石家庄高三一模理科数学试题及答案.docx
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石家庄高三一模理科数学试题及答案
2019届石家庄高三一模数学试题(理科)
石家庄2019届高中毕业班模拟考试
(一)
理科数学答案
一、选择题
1-5CDBCA
6-10ACCAD11-12DB
二、填空题
13.
1
14.
1
1
yx2或y
x2
2
2
15.
2
16.
10
三、解答题
17.解:
(1)∵△ABC三内角A、B、C挨次成等差数列,∴B=60°
设A、B、C所对的边分别为
a、b、c,由S
3
3=1
acsinB可得ac
12
.2分
2
△ABC中,由余弦定理可得b2
a2
c2
2accosB
28,∴b=2
7.
即AC的长为27
6分
(2)∵BD是AC边上的中线,∴
uuur
1
uuur
uuur
8分
BD
2
(BC
BA)
uuur2
1uuur2
uuur2
uuur
uuur
1
2
c
2
1
(a
2
c
2
ac)
∴BD
(BC
BA
2BC
BA)
=(a
2accosB)=
1
4
4
4
ac)9
,当且仅当a
c时取“=”
10分
(2ac
4
uuur
3,即BD长的最小值为3.
∴BD
12分
18.
解:
(1)证明:
在
PBC中,PBC
60o,BC
2,PB4,由余弦定理可得
PC
2
3,
QPC2
BC2
PB2
,
PC
BC,2分
又QPC
AB,AB
BCB,
PC平面ABC,QPC
平面PAC,
平面PAC
平面ABC.4分
(2)法1:
在平面ABC中,过点C作CM
CA,以CA,CM,CP所在的直线分别为x,y,z
轴成立空间直角坐标系Cxyz如下图:
C(0,0,0),P(0,0,23),A(2,0,0),B(1,
3,0),F(1,0,
PBCm(x1,y1,z1)
uuur
CB?
mx1
3y1
0
3y1
1z1
uuur
3z1
x1
CP?
m2
0
m(3,1,0)8
BCFn(x2,y2,z2)
uuur
CB?
nx2
3y2
0
uuur
CF?
nx2
3z2
0
3)6
z
P
F
0
xAC
M
B
y
x2
3
y2
1
z2
1n
(3,1,
1)10
cosm,n
mgn
3
1
0
25
mn
2
2
5
2
3
1
1
P
BC
F
P
BCF2512
5
21PBC
ABC
P
BC
F
A
BCF
6
FM
ACMFM
ABC
MN
BCNFNFN
BC
P
FNMA
BC
F
8
QFPA
MAC
F
1PC
3
RtFMNQFM
3MN
2
2
A
M
C
15
FN
10
N
2
B
sin
FNM
FM
25
P
BC
F
2512
FN
5
5
19.
P(
1
1
1
30)
5
25
5
P(
1
3
3
31)
10
2
5
25
P(
1
2
3
3
1
32)
5
2
10
4
5
10
P(
1
1
3
2
2
7
33)
10
2
5
25
5
10
P(
3
1
2
2
11
34)
10
2
5
50
10
5
P(
2
1
2
35)
10
2
5
25
P(
1
1
1
36)
10
100
10
..2
4
30
31
32
33
34
35
36
p
1
3
1
7
11
2
1
25
25
4
25
50
25
100
5
E(x)
1
31
3
1
33
7
11
35
2
1
32.8
6
30
32
4
34
50
36
100
25
25
25
25
232
32
4
21
4
3
30
4
1
107.52
13.92
4.16
125.6
31
8
16
25
25
25
8
33
33
4
59
4
1
31
4
3
30
4
24
1
77.88
30
12.96
3.84
124.68
32
8
16
100
4
25
25
10
>
32
12
20.
1,PF
x0
p
2
2x0x0
p
2
2px042分
p0
解得
p
2
x0
1
因此,抛物线的方程为
y2
4x
4分
(2)由题意知,过P引圆x
2
y2
r2(0r
2)的切线斜率存在,设切线
PA的
3
方程为yk1(x1)
2,则圆心M到切线PA的距离d
2k1
2
k1
2
r,整理得,
1
(r2
4)k12
8k1r2
40.
设切线PB的方程为y
k2(x1)
2,同理可得(r2
4)k2
2
8k2
r2
40.
因此,k1,k2是方程(r2
4)k2
8k
r2
40的两根,k1
k2
8
k1k21
.
r2
4
6分
设A(x1,y1),B(x2,y2)
yk1(x
1)2
4y4k1
8
0,由韦达定理知,
2y1
84k1,因此
由
4x
得,k1y2
y2
k1
4
2k1
4
2,同理可得
y2
4k12.
