第三章球面上的坐标系与坐标变换.docx
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第三章球面上的坐标系与坐标变换
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§3-1球面坐标系、坐标变换的意义与一般公式
§3-2决定新极Q的地理坐标φ0,λ0
§3-3地理坐标φ,λ换算为球面极坐标α,Z
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球面余弦公式
cosa=cosb⋅cosc+sinb⋅sinc⋅cosA
cosb=cosa⋅cosc+sina⋅sinc⋅cosB
cosc=cosa⋅cosb+sina⋅sinb⋅cosC
❝
球面正弦公式
sina
sinA
=
sinb
sinB
=
sinc
sinC
❝
球面边正弦与邻角余弦之积公式
sinacosB=cosbsinc-sinbcosccosA
球面三角形的基本公式
边的余弦公式
cosa=cosbcosc+sinbsinccosA
定理:
球面三角形任意边的余弦等于其它两边余弦的乘积加上这两边的正
弦及其夹角余弦的连乘积。
正弦公式
sina
sinA
=
sinb
sinB
=
sinc
sinC
定理:
球面三角形各边的正弦和对角的正弦成正比。
一、球面坐标系、坐标变换
为在球面上确定点位可是需要采用不同的坐标系。
制图实践中常使用的有地理坐标系(φ、λ),球面坐
标系(a,z)和球面直角坐标系(x,y)。
目前以上三种
坐标系在测绘技术上应用最为广泛。
三者之间可以进行
简单的相互换算。
二、坐标变换的一般公式
如下图,其中K为球面上一点地理
坐标为ϕ,λ,球面极坐标
为α,z。
P是地理坐标系极点,Q
是球面极坐标系新极点(ϕ0,λ0)
。
(
)
(
)
由地理坐标系到球面极坐标系之间的变换:
在球面三角形PQA,由边的余弦公式有:
︒︒
︒︒
0
即
cosz=sinϕsinϕ0+cosϕcosϕ0cos(λ-λ0)
式中φ0、λ0是球面坐标原点Q的地理坐标
()()ϕϕ--=90cos90coscos0z
()()()0cos90sin90sinλλϕϕ---+
由第一正余弦公式有
sinzcosa=sin90︒-ϕ0cos90︒-ϕ
)
-cos(90︒-ϕ0)sin(90︒-ϕ)cos(λ-λ0)
sinzcosa=sinϕcosϕ0-cosϕsinϕ0cos(λ-λ0)
=
sina
即
由此得到:
cosz=sinϕsinϕ0+cosϕcosϕ0cos(λ-λ0)
tga=
cosϕsin(λ-λ0)
sinϕcosϕ0-cosϕsinϕ0cos(λ-λ0)
(
)(
由正弦公式有sinzsin(90︒-ϕ)
sin(λ-λ0)
sinzsina=cosϕsin(λ-λ0)
由球面极坐标到地理坐标之间的变换:
在球面三角形PKQ,由余弦公式有:
︒︒
︒
0
即
sinϕ=sinϕ0cosz+cosϕ0sinzcosa
式中φ0、λ0是球面坐标原点Q的地理坐标
()()zcos90cos90cos0ϕϕ-=-
()αϕcossin90sinz-+
由第一正余弦公式有
sin(90︒-ϕ)cos(λ-λ0)=sin(90︒-ϕ0)cosz
-cos(90︒-ϕ0)sinzcosα
cosϕcos(λ-λ0)=cosϕ0cosz-sinϕ0sinzcosα
=
sina
即
由此得到:
sinϕ=sinϕ0cosz+cosϕ0sinzcosα
tg(λ-λ0)=
cosϕsinα
coszcosϕ0-sinϕ0cosαsinz
由正弦公式有sinzsin(90︒-ϕ)
sin(λ-λ0)
