初二数学寒假数学补习一次函数.docx
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初二数学寒假数学补习一次函数
变量
知识管理
变量与常量
变量:
不同事物的变化过程中,有些量的数值是变化的.在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为.
常量:
在一个变化过程中,有些量的数值是始终不变的,我们称它们为.
注意:
(1)变量与常量是相对的,不同的问题变量也有所不同,在这个问题中是变量,也许在其他问题中是常量.也就是说,一个量是否是变量或常量,要视具体的问题而定.
(2)π是圆周率,是.
方法:
(1)确定某个问题中的变量与常量,一般看它们的是否发生变化;
(2)要寻求变量间存在的关系,可以利用学过的有关数量关系或者公式来确定.
类型之一 确定问题中的变量与常量,并求出两变量间的对应值
例1在平直的路面上,某型号的汽车紧急刹车后仍将滑行sm,一般有经验公式s=
,其中v表示刹车时汽车的速度(单位:
km/h).
(1)在上述公式中,哪些量是变量,哪些量是常量?
(2)当v分别为50km/h,60km/h,100km/h时,相应的滑行距离s是多少?
类型之二 研究一些变量间的变化规律
例2 某商场有一批苹果,卖出的苹果质量x(kg)与售价y(元)的关系如下表:
(1)写出售价y(元)与卖出质量x(kg)之间的关系式;
(2)若卖出苹果50kg,则售价为多少元?
质量x/kg
1
2
3
4
5
…
售价y/元
2+0.1
4+0.2
6+0.3
8+0.4
10+0.5
…
当堂测评
1.关于圆的周长公式C=2πR,下列说法正确的是( )
A.π,R是变量,2是常量
B.C,R是变量,2π是常量
C.R是变量,2π,C是常量
D.C是变量,2π,R是常量
2.在利用太阳能热水器来加热水的过程中,热水器里的水的温度随所晒时间的长短而变化.这个问题中引起其他变量变化的变量是( )
A.太阳光的强弱B.水的温度
C.所晒时间D.热水器
3.直角三角形中两锐角的度数分别为x,y,关系式为y=90°-x,其中变量是
,常量是.
作业
1.以固定的速度v0(m/s)向上抛出一个小球,小球的高度h(m)与小球运动的时间t(s)之间的关系式是h=v0t-4.9t2.在这个关系式中( )
A.常量是-4.9,变量是t,h
B.常量是v0,变量是t,h
C.常量是-4.9,v0,变量是t,h
D.常量是-4.9,变量是v0,t,h
2.汽车行驶的速度为80km/h,行驶路程s(km)与时间t(h)的关系式是,其中变量是,常量是.
3.某市出租车的起步价为8元,即3km内收费8元,以后每增加1km加收1.5元.某人从该市北站打车去电视塔,设他乘车的路程为xkm(x>3),那么他应付的车费y(元)与x(km)之间的关系式为.
函数
知识管理
1.函数
定义:
一般地,在一个变化过程中,有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,则称y是x的,其中x叫.
特征:
(1)在某一变化过程中有两个变量x和y;
(2)这两个变量相互联系,当变量x取一个确定的值时,变量y就随之确定;
(3)对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应.
注意:
函数不是数,它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系.
2.函数值与函数的解析式
函数值:
在一个函数关系式中,如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量为a时的.
解析式:
用关于的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法,这种式子叫做函数的解析式.
注意:
(1)已知函数的解析式,求函数值就是求代数式的值;已知函数的解析式,给出函数值,求相应的自变量的值就是解方程.
(2)当自变量确定时,函数值唯一确定;但当函数值确定时,对应的自变量的值可能不止一个.
3.自变量的取值范围
确定方法:
(1)使函数关系式有意义;
(2)若与实际问题有关,则应满足实际要求.
