初三上学期圆知识点和典型基础例题复习.docx
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初三上学期圆知识点和典型基础例题复习
第三章:
圆
一、圆的概念
集合形式的概念:
1、圆可以看作是到徒点的距离等于立长的点的集合(平而上到泄点的距离等于立长的所有点
组成的图像叫做圆;
2、圆的外部:
可以看作是到泄点的距离大于左长的点的集合:
3、圆的内部:
可以看作是到泄点的距离小于左长的点的集合
轨迹形式的概念:
圆:
到左点的距离等于眾长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
圆的对称性:
圆是轴对称图形,英对称轴是任意一条过圆心的直线
圆弧(简称:
弧):
圆上任意两点的部分
弦:
连接圆上任意两点的线段(经过圆心的弦叫做直径)
如图所示,以A,B为端点的狐记做AB,读作:
“圆弧AB”或者“弧AB”;线段AB是00的一条弦,弦CD是。
O的一条直径:
【典型例题】
例1.有下列四个命题:
①直径是弦;②经过三个点一左可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等:
④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有().
A.4个B.3个C.2个D.1个
例2.点P到00上的最近距离为3cm,最远距离为5cm,则0O的半径为
二、点及圆的位置关系
1、点在圆内=>d
2、点在圆上=>d=r=>点3在圆上:
3、点在圆外=>d>r=>点A在圆外:
三、直线及圆的位置关系
4.圆及圆的位置关系
考查形式:
考査两圆的位程关系及数量关系(圆心距及两圆的半径)的对应,常以填空题或选择题的形式出现.题目常及图案、方程、坐标等进行综合
外离(图1)
=>无交点
=>d>R+rx
外切(图2)
=>有一个交点
=>d=R+rx
相交(图3)
=>有两个交点
=>R-r 内切(图4) =>有一个交点 =>d=R-r: 内含(图5) =>无交点 =>d 例.1、若两圆相切,且两圆的半径分別是2,3, 则这两个圆的圆心距是( B.1 C・1或5 D・1或4 2、若两圆半径分别为*和r 圆心距为也且斤+/—£=2斤d,则两圆的位置关系是( A.内切 B.外切 C.内切或外切 D.相交 3・若半径分别为6和4的两圆相切,贝IJ两圆的圆心距d的值是 【变式训练】 1、Oa和Oo的半径分别为1和4,圆心距aa=5,那么两圆的位置关系是() A.外离B.内含c.外切D.外离或内含 2、如果半径分别为lcm和2cm的两圆外切,那么及这两个圆都相切,且半径为3皿的圆的个数有() A.2个B.3个C.4个D.5个 3、已知: 00’和O0: 的半径是方程x2-5x+6=0的两个根,且两圆的圆心距等于5则00: 和00: 的位置关系是() A.相交B.外离C.外切D.内切 二.填空题 4・ (1)0Q和相切,0Q的半径为4cm,圆心距为60/2? 则的半径为; (2)0a和相切.0Q的半径为6血圆心距为4皿则€>Q的半径为 5.OQ、oa和。 a是三个半径为1的等圆,且圆心在同一直线上,若oa分别及©a,oa相交,oa及oa 不相交,则OQ及OQ圆心距/的取值范弗1是o 5.垂径定理 考查形式: 主要考查借助垂径左理的解决半径、弧、弦、弦心距之间的讣算和证明,填空题、选择题或解答题中都经常出现它的身影.解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距,构造直角三角形进行解决.A 垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧: (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦.并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个泄理,简称2推3妃理: 此泄理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ®AB是直径②ABLCD③CE=DE④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论1: 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即: 在00中,VAB//CD •••弧AC=弧3D 例1.