八下第十九章一次函数培优测试.docx
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八下第十九章一次函数培优测试
新乡市一中八年级数学培优测试(含答案)
第19章一次函数
时间:
100分钟满分:
100分
【函数图象的分析与判断】
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘,AC=1cm,BC=2cm,点P从点A出发,以1cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动,最终回到点A,设点P的运动时间为x(s),线段AP的长度为y(cm),则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是()
A.
B.
C.
D.
解答:
①当点P在AC边上,即0⩽x⩽1时,y=x,它的图象是一次函数图象的一部分;
②点P在边BC上,即1 即y= ,则其函数图象是y随x的增大而增大,且不是一次函数.故B、C、D错误; ③点P在边AB上,即3 时,y= +3−x=−x+3+ ,其函数图象是直线的一部分. 综上所述,A选项符合题意. 故选: A. 3.如图1,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A,图2是点P运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是. 解答: 根据图象可知点P在BC上运动时,此时BP不断增大, 由图象可知: 点P从B先A运动时,BP的最大值为5, 即BC=5, 由于M是曲线部分的最低点, ∴此时BP最小, 即BP⊥AC,BP=4, ∴由勾股定理可知: PC=3, 由于图象的曲线部分是轴对称图形, ∴PA=3, ∴AC=6, ∴△ABC的面积为: 12×4×6=12 故答案为: 12 【一次函数解析式的确定】 4.写出一个y随x增大而增大的一次函数的解析式: . 解答: 例如: y=x,或y=x+2等,答案不唯一. 5.图象经过(1,2)的正比例函数的表达式为. 解答: 设该正比例函数的表达式为y=kx ∵它的图象经过(1,2) ∴2=k ∴该正比例函数的表达式为y=2x. 6.当−2⩽x⩽2时,函数y=kx−k+1(k为常数且k<0)有最大值3,则k的值为. 解答: ∵k<0, ∴y随x的增大而减小, ∵当−2⩽x⩽2时,函数y=kx−k+1(k为常数且k<0)有最大值3, ∴当x=−2时,y=3, ∴−2k−k+1=3,解得k=− . 故答案为: − . 【一次函数与一元一次不等式的关系】 7.如图,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2x A. x< B. x<3C. x> D. x>3 解答: ∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3), ∴3=2m, m= , ∴点A的坐标是( 3), ∴不等式2x ; 故选A. 8.如图,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则方程ax+4=3的解为() A. x=6B. x=−6C. x= D. x=− 解答: ∵A点在直线y=2x上, ∴3=2m,解得m= , ∴A点坐标为( 3), ∴方程ax+4=3的解为x= , 故选C. 9.如图,直线y=ax+b过点A(0,2)和点B(−3,0),则方程ax+b=0的解是() A. x=2B. x=0C. x=−1D. x=−3 解答: 方程ax+b=0的解,即为函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标, ∵直线y=ax+b过B(−3,0), ∴方程ax+b=0的解是x=−3, 故选D 10.如图,经过点B(−2,0)的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A(−1,−2),4x+2 A. x<−2B. −2 解答: ∵经过点B(−2,0)的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A(−1,−2), ∴直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标为(−1,−2),直线y=kx+b与x轴的交点坐标为B(−2,0), 又∵当x<−1时,4x+2 当x>−2时,kx+b<0, ∴不等式4x+2 故选B. 【一次函数的实际应用——行程问题】 11.甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地,甲乘汽车,乙骑摩托车,甲到达B地停留半小时后返回A地.如图是他们离A地的距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系. (1)求甲从B地返回A地的过程中,y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)若乙出发后2小时和甲相遇,求乙从A地到B地用了多长时间. 解答: (1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b, ∵函数图象经过点(1.5,90),(3,0), ∴1.5k+b=90;3k+b=0, 解得: k=−60,b=180, ∴y=−60x+180(1.5⩽x⩽3); (2)乙的速度=60÷2=30km/h, 所以,乙从A地到B地用的时间为: 90÷30=3小时. 12.小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游.出发前,汽车油箱内储油45升;当行驶150千米时,发现油箱剩余油量为30升. (1)已知油箱内余油量y(升)是行驶路程x(千米)的一次函数,求y与x的函数关系式; (2)当油箱中余油量少于3升时,汽车将自动报警,如果往返途中不加油,他们能否在汽车报警前回到家? 请说明理由. 解答: (1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,由题意,得 45=b,30=150k+b, 解得: k=−0.1,b=45, ∴y=−0.1x+45. 当y=0时,x=450. x的取值范围是: 0⩽x⩽450. 答: y与x的函数关系式为y=−0.1x+45,x的取值范围是0⩽x⩽450, (2)由题意,得 当x=400时,y=5. ∵5>3, ∴他们能在汽车报警前回到家. 【一次函数的实际应用——方案选取问题】 13.某游泳馆普通票价20元/张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡: ①金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费; ②银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元. 暑期普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑期使用,不限次数.设游泳x次时,所需总费用为y元. (1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数表达式; (2)在同一个坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点A、B、C的坐标; (3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更划算. 