类型之一 函数的概念
例1下列是同一函数的是( )
A.y=x与y=|x|
B.y=
与y=
C.y=2x+1与y=2x+1(x>0)
D.y=2
与y=
类型之二 建立函数模型
例2某研究表明,人在运动时的心跳速度通常与人的年龄有关,下表是测得的一个人在运动时所能承受的心跳的最高次数b(次/分)随这个人的年龄a(岁)的变化而变化的几组对应值:
年龄a/岁
1
2
3
4
5
运动时所能承受的心
跳的最高次数b/(次/分)
175
174.2
173.4
172.6
171.8
(1)根据规律,求得变量b与a之间的关系式为,其中自变量为,是的函数;
(2)正常情况下,在运动时,一个12岁的少年能承受的每分钟心跳的最高次数是
次;
(3)一个50岁的人在运动时,1分钟内心跳的次数为180次,他有危险吗?
为什么?
当堂测评
1.下面每个选项中分别给出了某个变化过程中的两个变量x和y,其中y不是x的函数的是( )
A.y:
正方形的面积,x:
这个正方形的周长
B.y:
某班某名学生的身高,x:
这个班学生的学号
C.y:
圆的面积,x:
这个圆的直径
D.y:
一个正数的平方根,x:
这个正数
2.[2018·无锡]函数y=
中自变量x的取值范围是( )
A.x≠-4B.x≠4
C.x≤-4D.x≤4
3.一石激起千层浪.一枚石头投入水中,会在水面上激起一圈圈圆形涟漪,如图19-1-2所示.(这些圆的圆心相同)
(1)在这个变化过程中,自变量是,因变量是;
(2)如果圆的半径为r,面积为S,则S与r之间的关系式是;
(3)当圆的半径由1cm增加到5cm时,面积增加了cm2.
图19-1-2
作业
1.下列变量之间的关系不是函数关系的有( )
①长方形的宽一定时,其长与面积;
②等腰三角形的底边与面积;
③某人的身高与年龄.
A.0个B.1个
C.2个D.3个
2.[2018·黄冈]函数y=
中自变量x的取值范围是( )
A.x≥-1且x≠1B.x≥-1
C.x≠1D.-1≤x<1
3.一名司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80km/h的平均速度用了4h到达乙地.当他按照原路返回时,汽车的速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是( )
A.v=320tB.v=
C.v=20tD.v=
4.下列关系式中,y不是x的函数的是( )
A.y2=x(x≥0)B.y=
(x≥0)
C.y=-
(x≥0)D.y=
(x为有理数)
6.同一温度的华氏度数y(℉)与摄氏度数x(℃)之间的函数关系式是y=
x+32.若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等,则此温度的摄氏度数是℃.
函数的图像及其画法
知识管理
1.函数的图象
定义:
一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的,那么坐标平面内由这些点组成的,就是这个函数的图象.
2.从函数的图象中获取信息
注意:
(1)用图象法表示函数较形象、直观,但却不清晰,因此,利用图象观察的数值往往是近似值.
(2)观察函数增减性的技巧:
当函数图象从左到右呈“上升”状态时,y随x的,当图象从左到右呈“下降”状态时,y随x的,反之也成立.
(3)当x在某个区间上取值时,函数y的值始终是,那么在这个区间上函数的图象是平行于x轴的线段(或射线或直线).
3.函数图象的画法
步骤:
画函数图象的一般步骤是、、.
类型之一 根据问题情境,确定函数的图象
例1 [2019·资阳]爷爷在离家900m的公园锻炼后回家,离开公园20min后,爷爷停下来与朋友聊天10min,接着又走了15min回到家中.下面图形中表示爷爷离家的距离y(m)与爷爷离开公园的时间x(min)之间的函数关系是( )
类型之二 由函数表达式画出函数的图象
例2分别画出下列函数的图象.
(1)y=x+2;
(2)y=
(x>0).
