北京海淀初三上期末数学备考训练新定义学生版.docx
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北京海淀初三上期末数学备考训练新定义学生版
2020北京海淀初三(上)期末数学备考训练新定义(学生版)
一.解答题(共50小题)
1.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,a)和点B(b,0),给出如下定义:
以AB为边,按照逆时针方向排列A,B,C,D四个顶点,作正方形ABCD,则称正方形ABCD为点A,B的逆序正方形.例如,当a=﹣4,b=3时,点A,B的逆序正方形如图1所示.
(1)图1中点C的坐标为 ;
(2)改变图1中的点A的位置,其余条件不变,则点C的 坐标不变(填“横”或“纵”),它的值为 ;
(3)已知正方形ABCD为点A,B的逆序正方形.
①判断:
结论“点C落在x轴上,则点D落在第一象限内.” (填“正确”或“错误”),若结论正确,请说明理由;若结论错误,请在图2中画出一个反例;
②⊙T的圆心为T(t,0),半径为1.若a=4,b>0,且点C恰好落在⊙T上,直接写出t的取值范围
2.对于⊙C与⊙C上的一点A,若平面内的点P满足:
射线AP与⊙C交于点Q(点Q可以与点P重合),且1≤
≤2,则点P称为点A关于⊙C的“生长点”.已知点O为坐标原点,⊙O的半径为1,点A(﹣1,0).
(1)若点P是点A关于⊙O的“生长点”,且点P在x轴上,请写出一个符合条件的点P的坐标 ;
(2)若点B是点A关于⊙O的“生长点”,且满足tan∠BAO=
,求点B的纵坐标t的取值范围;
(3)直线y=
x+b与x轴交于点M,与y轴交于点N,若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”,直接写出b的取值范围是 .
3.在平面直角坐标系xOy中,定义直线y=ax+b为抛物线y=ax2+bx的特征直线,C(a,b)为其特征点.设抛物线y=ax2+bx与其特征直线交于A、B两点(点A在点B的左侧).
(1)当点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(1,3)时,特征点C的坐标为 ;
(2)若抛物线y=ax2+bx如图所示,请在所给图中标出点A、点B的位置;
(3)设抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D,其特征直线交y轴于点E,点F的坐标为(1,0),DE∥CF.
①若特征点C为直线y=﹣4x上一点,求点D及点C的坐标;
②若
<tan∠ODE<2,则b的取值范围是 .
4.在平面直角坐标系xOy中,设点P(x1,y1),Q(x2,y2)是图形W上的任意两点.
定义图形W的测度面积:
若|x1﹣x2|的最大值为m,|y1﹣y2|的最大值为n,则S=mn为图形W的测度面积.
例如,若图形W是半径为1的⊙O,当P,Q分别是⊙O与x轴的交点时,如图1,|x1﹣x2|取得最大值,且最大值m=2;当P,Q分别是⊙O与y轴的交点时,如图2,|y1﹣y2|取得最大值,且最大值n=2.则图形W的测度面积S=mn=4
(1)若图形W是等腰直角三角形ABO,OA=OB=1.
①如图3,当点A,B在坐标轴上时,它的测度面积S= ;
②如图4,当AB⊥x轴时,它的测度面积S= ;
(2)若图形W是一个边长1的正方形ABCD,则此图形的测度面积S的最大值为 ;
(3)若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD,求它的测度面积S的取值范围.
5.在△ABC中,D,E分别是△ABC两边的中点,如果
上的所有点都在△ABC的内部或边上,则称
为△ABC的中内弧.例如,图1中
是△ABC的一条中内弧.
(1)如图2,在Rt△ABC中,AB=AC=
,D,E分别是AB,AC的中点,画出△ABC的最长的中内弧
,并直接写出此时
的长;
(2)在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(0,0),C(4t,0)(t>0),在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点.
①若t=
,求△ABC的中内弧
所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围;
②若在△ABC中存在一条中内弧
,使得
所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上,直接写出t的取值范围.
6.对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:
P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离“,记作d(M,N).
已知点A(﹣2,6),B(﹣2,﹣2),C(6,﹣2).