8分
y1
k1
24k2
k1
设点D的横坐标为x0,则
2(k1
2
k2
2)
2(k1
k2)
1
2(k1
k2)2
2(k1k2)
3
10分
设tk1
k2,则t
r2
8
4,2
,
4
1
因此,x0
2t2
2t
3
,对称轴t
2,因此9
x0
37
12分
2
21.解:
(1)f(x)
1
a
1
x
(a
1)(,
x0)
x
x2
x2
当a1
0时,即a
1时,f(x)
0
,函数f(x)在(0,
)上单一递加,无极小值;
2分
当a1
0时,即a
1时,f(x)
0,0
x
a
1,函数f(x)在(0,a
1)上单一递减;
f(x)
0,
xa
1
,函数f(x)在(a1,
)上单一递加;
f(x)极小=f(a
1)
1
ln(a1)
综上所述,当a1时,f(x)无极小值;
当
a
1时,f(x)极小
1
ln(a1)
4分
(2)令F(x)
f(x)
g(x)lnx
a
x
1
a(sinx
1)
2
xlnx
asinx
1,(x
0)
x
x
当1a
1时,要证:
f(x)
g(x),即证F(x)
0,即证xlnx
asinx
1
0,
法1:
要证xlnx
asinx
1
0,即证xlnxasinx
1.
①当0
a
1时,
令h(x)
x
sinx,h(x)
1
cosx
0,因此h(x)在(0,
)单一递加,
故h(x)
h(0)0
,即x
sinx.
6分
ax
1
asinx
1()
7分
令q(x)
xlnxx1,q
(x)=ln
x,
当
x(0,1),q(x)
0
,
在
(0,1)
单一递减;
x
(1,
),q(x)
,
在
(1,
)
q(x)
0q(x)
单一递加,故q(x)q
(1)
0,即xlnx
x1.当且仅当x
1时取等号
又Q0
a1,
xlnx
x1ax1()
()(
)
xlnx
x
1
ax
1asinx
1
由
、
可知
因此当
0
a
1时,xlnx
asinx
1
9分
②当a=0时,即证xlnx
1.
令m(x)=xlnx,m(x)=lnx
1,m(x)在(0,1)
e
上单一递减,在(1,
)上单一递加,
m(x)min
m
(1)=
1
1,故xlnx
1
e
e
e
.10分
③当
1
a
0时,
当x(0,1]时,asinx
1
1,由②知m(x)
xlnx
1
1
1,
,而
e
e
故xlnx
asinx
1
;
11
分
当x(1,
)时,asinx
1
0,由②知m(x)
xlnx
m
(1)
0,
故xlnx
asinx
1
;
因此,当x(0,
)时,xlnx
asinx
1.
综上①②③可知,当
1
a
1
时,f(x)
g(x).
12
分
法2:
当
1
a
1时,下证xlnxasinx
1
0,即证xlnx
asinx
1.
5分
①当x
1时,易知xlnx
0
,asinx
1
0
,故xlnx
asinx
1
0;6
分
②当x
1
时,0
asin1
1
0明显成立,故
xlnx
asinx1
0;
7
分
③当
0x
1时,sinx
0,故
sinx
asinxsinx,
令h(x)
x
sinx,h(x)
1
cosx
0,因此h(x)在(0,
)单一递加,
故h(x)
h(0)
0,即x
sinx.,故asinx
x;
9
分
只要证q(x)
xlnx
x
1
0,q(x)=ln
x,当x
(0,1),q(x)
0,q(x)在(0,1)单一递
减,故q(x)
q
(1)
0,故xlnx
asinx
1
0
;
11分
综上①②③可知,当
1
a
1
时,f(x)
g(x).
12分
法3:
易知f(x)g(x)lnx
1
a
sinx
x
x
要证f(x)
g(x),即证lnx
1
a
sinx
6
x
x
分
令(x)
lnx
1,则
'(x)
x2
1,故
(x)min
(1)
1
8分
x
x
令h(x)
sinx
x,h(x)
cosx
1
0,故h(x)在
上递减
(0,+
)
由
h(0)
0
,进而当x
0时sinx
x,故sinx
1
10分
x
由
1
a
1,故a
sinx
1
11分
x
1a1
f(x)
g(x)
12
22.
C
2
3
5
1
6
7
A,B
8
2
10
C
6
7
A,B
8
10
23.
1
2
3
5
6
8
“=”
2
10
6
8
10
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