当堂测评
1.下列曲线中,不能表示y是x的函数的是( )
2.[2018·呼和浩特]二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶,它与白昼时长密切相关,当春分、秋分时,昼夜时长大致相等;当夏至时,白昼时长最长,根据图19-1-3,在下列选项中指出白昼时长低于11小时的节气( )
A.惊蛰
B.小满
C.立秋
D.大寒
图19-1-3
作业
1.[2019·随州]第一次“龟兔赛跑”,兔子因为在途中睡觉而输掉比赛,很不服气,决定与乌龟再比一次,并且骄傲地说,这次我一定不睡觉,让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢.结果兔子又一次输掉了比赛,则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是( )
2.[2018·长沙]如图19-1-5,小明家、食堂、图书馆在同一条直线上,小明从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家.下图反映了这个过程中,小明离家的距离y与时间x的对应关系,根据图象,下列说法正确的是( )
A.小明吃早餐用了25min
B.小明读报用了30min
C.食堂到图书馆的距离为0.8km
D.小明从图书馆回家的速度为0.8km/min
图19-1-5
3.[2018·舟山]小红帮弟弟荡秋千如图19-1-6
(1),秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图19-1-6
(2)所示.
(1)根据函数的定义,请判断变量h是否为关于t的函数?
(2)结合图象回答:
①当t=0.7s时,h的值是多少?
并说明它的实际意义;
②秋千摆动第一个来回需多少时间?
函数的表示法
知识管理
函数的表示法
方法:
函数的表示方法有法、法和法.
比较:
列表法能准确、直观地给出部分自变量与函数的对应值;解析式法能全面、准确地表示自变量与函数的对应规律;图象法能直观、形象地表示自变量与函数值的变化趋势.
类型之一 列表法
例1一个学习小组利用同一块木板,测量了小车从不同高度下滑的时间,得到如下数据:
支撑物高度h/cm
10
20
30
40
50
60
70
80
小车下滑时间t/s
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
下列说法错误的是( )
A.当h=50cm时,t=1.89s
B.随着h逐渐升高,t逐渐缩短
C.h每增加10cm,t减小1.23s
D.随着h逐渐升高,小车下滑的速度逐渐加快
类型之二 图象法
例2一个水管以固定的速度向容积为100m3的水池中注水,注水时间t(min)与水池的水量Q(m3)的一些对应数据如下表所示:
t/min
0
2
4
6
8
…
Q/m3
20
24
28
32
36
…
(1)请从表中找出t与Q之间的函数关系,写出函数关系式,并画出函数的图象;
(2)求当t=15时,水池中的水量.
类型之三 解析式法
例3已知函数y=2x+3.
(1)试判断点A(0,3),B(-1,1),C
是否在此函数的图象上;
(2)若点P(m,-3)是此函数图象上的一点,求点P的坐标.
当堂测评
1.弹簧挂上物体后会伸长,已知一根弹簧的长度(单位:
cm)与它所挂物体的质量(单位:
kg)之间的关系如下表,则下列说法错误的是( )
物体的质量/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度/cm
10
12.5
15
17.5
20
22.5
A.在没挂物体时,弹簧的长度为10cm
B.弹簧的长度随物体质量的变化而变化,物体的质量是因变量,弹簧的长度是自变量
C.在弹簧能承受的范围内,如果物体的质量为mkg,那么弹簧的长度可以表示为y=2.5m+10
D.当物体的质量为4kg时,弹簧的长度为20cm
2.声音在空气中传播的速度y(m/s)(简称音速)与气温x(℃)之间的关系如下表所示,从表中可知音速随气温x的升高而.若某校在气温为20℃的一天召开运动会,某人看到发令枪的烟0.2s后,听到了枪声,则根据下表的数据,这个人距发令地点m(不考虑光的传播时间).
气温x/℃
0
5
10
15
20
音速y/(m/s)
331
334
337
340
343
作业
1.下面的表格列出了一个试验的统计数据,这些数据表示球从高处落下时,弹跳高度b(cm)与下降高度d(cm)的关系.下面能表示这种关系的式子是( )
d/cm
50
80
100
150
b/cm
25
40
50
75
A.b=d2B.b=2d
C.b=
D.b=d+25
2.[2019·孝感]一个装有进水管和出水管的空容器,从某时刻开始4min内只进水不出水,容器内存水8L,在随后的8min内既进水又出水,容器内存水12L,接着关闭进水管直到容器内的水放完.若每分钟进水和出水量是两个常数,容器内的水量y(单位:
L)与时间x(单位:
min)之间的函数关系的图象大致是( )
3.[2018·义乌]如图19-1-8,一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成,其中点A(-1,2),B(1,3),C(2,1),D(6,5),则此函数( )
A.当x<1时,y随x的增大而增大
B.当x<1时,y随x的增大而减小
C.当x>1时,y随x的增大而增大
D.当x>1时,y随x的增大而减小
图19-1-8图19-1-9
5.[2018·衢州]星期天,小明上午8:
00从家里出发,骑车到图书馆去借书,再骑车回到家,他离家的距离y(km)与时间t(min)的关系如图19-1-9所示,则上午8:
45小明离家的距离是km.