(1)求d(点O,△ABC);
(2)记函数y=kx(﹣1≤x≤1,k≠0)的图象为图形G.若d(G,△ABC)=1,直接写出k的取值范围;
(3)⊙T的圆心为T(t,0),半径为1.若d(⊙T,△ABC)=1,直接写出t的取值范围.
7.在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M,给出如下的定义:
若在图形M上存在一点Q,使得P、Q两点间的距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点.
(1)当⊙O的半径为2时,
①在点P1(
,0),P2(
,
),P3(
,0)中,⊙O的关联点是 .
②点P在直线y=﹣x上,若P为⊙O的关联点,求点P的横坐标的取值范围.
(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为2,直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B.若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点,直接写出圆心C的横坐标的取值范围.
8.在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,若P,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”,如图为点P,Q的“相关矩形”示意图.
(1)已知点A的坐标为(1,0),
①若点B的坐标为(3,1),求点A,B的“相关矩形”的面积;
②点C在直线x=3上,若点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;
(2)⊙O的半径为
,点M的坐标为(m,3),若在⊙O上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方形,求m的取值范围.
9.在平面直角坐标系xOy中,⊙C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于⊙C的反称点的定义如下:
若在射线CP上存在一点P′,满足CP+CP′=2r,则称P′为点P关于⊙C的反称点,如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图.
特别地,当点P′与圆心C重合时,规定CP′=0.
(1)当⊙O的半径为1时.
①分别判断点M(2,1),N(
,0),T(1,
)关于⊙O的反称点是否存在?
若存在,求其坐标;
②点P在直线y=﹣x+2上,若点P关于⊙O的反称点P′存在,且点P′不在x轴上,求点P的横坐标的取值范围;
(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为1,直线y=﹣
x+2
与x轴、y轴分别交于点A,B,若线段AB上存在点P,使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部,求圆心C的横坐标的取值范围.
10.对某一个函数给出如下定义:
若存在实数M>0,对于任意的函数值y,都满足﹣M≤y≤M,则称这个函数是有界函数,在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,如图中的函数是有界函数,其边界值是1.
(1)分别判断函数y=
(x>0)和y=x+1(﹣4<x≤2)是不是有界函数?
若是有界函数,求其边界值;
(2)若函数y=﹣x+1(a≤x≤b,b>a)的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b的取值范围;
(3)将函数y=x2(﹣1≤x≤m,m≥0)的图象向下平移m个单位,得到的函数的边界值是t,当m在什么范围时,满足
≤t≤1?
11.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下的定义:
若⊙C上存在两个点A、B,使得∠APB=60°,则称P为⊙C的关联点.已知点D(
,
),E(0,﹣2),F(2
,0).
(1)当⊙O的半径为1时,
①在点D、E、F中,⊙O的关联点是 .
②过点F作直线l交y轴正半轴于点G,使∠GFO=30°,若直线l上的点P(m,n)是⊙O的关联点,求m的取值范围;
(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围.
12.在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”,给出如下定义:
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|;
若|x1﹣x2|<|y1﹣y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|.
例如:
点P1(1,2),点P2(3,5),因为|1﹣3|<|2﹣5|,所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3,也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点).
(1)已知点A(﹣
,0),B为y轴上的一个动点,
①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标;
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;
(2)已知C是直线y=
x+3上的一个动点,
①如图2,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标;
②如图3,E是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标.
13.如图1,若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合)我们把这样的两抛物线L1、L2互称为“友好”抛物线,可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条.
(1)如图2,已知抛物线L3:
y=2x2﹣8x+4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标;
(2)请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式,并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围;
(3)若抛物y=a1(x﹣m)2+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a2(x﹣h)2+k,请写出a1与a2的关系式,并说明理由.
14.对于平面直角坐标系xOy中的线段MN和点P,给出如下定义:
点A是线段MN上一个动点,过点A作线段MN的垂线l,点P是垂线l上的另外一个动点.如果以点P为旋转中心,将垂线l沿逆时针方向旋转60°后与线段MN有公共点,我们就称点P是线段MN的“关联点”.