sinzsina=cosϕsin(λ-λ0)
由地理坐标到球面直角坐标间的变换:
如图POP1为中央经线,其经
度为λ0,新极点Q位于赤道
上,其经度为λ0+90︒
球面上点A地理坐标
为ϕ,λ,过A点作垂直圈
QAB与中央经线交于B,令BO
=x,,BA=y则A的球面直角
坐标为(x,y)
在球面直角三角形PBA有
cos(λ-λ0)=ctg(90︒-φ)ctg(90︒-x)
siny=sin(90︒-ϕ)sin(λ-λ0)
于是得到由地理坐标到球面直角坐标的变换公式为
tgx=tgϕsec(λ-λ0)
siny=cosϕsin(λ-λ0)
在球面直角三角形PBA有
︒︒
︒
于是得到
sinϕ=sinxcosy
tg(λ-λ0)=tgysecx
()()yxcos90cos90cos-=-ϕ
()()090sinλλ-=-tgyctgx
在一般情况下,大多数地图投影都采用地理坐标表示球面
位置建立平面直角坐标(x,y)与(ϕ,λ)的关系。
当采用横轴或斜轴投影,用地理坐标表示点位时,对
投影公式的推导和计算比较麻烦。
需建立(z,α)与(ϕ,λ)
的关系。
利用(ϕ,λ)与(x,y)的关系,最终建立平
面直角坐标(z,α)与(x,y)的关系。
在建立投影方程式时通常采用平面直角坐标
系。
对于某些投影,为推导公式简便起见,建
立极坐标系。
一、平面直角坐标系的建立
在平面上选一点O为直角坐标原点,过O点
做相互垂直的两轴x’ox与y’oy,而建立直角坐
标系。
二、平面直角坐标系的建立
设O‘点为极点,O‘O
为极轴,P是坐标系中
的一点,则P点极坐标
与平面直角坐标之间的
关系式:
⎧x=q-ρcosδ
⎨
P(δ,ρ)
⎩y=ρsinδ
由直角坐标表示的投影公式为:
⎧x=f1(ϕ,λ)
⎨
由极坐标表示的投影公式为:
⎧ρ=f1(ϕ,λ)
⎨
以极坐标表示的常见的地图投影,纬线一般为同轴圆圆弧,
在特殊情况下则为同心圆圆弧,故ρ、q常常仅为纬度的函数。
()⎩=λϕ,2fy
()⎩=λϕδ,2f
⎨
求偏导数:
∂x
∂ϕ
=q
'-ρ'cosδ+ρsinδ
∂δ
-5∂x
=ρsinδ
∂λ
∂λ
∂δ
∂ϕ
∂y
∂ϕ
=ρ
'sinδ+ρcosδ
∂δ
∂ϕ
∂x
∂λ
=ρcosδ
∂δ
∂λ
上式中:
ρ'=
dρ
dϕ
q'=
dq
dϕ
对⎧x=q-ρcosδ
⎩y=ρsinδ
F=ρ
∂δ⎛
∂λ⎝
G=çρ⎪
2
∂δ⎫
∂ϕ⎭
tgξ=
ρ
∂δ
∂ϕ
ρ'-q'cosδ
H=ρ
∂δ
∂λ
(q'cosδ+ρ')
n=
⋅
tgξ=-
F
H
P=ρ
⋅
Mr
P=
n=
H
Mr
G
r
=mnsinθ'
m=
=
PP
nsinθ'ncosξ
M
secξ
'sinδ+ρ
ççq
⎛∂δ⎫
⎝∂λ⎭
⎪⎪
+q'sinδ
r∂λ
∂δq'cosδ-ρ'
∂λ
=
q'cosδ-ρ'
❝
新极在投影区域的中心点上
ϕ
0
=
1
n
n
i=1
ϕ
i
λ0
=
1
n
n
i=1
λi
❝
❝
新极在投影区域中部大圆的天顶
新极在投影区域中部小圆的天顶
∑
∑
-tgλ0=
tgϕ2cosλ1-tgϕ1cosλ2
tgϕ2sinλ1-tgϕ1sinλ2
tgϕ0=-
cos(λ1-λ0)
tgϕ1
=-
cos(λ2-λ0)
tgϕ2
❝
❝
❝
❝
❝
Cosz=sinφsinφ0+cosφcosφ0cos(λ-λ0)
Sinzcosα=sinφcosφ0-cosφsinφ0cos(λ-λ0)
Sinzsinα=cosφsin(λ-λ0)
特殊情况:
Φ0=0
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- 关 键 词:
- 第三 球面 坐标系 坐标 变换