6.图19-1-10中的折线ABC表示从甲地向乙地打长途电话所需付的电话费y(元)与通话时间t(min)之间的关系的图象.
(1)取t的一个定值,相应的y值确定吗?
y可以看作t的函数吗?
(2)由图象可知,当通话时间为2min时,应付电话费多少元?
当通话时间为5min时,应付电话费多少元?
图19-1-10
正比例函数的概念
知识管理
正比例函数
定义:
一般地,形如的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
注意:
(1)若已知函数y=kx是正比例函数,则隐含了k≠0.
(2)在正比例函数y=kx中,自变量x的指数为.
类型之一 正比例函数的概念
例1下列y关于x的函数中,是正比例函数的是( )
A.y=x2B.y=
C.y=
D.y=
类型之二 判断实际问题中的正比例函数关系
例2下列函数关系中,属于正比例函数关系的是( )
A.圆的面积S与它的半径r
B.面积是常数S时,矩形的长y与宽x
C.路程是常数S时,行驶的速度v与时间t
D.三角形的底边是常数a时,它的面积S与这条边上的高h
类型之三 求正比例函数的解析式
例3 已知函数y=2x2a+b+a+2b是关于x的正比例函数,则a=,b=.
例4已知y+2与x-1成正比例,且当x=3时y=4.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当y=1时,求x的值.
当堂测评
1.下列函数中,正比例函数是( )
A.y=-xB.y=-8x+1
C.y=8x2+1D.y=-
2.若y=x+2-b是关于x的正比例函数,则b的值是( )
A.0B.-2
C.2D.-0.5
3.已知函数y=(k-1)xk2为正比例函数,则k的值为( )
A.k≠±1B.k=±1
C.k=-1D.k=1
4.已知y与x成正比例,且x=2时y=-6,则y=9时x=.
作业
1.[2019·梧州]下列函数中,正比例函数是( )
A.y=-8xB.y=
C.y=8x2D.y=8x-4
2.若正比例函数y=3x的图象经过点(1,m),则m的值为( )
A.
B.3
C.-
D.-3
3.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比,设边长为xcm,当x=3时,y=18,那么当成本为72元时,边长为( )
A.6cmB.12cm
C.24cmD.36cm
4.[2018·迁安期末]若y关于x的函数y=(m-2)x+n是正比例函数,则m,n应满足的条件是( )
A.m≠2且n=0B.m=2且n=0
C.m≠2D.n=0
5.已知y与x-3成正比例,当x=4时,y=3.
(1)求这个函数的解析式;
(2)求当x=3时y的值.
6.(数学建模)点燃蜡烛时,蜡烛按照与时间成正比例的关系变短,长为21cm的蜡烛,点燃6min后,蜡烛变短3.6cm.设蜡烛点燃xmin后变短了ycm,解决以下问题:
(1)求用x表示y的解析式;
(2)求自变量x的取值范围;
(3)此蜡烛点燃几分钟后燃烧完?
正比例函数的图像和性质
知识管理
1.正比例函数y=kx的图象
画图步骤:
(1)列表
x
0
1
y
0
k
(2)描点——描两点(0,0)和(1,k).
(3)连线——过点(0,0),(1,k)画一条直线.
图象特征:
正比例函数的图象是一条经过的直线.
2.正比例函数y=kx的性质
性质:
(1)当k>0时,直线y=kx经过第象限,从左向右上升,即随着x的增大y也;
(2)当k<0时,直线y=kx经过第象限,从左向右下降,即随着x的增大y反而.