解答: (1)根据题意可得: 银卡消费: y=10x+150, 普通消费: y=20x; (2)令y=10x+150中的x=0,则y=150, 故点A的坐标为(0,150). 联立y=20x,y=10x+150, 解得: x=15,y=300, 故点B的坐标为(15,300). 令y=10x+150中的y=600,则x=45, 故点C的坐标为(45,600). 综上所述: 点A的坐标为(0,150),点B的坐标为(15,300),点C的坐标为(45,600). (3)当0<x<15时,选择购买普通票更合算; 当x=15时,选择购买银卡、普通票的总费用相同; 当15<x<45时,选择购买银卡更合算; 当x=45时,选择购买金卡,银卡的总费用相同,均比普通票合算; 当x>45时,选择购买金卡更合算. 14.学校“百变魔方”社团准备购买A,B两种魔方,已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元,购买3个A种魔方与购买4个B种魔方所需款数相同. (1)求这两种魔方的单价; (2)结合社员们的需求,社团决定购买A,B两种魔方共100个(其中A种魔方不超过50个).某商店有两种优惠活动,如图所示.请根据以上信息,说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠. 解答: (1)设A种魔方的单价为x元/个,B种魔方的单价为y元/个, 根据题意得: 2x+6y=130,3x=4y, 解得: x=20,y=15. 答: A种魔方的单价为20元/个,B种魔方的单价为15元/个. (2)设购进A种魔方m个(0⩽m⩽50),总价格为w元,则购进B种魔方(100−m)个, 根据题意得: w活动一=20m×0.8+15(100−m)×0.4=10m+600; w活动二=20m+15(100−m−m)=−10m+1500. 当w活动一 解得: m<45; 当w活动一=w活动二时,有10m+600=−10m+1500, 解得: m=45; 当w活动一>w活动二时,有10m+600>−10m+1500, 解得: 45 综上所述: 当m<45时,选择活动一购买魔方更实惠;当m=45时,选择两种活动费用相同;当m>45时,选择活动二购买魔方更实惠. 15.某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器,购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元;购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元. (1)求这两种品牌计算器的单价; (2)学校开学前夕,该商店对这两种计算器开展了促销活动,具体办法如下: A品牌计算器按原价的八折销售,B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售,设购买x个A品牌的计算器需要y1元,购买x个B品牌的计算器需要y2元,分别求出y1、y2关于x的函数关系式; (3)小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器,若购买计算器的数量超过5个,购买哪种品牌的计算器更合算? 请说明理由. 解答: (1)设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元, 根据题意得,2a+3b=156;3a+b=122, 解得: a=30;b=32, 答: A种品牌计算器30元/个,B种品牌计算器32元/个; (2)A品牌: y1=30x·0.8=24x; B品牌: ①当0⩽x⩽5时,y2=32x, ②当x>5时,y2=5×32+32×(x−5)×0.7=22.4x+48, 综上所述: y1=24x, y2= ; (3)当y1=y2时,24x=22.4x+48,解得x=30,即购买30个计算器时,两种品牌都一样; 当y1>y2时,24x>22.4x+48,解得x>30,即购买超过30个计算器时,B品牌更合算; 当y1 【一次函数的实际应用——方案设计型问题】 16.学校准备购进一批节能灯,已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元,3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元。 (1)求一只A型节能灯节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元? (2)学校准备购进这两种节能灯共50只,并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由. 解答: (1)设一只A型节能灯节能灯的售价为m元,一只B型节能灯节能灯的售价为n元, 根据题意得: m+3n=26;3m+2n=29, 解得: m=5,n=7. 答: 一只A型节能灯节能灯的售价为5元,一只B型节能灯节能灯的售价为7元. (2)设购进A型节能灯x只,总费用为y元,则购进B型节能灯(50−x)只, 根据题意得: x⩽3(50−x), 解得: x⩽37.5, y=5x+7(50−x)=−2x+350 ∵−2<0, ∴当x取最大值时,y有最小值. ∴当x=37时,y=276.此时50−37=13(只). 答: 当购买A型节能灯37只、B型节能灯13只时,总费用最低,最低费用为276元. 17.某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元. (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润; (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元. ①求y关于x的函数关系式; ②该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大? (3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调m(0 (2)中条件,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案. 解答: (1)设每台A型电脑销售利润为a元,每台B型电脑的销售利润为b元;根据题意得 10a+20b=4000;20a+10b=3500 解得: a=100;b=150 答: 每台A型电脑销售利润为100元,每台B型电脑的销售利润为150元. (2)①据题意得,y=100x+150(100−x),即y=−50x+15000, ②据题意得,100−x⩽2x,解得x⩾33 , ∵y=−50x+15000,−50<0, ∴y随x的增大而减小, ∵x为正整数, ∴当x=34时,y取最大值,则100−x=66, 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大. (3)据题意得,y=(100+m)x+150(100−x),即y=(m−50)x+15000, 33 ⩽x⩽70 ①当0 ∴当x=34时,y取最大值, 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大. ②m=50时,m−50=0,y=15000, 即商店购进A型电脑数量满足33 ⩽x⩽70的整数时,均获得最大利润; ③当50 ∴当x=70时,y取得最大值. 即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大.
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- 关 键 词:
- 下第 十九 一次 函数 测试