如图,M(1,2),N(4,2).
(1)在点P1(1,3),P2(4,0),P3(3,2)中,线段MN的“关联点”有 ;
(2)如果点P在直线y=x+1上,且点P是线段MN的“关联点”,求点P的横坐标x的取值范围;
(3)如果点P在以O(1,﹣1)为圆心,r为半径的⊙O上,且点P是线段MN的“关联点”,直接写出⊙O半径r的取值范围.
15.在平面直角坐标系xOy中,对于P、Q两点给出如下定义:
若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值,则称P、Q两点为“等距点”,如图中的P、Q两点即为“等距点”.
(1)已知点A的坐标为(﹣3,1)
①在点E(0,3)、F(3,﹣3)、G(2,﹣5)中,点A的“等距点”是 ;
②若点B在直线y=x+6上,且A、B两点为“等距点”,则点B的坐标为 ;
(2)直线l:
y=kx﹣3(k>0)与x轴交于点C,与y轴交于点D.
①若T1(﹣1,t1)、T2(4,t2)是直线l上的两点,且T1、T2为“等距点”,求k的值;
②当k=1时,半径为r的⊙O上存在一点M,线段CD上存在一点N,使得M、N两点为“等距点”,直接写出r的取值范围.
16.在平面直角坐标系xOy中,对于两个点P,Q和图形W,如果在图形W上存在点M,N(M,N可以重合)使得PM=QN,那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点.
(1)如图1,已知点A(0,3),B(2,3).
①设点O与线段AB上一点的距离为d,则d的最小值是 ,最大值是 ;
②在P1(
),P2(1,4),P3(﹣3,0)这三个点中,与点O是线段AB的一对平衡点的是
(2)如图2,已知圆O的半径为1,点D的坐标为(5,0),若点E(x,2)在第一象限,且点D与点E是圆O的一对平衡点,求x的取值范围.
(3)如图3,已知点H(﹣3,0),以点O为圆心,OH长为半径画弧交x轴的正半轴于点K,点C(a,b)(其中b≥0)是坐标平面内一个动点,且OC=5,圆C是以点C为圆心,半径为2的圆,若弧HK上的任意两个点都是圆C的一对平衡点,直接写出b的取值范围.
17.在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点分别为A(0,1),B(﹣1,0),C(0,﹣1),D(1,0).对于图形M,给出如下定义:
P为图形M上任意一点,Q为正方形ABCD边上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最大值,那么称这个最大值为图形M的“正方距”,记作d(M).
(1)已知点E(0,4),
①直接写出d(点E)的值;
②直线y=kx+4(k≠0)与x轴交于点F,当d(线段EF)取最小值时,求k的取值范围;
(2)⊙T的圆心为T(t,3),半径为1.若d(⊙T)<6,直接写出t的取值范围.
18.对于平面直角坐标系xOy中的直线l和图形M,给出如下定义:
P1、P2、……、Pn﹣1、Pn是图形M上n(n≥3)个不同的点,记这些点到直线l的距离分别为d1、d2、……、dn﹣1、dn,若这n个点满足d1+d2+……+dn﹣1=dn,则称这n个点为图形M关于直线l的一个基准点列,其中dn为该基准点列的基准距离.
(1)当直线l是x轴,图形M上有三点A(﹣1,1)、B(1,﹣1)、C(0,2)时,判断A、B、C是否为图形M关于直线l的一个基准点列?
如果是,求出它的基准距离;如果不是,请说明理由;
(2)已知直线l是函数y=﹣
x+3的图象,图形M是圆心在y轴上,半径为1的⊙T,P1、P2、……、Pn﹣1、Pn是⊙T关于直线l的一个基准点列.
①若T为原点,求该基准点列的基准距离dn的最大值;
②若n的最大值等于6,直接写出圆心T的纵坐标t的取值范围.
19.在平面直角坐标系xOy中,⊙C的半径为r,给出如下定义:
若点P的横、纵坐标均为整数,且到圆心C的距离d≤r,则称P为⊙C的关联整点.