如图23-10,AB是O0的直径,弦CD丄ABAE的长为() 例2、如图, O0的直径为10厘米,弦曲的长为6/M是弦朋上异于A、B的一动点, 则线段0"的长的取值范国是( A.疾5B.4W0疾5 C.3<6>J/<5 D.4 例3.如图,在00中,有折线OABC.H中OA=8,AB=\2,ZA=ZB=60°,则弦BC的长为()。 A.19B.16C.18D.20 【变式训练】 1、“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题: “今有圆材,埋在壁冲,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,间径几何”.用数学语言可表述为如图,CD为00的直径,弦AB丄CD于点E,CE=1寸,AB二10寸,则直径CD的长为() A・12・5寸B.13寸C.25寸D・26寸 图23-14 2、任直径为52cm的圆柱形汕桶内装入一些汕后,截而如图23-16所示,如果油的最 3.如图23-14,00的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上 一个动点,那么0P的长的取值范围是・ 4、O0的半径为10cm,弦AB〃CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB和CD的距离为() A.2cmB.14cm C.2cm或14cmD.10cm或20cm 6. 圆心角定理 圆心角定理: 同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相 等。 此立理也称1推3左理,即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即: ①ZAOB=ZDOE;②AB=DE; ®OC=OFx④弧84=弧。 £ 7.圆周角定理 1、圆周角定理: 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即: •••ZAOB和ZAC3是弧AB所对的圆心角和圆周角 •••ZAOB=2ZACB 2、圆周角沱理的推论: 推论1: 在同圆或者等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等: 即: 在00中,TZC、ZD都是所对的圆周角 : 、ZC=ZD 推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角: 圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径(90的圆周角所对的弦是直径); 即: 在00中,•••AB是直径或•・・ZC=90。 AZC=90°/.AB是直径 例1.如图,A、B、C是O0上的三点,ZBAC二30° 则ZBOC的大小是() A.60°B.45°C.30°D.15° 2、如图,在00中,已知ZACB=ZCDB=60°•AC=3, 则AABC的周长是・ 【变式训练】 1•如图,在00中,弦AB=1.8m,圆周角ZACB二30°,则00的直径等于cm. 2•如图,O0内接四边形ABCD中,AB二CD 则图中和Z1相等的角有 3. 用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,根据图所表示的情形,四个工件哪一个肯左是半圆环形() 4.00的半径是5,AB、CD为00的两条弦,且AB〃CD・AB二6,CD=8,求AB及CD之间的距离. 八、圆内接四边形圆的内接四边形左理: 圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即: 在0O中, •・•四边形ABCD是内接四边形 : .ZC+ABAD=180°ZB+ZD=180° ZDAE=ZC 例1•如图,四边形ABCD内接于00,若ZB0D=100°, 则ZDAB的度数为() A.50°B.80°C.100°D.130° 2•如图,四边形ABCD为00的内接四边形,点E在CD的延长线上,如果ZBOD二120°,那么ZBCE等于() A.30°B.60°C.90°D.120° 九、切线的性质及判泄左理 考查形式: 对切线的判立和性质的考查是圆中常见的题目类型,常以解答题的形式出现.