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。
(√)
(8)在400米赛跑中,跑步的速度和所用时间成反比例。
(√)
(9)工作总量一定,已完成的量和未完成的量成反比例。
(×)
(10)正方体的棱长和体积成正比例。
(×)
(11)被除数一定,除数和商成反比例。
(√)
(12)圆的周长和它的直径成正比例。
(√)
8、判断下面每题中的两种量是不是成比例,如果成比例,成什么比例。
(1)、装配一批电视机,每天装配台数和所需的天数(反比例)。
(2)、正方形的边长和周长(正比例)。
(3)、水池的容积一定,水管每小时注水量和所用时间(反比例)。
(4)、房间面积一定,每块砖的面积和铺砖的块数(反比例)。
(5)、在一定时间里,加工每个零件所用的时间和加工零件的个数(反比例)。
(6)、在一定时间里,每小时加工零件的个数和加工零件的个数(正比例)。
9、思考:
明明三岁时体重12千克,十一岁时体重44千克。
于是小张就说:
“明明的体重和身高成正比例。
”你认为小张的说法对吗?
为什么?
答:
小张的说法是错误的,体重和身高不是两种相关联的量,体重和身高不成比例。
10、某造纸厂每小时造纸1.5吨,2小时、3小时┈┈各造纸多少吨?
(1)把下表填写完整。
造纸时间/时
1
2
3
4
……
造纸吨数/吨
1.5
3
4.5
6
……
(2)根据表中的数据,在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点,再把它们连起来。
吨数/吨
6●
5
4
3●
2
1
0
1234567时间/时
(3)造纸吨数与造纸时间成正比例吗?
为什么?
因为
=每小时造纸吨数(一定),所以每小时造纸吨数一定时,造纸吨数与造纸时间成正比例。
(4)根据图像判断,5小时造纸多少吨?
根据图像判断,5小时造纸7.5吨
北师大版六年级数学下册总复习
(二)
一、填一填。
(每空1分,共24分)
1.在同一个平面内两条直线的位置关系有( )和( )两种情况。
2.
如右图,有( )个锐角,( )个钝角,( )个直角。
3.一个三角形的三条边都是整厘米数,已知其中的两条边分别是5cm和8cm,那么第三条边最长是( )cm,最短是( )cm。
4.一个圆形纸片的周长是12.56cm,把它平均分成两个半圆,每个半圆的周长是( )cm。
5.一个长方体和一个圆锥的底面积和高都相等,它们的体积相差18cm3,这个长方体的体积是( )cm3,圆锥的体积是( )cm3。
6.明鸣看乐乐是在南偏东45°的方向上,乐乐看明鸣就是在( )45°的方向上。
7.把两个完全一样的正方体拼成一个长方体,表面积比原来减少了约( )%。
(百分号前保留一位小数)
8.一个正方形的边长是4cm,它的周长是( ),面积是( )。
如果在这个正方形内画一个最大的圆,那么这个圆的周长是( ),面积是( )。
9.用一根铁丝刚好围成一个边长为6cm的正方形,如果把它拉成一个平行四边形,面积减少6cm2,拉成的平行四边形的高是( )cm。
10.
如右图,把平行四边形沿高剪开,再把三角形向右平移( )cm,可以得到一个长方形。
11.把一个高为3cm的圆柱平均分成若干份后,正好可以拼成一个与它等底等高的近似长方体,这个长方体的宽是4cm,长是( )cm,原来圆柱的体积是( )cm3。
12.圆的周长缩小到原来的
,那么圆的面积缩小到原来的( )。
13.
一个直角三角形,三条边的比是3∶4∶5,已知它的周长是36cm,它的面积是( )cm2,斜边上的高是( )cm。
14.如右图,已知正方形的面积是9cm2,这个圆的面积是( )cm2。
二、判一判。
(每题1分,共5分)
1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱底面直径与高的比是1∶π。
( )
2.把一个石块投入盛有水的容器里,溢出的水的体积就是石块的体积。
( )
3.用8个小正方体拼成一个大正方体,拿走一个小正方体后表面积一定不变。
( )
4.用一副三角板可以拼成105°的角。
( )
5.两个等底等高的三角形一定能拼成一个平行四边形。
( )
三、选一选。
(每题2分,共14分)
1.下列图案中,对称轴条数最多的是( )。
2.用一条长16cm的铁丝围成一个长方形,如果长和宽都是质数,它的面积是( )cm2。
A.6B.10C.15D.21
3.一个圆环,它的外圆直径是内圆直径的2倍,这个圆环与内圆的面积相比,( )。
A.圆环的面积大B.圆环的面积小
C.面积相等D.不能确定大小
4.学校组织看电影,小芳坐在(1,4)的位置,小欣坐在(1,2)的位置,小明的位置与她俩的位置在同一条直线上,小明可能坐在( )的位置上。
A.(1,3)B.(3,4)C.(2,4)D.(2,3)
5.把一个长是14cm,宽是5cm,高是8cm的长方体切成两个长方体,下面( )中的切法增加的表面积最大。
6.将下图折成一个正方体后,与“2”相对的面上的数字是( )。
A.6B.4C.5D.无法确定
7.一个减法算式中,被减数、减数、差的和是80,且差是减数的3倍,差是( )。
A.10B.20C.30D.60
四、画一画,填一填。
(1题8分,2题6分,3题3分,共17分)
1.
(1)画出把图中长方形绕A点顺时针旋转90°,再向下平移2格后的图形。
如果A点的位置用数对表示是(5,3),那么旋转平移后B点对应的点的位置用数对表示是( )。
(2)画出三角形按2∶1放大后的图形,放大后的三角形的面积是原来的( )倍。
2.根据右图中的信息填空并操作。
(1)少年宫在实验小学的( )方向( )m处。
(2)公园在实验小学的南偏西50°方向500m处,请在图上标出来。
(3)在红金龙大道东300m处有一条与红金龙大道平行的城东大道,请在图上标出来。
3.下图是一条乡村公路,如果从A,B两点各修一条水泥路与公路相通,并且使水泥路最短,该怎么修?
在图中画出来。
五、看图计算。
(1题4分,2题6分,共10分)
1.求右图中
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- 北师大 六年级 数学 下册 正比例 反比例 试题 答案
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