(1)当⊙O的半径r=2时,在点D(2,﹣2),E(﹣1,0),F(0,2)中,为⊙O的关联整点的是 ;
(2)若直线y=﹣x+4上存在⊙O的关联整点,且不超过7个,求r的取值范围;
(3)⊙C的圆心在x轴上,半径为2,若直线y=﹣x+4上存在⊙C的关联整点,求圆心C的横坐标t的取值范围.
20.对于平面直角坐标系xOy中的动点P和图形N,给出如下定义:
如果Q为图形N上一个动点,P,Q两点间距离的最大值为dmax,P,Q两点间距离的最小值为dmin,我们把dmax+dmin的值叫点P和图形N间的“和距离”,记作d(P,图形N).
(1)如图1,正方形ABCD的中心为点O,A(3,3).
①点O到线段AB的“和距离”d(O,线段AB)= ;
②设该正方形与y轴交于点E和F,点P在线段EF上,d(P,正方形ABCD)=7,求点P的坐标.
(2)如图2,在
(1)的条件下,过C,D两点作射线CD,连接AC,点M是射线CD上的一个动点,如果6
<d(M,线段AC)<6+3
,直接写出M点横坐标t取值范围.
21.在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),称d(P1,P2)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为P1、P2两点的直角距离.
(1)已知:
点A(1,2),直接写出d(O,A)= ;
(2)已知:
B是直线y=﹣
x+3上的一个动点.
①如图1,求d(O,B)的最小值;
②如图2,C是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求d(B,C)的最小值.
22.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M(半径为r),给出如下定义:
若点P关于点M的对称点为Q,且r≤PQ≤3r,则称点P为⊙M的称心点.
(1)当⊙O的半径为2时,
①如图1,在点A(0,1),B(2,0),C(3,4)中,⊙O的称心点是 ;
②如图2,点D在直线y=
x上,若点D是⊙O的称心点,求点D的横坐标m的取值范围;
(2)⊙T的圆心为T(0,t),半径为2,直线y=
x+1与x轴,y轴分别交于点E,F.若线段EF上的所有点都是⊙T的称心点,直接写出t的取值范围.
23.对于平面直角坐标系xOy中的图形P,Q,给出如下定义:
M为图形P上任意一点,N为图形Q上任意一点,如果M,N两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形P,Q间的“非常距离”,记作d(P,Q).已知点A(4,0),B(0,4),连接AB.
(1)d(点O,AB)= .
(2)⊙O半径为r,若d(⊙O,AB)=0,求r的取值范围;
(3)点C(﹣3,﹣2),连接AC,BC,⊙T的圆心为T(t,0),半径为2,d(⊙T,△ABC),且0<d<2,求t的取值范围.
24.在平面直角坐标系xOy中,A、B为平面内不重合的两个点,若Q到A、B两点的距离相等,则称点Q是线段AB的“似中点”.
(1)已知A(1,0),B(3,2),在点C(1,3)、D(2,1)、E(4,﹣2)、F(3,0)中,线段AB的“似中点”是点 ;
(2)直线y=
与x轴交于点M,与y轴交于点N.
①若点H是线段MN的“似中点”,且在坐标轴上,求H点的坐标;
②若⊙P的半径为2,圆心P为(t,0),若⊙P上存在线段MN的“似中点”,请直接写出t的取值范围.
25.在平面直角坐标系xOy中,如果等边三角形的一边与x轴平行或在x轴上,则称这个等边三角形为水平正三角形.
(1)已知A(1,0),B(﹣1,0),若△ABC是水平正三角形,则点C坐标的是(只填序号);①(1,2),②(0,
),③(0,﹣1),④(0,
)
(2)已知点O(0,0),E(1,
),F(0,﹣2),以这三个点中的两个点及平面内的另一个点P为顶点,构成一个水平正三角形,则这两个点是 ,并求出此时点P的坐标;
(3)已知⊙O的半径为
,点M是⊙O上一点,点N是直线y=
上一点,若某个水平正三角形的两个顶点为M,N,直接写出点N的横坐标xN的取值范围.
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