四边形专题.docx

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四边形专题

四边形

考点一、四边形的相关概念

1、四边形

在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。

2、凸四边形

把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。

3、对角线

在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。

4、四边形的不稳定性

三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。

但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。

5、四边形的内角和定理及外角和定理

四边形的内角和定理：

四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：

四边形的外角和等于360°。

推论：

多边形的内角和定理：

n边形的内角和等于

180°；

多边形的外角和定理：

任意多边形的外角和等于360°。

6、多边形的对角线条数的计算公式

设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为

。

考点二、平行四边形

1、平行四边形的概念

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

推论：

夹在两条平行线间的平行线段相等。

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定

（1）定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：

对角线互相平分的四边形是平行四边形

（5）定理4：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积

S平行四边形=底边长×高=ah

考点三、矩形

1、矩形的概念

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

（1）具有平行四边形的一切性质

（2）矩形的四个角都是直角

（3）矩形的对角线相等

（4）矩形是轴对称图形

3、矩形的判定

（1）定义：

有一个角是直角的平行四边形是矩形

（2）定理1：

有三个角是直角的四边形是矩形

（3）定理2：

对角线相等的平行四边形是矩形

4、矩形的面积

S矩形=长×宽=ab

考点四、菱形

1、菱形的概念

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

（1）具有平行四边形的一切性质

（2）菱形的四条边相等

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

（4）菱形是轴对称图形

3、菱形的判定

（1）定义：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形

（2）定理1：

四边都相等的四边形是菱形

（3）定理2：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积

S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

考点五、正方形

1、正方形的概念

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质

（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定

（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：

先证明它是平行四边形；

再证明它是菱形（或矩形）；

最后证明它是矩形（或菱形）

4、正方形的面积

设正方形边长为a，对角线长为b

S正方形=

考点六、梯形

1、梯形的相关概念

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。

梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。

梯形的两底的距离叫做梯形的高。

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地，梯形的分类如下：

一般梯形

梯形直角梯形

特殊梯形

等腰梯形

2、梯形的判定

（1）定义：

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

3、等腰梯形的性质

（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。

（3）等腰梯形的对角线相等。

（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

4、等腰梯形的判定

（1）定义：

两腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

5、梯形的面积

（1）如图，

（2）梯形中有关图形的面积：

①

；

②

；

③

6、梯形中位线定理

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

典型例题

1.（2012•济南10）下列命题是真命题的是（　　）

A．对角线相等的四边形是矩形

B．一组邻边相等的四边形是菱形

C．四个角是直角的四边形是正方形

D．对角线相等的梯形是等腰梯形

2.（2012•青岛12）如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为___.

3.如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：

①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（　　）

A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

考点：

菱形的判定与性质．

分析：

①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．

②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．

③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．

④不正确，根据已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．

⑤正确，由已知可证得△DEO≌△DFO，从而可推出结论正确．

解答：

解：

①正确

∵E、F分别是OA、OC的中点．

∴AE=OE．

∵S△ADE=

×AE×OD=

×OE×OD=S△EOD

∴S△ADE=S△EOD．

②正确

∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．

∴EF⊥OD，OE=OF．

∵OD=OD．

∴DE=DF．

同理：

BE=BF

∴四边形BFDE是菱形．

③正确

∵菱形ABCD的面积=

AC×BD．

∵E、F分别是OA、OC的中点．

∴EF=

AC．

∴菱形ABCD的面积=EF×BD．

④不正确

由已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．

⑤正确

∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD．

∴△DEO≌△DFO．

∴△DEF是轴对称图形．

∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选B．

点评：

此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力．

4.（2012•济南19）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于__.

．

5.

（1）探究填空：

如果在▱ABCD中AM=

AB，CN=

CD，那么四边形AMCN是___；

①当AM=

AB，CN=

CD时，四边形AMCN是___；

②如果AM=

AB，CN=

CD（m＞1）时，四边形AMCN是___;

（2）你能得出一个一般性的结论吧？

如果能请你写出一般性的结论，并证明

分析：

（1）根据平行四边形的性质（平行四边形的对边平行且相等）推知AB=CD、四边形AMCN的对边AM∥CN；然后根据已知条件知四边形AMCN的对边AM=CN；最后由平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）证得四边形AMCN是平行四边形；

（2）根据

（1）的证明过程知：

在同一平面内，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

解答：

解：

（1）∵在▱ABCD中，AB

CD，且AB平行于CD

∴在四边形AMCN中，AM∥CN；

又∵AM=

AB，CN

=CD，

∴AM=CN，

∴四边形AMCN是平行四边形；

①∵在▱ABCD中，AB

CD，且AB平行于CD

∴在四边形AMCN中，AM∥CN；

又∵AM=

AB，CN=

CD，

∴AM=CN，

∴四边形AMCN是平行四边形；

②∵在▱ABCD中，AB

CD，且AB平行于CD

∴在四边形AMCN中，AM∥CN；

又∵AM=

AB，CN=

CD，

∴AM=CN，

∴四边形AMCN是平行四边形；

（2）在同一平面内，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

证明：

如图所示，AB∥CD且AB=CD．

连接AC，则∠BAC=∠DCA，

在△ABC和△CDA中，

AB=CD（已知）

∠BAC=∠DCA

AC=CA（公共边）

，

∴△ABC≌△CDA（SAS），

∴∠BCA=∠DAC（全等三角形的对应角相等），

∴AD∥BD（内错角相等，两直线平行），

∴四边形ABCD是平行四边形．

点评：

本题考查了平行四边形的性质与判定．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

6.（2012•济宁10）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（　　）

A．12厘米B．16厘米C．20厘米D．28厘米

7.（2012•泰安14）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（　　）

A．（

，-

）B．（-

，

）C．（2，-2）D.（

-

）

8.（2012•泰安9）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（　　）

A.3.5B.3C.2.5D.2.8

9.（2012•济南13）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（　　）

A．

+1

B．

C．

D．

10.（2012•济南26）如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2

，AC，BD相交于点O．

（1）求边AB的长；

（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．

①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；

②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．

11.（2012•滨州25）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．

（1）求证：

△ADF≌△CBE；

（2）求正方形ABCD的面积；

（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．

12.（2012•淄博23）在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x．

（1）当点G与点D重合时，求x的值；

（2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．

13.（2012•淄博24）如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=-

x+b过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；

（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．

14.（2012•济南14）如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（　　）

A．（2，0）

B．（-1，1）

C．（-2，1）

D．（-1，-1）

15.（2012•青岛21）已知：

如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．

（1）求证：

△BOE≌△DOF；

（2）若OA=

BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？

说明理由．

16.（2012•青岛24）已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE，点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ⊥AB？

（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）在

（2）的情况下，是否存在某一时刻t，使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S△PQE：

S四边形PQBCD=1：

29？

若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．