题目经常及翻折、旋转、平移等动态过程相结合,以探索的形式出现. (1)切线的判左立理: 过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件: 过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即: •••MN丄OA且过半径04外端 : ・MN是OO的切线 (2)性质泄理: 切线垂直于过切点的直径(如上图) 推论1: 过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2: 过切点垂直于切线的直线必过圆心。 即: ①过圆心: ②过切点: ③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 例1.如图,PA、PB是00的切线•切点分别为A.B,点C在 00上.如果ZP=50°,那么ZACB等于() A.40°B.50° C.65D.130' 2、如图,MP切00于点直线PO交00于点A.B,弦AC〃MP,求证: MO/7BC. 3、已知: 如图,AABC中,AC=BC,以BC为直径的00交AB于点D,过点D作DE丄AC于点E,交BC的延长线于点F.(10分) 求证: (1)AD=BD: (2)DF是00的切线. 课后习题: 1・已知一个圆的半径为3cm,另一个圆及它相切,且圆心距为2cm,则另一个圆的半径是() 4.髙速公路的隧道和桥梁最多.如图3是一个隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面 AB=10米, 净髙CD=7米, 则此圆的半径04二( ) -37 37 A.5 B.7 C.— D.— 5 7 5•如图5,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕A8的长为() A.2cmB.a/3cmC・2>/JcmD・2>/5cm 6•已知<90的半径为R,弦AB的长也是R,则ZA0B的度数是・ 7•如图6,43为00的直径,点C,D在00上,ZBAC=509则ZADC= 8•如图7,00中,0A丄BC,ZAOB=60。 则ZADC=. 9•如图8,00中,MAN的度数为320°,则圆周角ZMAN= 10. 如图12,AB为©0的直径,D是QO上的一点,过0点作AB的垂线交AD于点E,交BD的延长线于点C,F为CE上一点,且FD=FE. (1)请探究FD及OO的位置关系,并说明理由: (2) 若G»O的半径为2,BD=、/J,求BC的长. 11、如图,已知AB为00的直径,CD是弦,且AB丄CD于点E。 连接AC、OC、BC。 (1)求证: ZACO=ZBCDo (2)若EB二8,CD二24,求00的直径。 12•如图,00的直径AB二10,DE丄AB于点H,AH二2・ (1)求DE的长: (2)延长ED到P,过P作00的切线,切点为C, 若PC二22亦,求PD的长. 附加基础题: 1. 下列五个命题: (1)两个端点能够重合的弧是等弧: (2)圆的任意一条弧必左把 圆分成劣弧和优弧两部分: (3)经过平而上任意三点可作一个圆;(4)任意一个圆有且只有一个内接三角形;(5)三角形的外心到各顶点距离相等.其中真命题有(). A・1个B.2个C・3个D.4个 2.如图1,00外接于△ABC,AD为00的直径,ZABC二30°,则ZCAD=()・ A.30°B・40°C.50°D.60° 3. 0是AABC的外心,且ZABC+ZACB二100°,则ZBOC=()・ A.100°B.120°C.130°D.160° 4.如图2,ZkABC的三边分别切00于D,E,F,若ZA=50°,则ZDEF=()・ A.65°B・50°C.130°D.80° 5.RtAABC中,ZC二90°,AB二5,内切圆半径为1,则三角形的周长为(). A.15B・12C.13D.14 6.已知两圆的圆心距为3,两圆的半径分别是方程丘-4x+3二0的两根,那么这两个圆的位置关系是(). A.外离B.外切C.相交D.内切 7.00的半径为3cm,点M是00外一点,0M=4cm,则以M为圆心且及O0相切的圆的半径一泄是(). A・1cm或7cmB・lcmC・7cmD・不确定 8.一个扇形半径30cm,圆心角120°,用它作一个圆锥的侧而,则圆锥底而半径为(). A.5cmB・10cmC.20cmD.30cm 二、填空题. 1.O0中,弦MN把00分成两条弧,它们的度数比为4: 5,如果T为MN中点,则ZTM0二,则弦MN 所对的圆周角为. 2.00到直线L的距离为d,00的半径为R,当d,R是方程x=4x+in二0的根,且L及00相切时•m的值为. 3. 如图3,ZkABC三边及。 0分别切于D,E,F,已知AB二7cm,AC二5cm,AD二2cm,则 BC=・ 4.已知两圆外离,圆心距"12,大圆半径R二7,则小圆半径r的所有可能的正整数 值为. 十、切线长上理 切线长立理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即: -PA.PB是的两条切线 : .PA=PB PO平分ZBPA 例1、如图2,AABC的三边分别切00于D,E,F,若ZA=50°,则ZDEF二( A.65°B.50°C.130°D.80° 2、如图3,ZkABC三边及€>0分别切于D,E,F,已知AB二7cgAC二5cmAD二2cm, 则BC= 【变式训练】 3、如图,正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为( A.2B.2^3J厲D.3 4、如图,从点P向。 0引两条切线PA,PB,切点为A,B,AC为弦,BC为00的直径,若ZP二60°,PB=2cm,求AC的长. 十一、两圆公共弦立理 圆公共弦立理: 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图: 垂直平分A3。 即: •••00“00? 相交于A.B两点 AOp2垂直平分AB 十二、圆内正多边形的计算 (1)正三角形 在OO中4ABC是正三角形.有关计算在RtABOD中进行: OD: BD: OB=\: *: 2; (2)正四边形 同理,四边形的有关计算在Rt^OAE中进行,OE: AE: OA=1: 1: V2: (3)正六边形 同理,六边形的有关计算在R临OAB中进行,AB: OB: OA=i: ^-2. 例1、两等圆半径为5,圆心距为8,则公共弦长为. 例2、正六边形内接于圆.它的边所对的圆周角是() A.60°B.120°C.60或120D.30°或150° 例3、如图,O0是等边三角形ABC的外接圆,的半径为2,则等边三角形A3C的边长为() A.2、/5B・C・*D・2>/5 【变式训练】 K半径分别为8和6且圆心距为10的公共弦长为 2、如果圆的内接正六边形的边长为6cm,则其外接圆的半径为• 3、如图5,00的半径为少,ZkABC是O0的内接等边三角形,将ZkABC折叠,使点A落 在O0上,折痕EF平行BC,则EF长为 十三、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式(P132) Ar厂>25^p- 考查形式: 考査运用弧长公式(/=△)以及扇形而积公式(S=」一和 180360 S=-lr)进行有关的il•算,常以填空题或选择题的形式进行考查. 2 1、扇形: (1)弧长公式: 1=空; (2)扇形而积公式: S='^-=-lR 1803602 H: 圆心角/? : 扇形多对应的圆的半径/: 扇形弧长S: 扇形面积 2、圆柱: (1)圆柱侧而展开图 S&=S侧+2S底二2兀rh+Mr1 (2)圆柱的体积: V=nrh 3、圆锥: (2)圆锥侧面展开图 (1)S\,=S“(+=jtRf+7TK (2)圆锥的体积: V=-nrh 例: L已知扇形的圆心角为120°,弧长等于半径为5cm的圆的周长,则扇形的而积为() A^75cm: B、75^cm: C、150cm: D^150/Tcm, 例2、底而面积为髙为3的圆柱的表而积和体积分别为: 例3、圆锥的母线长5cm,底而半径长3cm,那么它的侧而展开图的圆心角是() A.180°B.200°C.225°D.216。 例4.AB为G>0的直径,点C在OO上,过点C作。 O的切线交的延长线于点D,已知ZD=30°.⑴求ZA的度数: ⑵若弦CF丄AB,垂足为&且CF=4V3,求图中阴影部分的而积.(15分) 【变式训练】 / 4 1.方格纸中4个小正方形的边长均为1,则图中阴影部分三个小扇形的而积 和为(结果保留兀)・ 2、已知00的半径为8cm,点A为半径0B的延长线上一点,射线AC切O0于点C,弧BC 8的长为—龙cm,求线段AB的长。 3 综合复习题: 1.下列命题中,正确命题的个数为()・ ①平分弦的直径垂直于弦;②圆周角的度数等于圆心角度数的一半;③90。 的圆周角所对的弦是直: ④圆周角相 等,则它们所对的弧相等. 3、如图1,四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形,A、B、O是小正方形顶点, 00的半径为2,P是0O上的点,且位于右上方的小正方形内,则ZAPB等于() A.30°B.45。 C・60°D・90。 4、一条弦把半径为8的圆分成长度为1: 2的两条弧,则这条弦长为( A、4巧B、8>/3C.8D.16 5、如图,以AB为直径的半圆O上有两点D、E,ED及BA的延长线 交于点C,且有DC=OE,若ZC=20°,则ZEOB的度数是() A.40°B.50°C.60°D.80c ) 6、在半径为1的圆中,弦AB、AC分别是苗和则ZBAC的度数为 1、如图,CD是00的直径,弦AB丄CD,连接OA,OB,BD.若ZAOB=100°,则ZABD=度. 8、如图,AB是。 0的直径,CD丄AB于点E,交00于点D,0F丄AC于点F. ZD=30°,BC=1,求圆中阴影部分的而积为: 9、如图,AB为半0O的直径,C为半圆弧的三等分点,过B,C两点的半QO的 切线交于点几若的长是则用的长 10、如图,PA.切00于A,3两点,CD切O0于点E,分别交PA.PB 及点C、D,若PA,PB的长是关于关于X的一元二次方程X? —〃! %+(加一1)=0的两个根,求血0的周长. 11、如图,在OM中,弧AB所对的圆心角为120°,已知圆的半径为2cm,并建立如图所示的直角坐标系,点C是y轴及弧AB的交点。 (1)求圆心H的坐标: (2)若点D是弦AB所对优弧上一动点,求四边形ACBD的最大而积 课后习题: 一、选择题: 1、下列说法正确的是() A.垂直于半径的直线是圆的切线B.经过三点一定可以作圆 C.圆的切线垂直于圆的半径D.每个三角形都有一个内切圆 2、两个半径不等的圆相切,圆心距为6cm,且大圆半径是小圆半径的2倍,则小圆的半径为() A.3B.4C.2或4D.2或6 3、已知圆锥的底而半径为3,髙为4,则圆锥的侧而积为()。 6、半径相等的圆内接正三角形.正方形.正六边形的边长之比为 C.V3: VI: 1D.3: 2: 1 7、在ZkABC中,AB是00的直径,ZB=60°,ZC=70°,则ZB0D的度数是・ 8、如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦A3是小圆的切线,点P为切点,且AB=4,OP=2,连 结Q4交小圆于点E,则扇形的而积为 9、如图0A,OB,0C两两不相交,且它们的半径都是0.5cm,则图中三个扇形的而积之和为() A.—an"B・—c〃广C.—cm"D・—cm 12864 10、如图,已知扇形OAB的半径为12,0A丄OB,C为0B上一点,以0A为直径的半圆0’和以BC为直径的半圆0: 相切于点D,则图中阴影部分的而积为: () A.6兀B.10兀C.12兀D.20% 11、矩形ABCD中,对角线AC=4,ZACB=30°,以直线AB为轴旋转一周得到圆柱的表而积是 12.扇形的圆心角度数60。 而积6n,则扇形的周长为 三.解答题: 13、如图,BC为OO的直径,AD丄BC,垂足为D.弧AB等于弧AF,BF和AD相交于E・证明: AE=BE 16、已知AB是00的直径,AP是的切线,A是切点,BP及00交于点C. (1)如图①若AB二2,ZP二30°,求AP的长(结果保留根号): (2)如图②,若D为AP的中点,求证: 直线CD是O0的切线. 17、线段AB及00相切于点C,连接0A、OB,0B交00于点D,已知0A二0B二6cm,AB二求: (1)<30的半径; (2)圆中阴影部分而积. 18、如图,在RtAABC中,ZC=90°,0为直角边BC上一点,以0为圆心,0C为半径的圆P合好及斜边AB相切 于点D,及BC交于另一点E. (1)求证: AAOC^AAOD: (2)若BE=LBD二3,求©0的半径及图中阴影部分的面积S・ 19、如图,AB、BC、CD分别及00切于E、F>G,且AB〃CD・连接OB、0C,延长CO交00于点M, 过点M作MN〃OB交CD于N・ ⑴求证: MN是00的切线; ⑵当0B二6cm,0C=8cm时,求O0的半径及MN的长.
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