注意:
正比例函数的性质由解析式中的决定.
类型之一 画正比例函数的图象
例1已知正比例函数y=kx的图象经过点(3,-6).
(1)求这个函数的解析式;
(2)在如图19-2-2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象;
(3)判断点A(4,-2),B(-1.5,3)是否在这个函数的图象上.
图19-2-2
类型之二 正比例函数的图象和性质的运用
例2已知正比例函数y=(2m+4)x,求:
(1)m为何值时,函数图象经过第一、三象限;
(2)m为何值时,y随x的增大而减小;
(3)m为何值时,点(1,3)在该函数的图象上.
类型之三 求正比例函数的解析式
例3如图19-2-3,已知正比例函数y=kx经过点A,点A在第四象限,过点A作AH⊥x轴,垂足为H,点A的横坐标为3,且△AOH的面积为3.
(1)求该函数的解析式;
(2)在x轴上能否找到一点P,使△AOP的面积为5?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
图19-2-3
当堂测评
1.正比例函数y=2x的大致图象是( )
2.[2018·常州]若一个正比例函数的图象经过点(2,-1),则它的表达式为( )
A.y=-2xB.y=2x
C.y=-
xD.y=
x
3.已知P1(1,y1),P2(2,y2)是正比例函数y=
x图象上的两点,则y1y2(填“>”“<”或“=”).
4.[2019·本溪]函数y=5x的图象经过的象限是.
作业
1.[2018·陕西]如图19-2-4,在矩形AOBC中,A(-2,0),B(0,1).若正比例函数y=kx的图象经过点C,则k的值为( )
A.-
B.
C.-2D.2
图19-2-4
2.[2019·本溪]已知正比例函数y=kx的图象过点(-1,-3),那么函数y=
的图象经过的象限为( )
A.第一、三象限B.第一、二象限
C.第二、四象限D.第三、四象限
3.已知y是x的正比例函数,且函数图象经过点A(-3,6).
(1)求y与x的函数关系式;
(2)当x=-6时,求对应的函数值y;
(3)当x取何值时,y=
?
4.在如图19-2-6所示的平面直角坐标系中,点P是直线y=x上的动点,A(1,0),B(2,0)是x轴上的两点,求PA+PB的最小值.
图19-2-6
一次函数的概念
知识管理
1.一次函数的概念
定义:
一般地,形如的函数,叫做一次函数.
2.一次函数与正比例函数
关系:
y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中,当时,y=kx+b即为y=kx,所以正比例函数是一种的一次函数.
注意:
正比例函数一定是一次函数,而一次函数不一定是正比例函数.
类型之一 一次函数的概念
例1 下列函数中是一次函数的是,同时又是正比例函数的是
(填序号).
①y=
x-6;②y=
;③y=-
;④y=
;⑤y=8x2+x(1-8x);
⑥y=1+2x;⑦y=x2+2x+1;⑧y=x3.
例2已知函数y=(m-10)x+1-2m.
(1)当m为何值时,这个函数是一次函数?
(2)当m为何值时,这个函数是正比例函数?
类型之二 求一次函数的解析式
例3 小华准备将平时的零用钱节约一些储存起来,他已存有62元,从现在起每个月存12元.小华的同学小丽以前没有存过零用钱,听到小华在存零用钱,她表示从现在起每个月存20元,争取超过小华.
(1)试写出小华的存款总数y1与从现在开始的月数x之间的函数关系式以及小丽的存款总数y2与月数x之间的函数关系式;
(2)从第几个月开始小丽的存款总数可以超过小华?
当堂测评
1.有下列函数:
①y=-2x,②y=-3x2+1,③y=
x-2,其中一次函数有( )
A.0个B.1个
C.2个D.3个
2.[2019·柳州]已知A,B两地相距3千米,小黄从A地到B地,平均速度为4千米/时,若用x表示行走的时间(小时),y表示余下的路程(千米),则y关于x的函数解析式是( )
A.y=4x(x≥0)
B.y=4x-3
C.y=3-4x(x≥0)
D.y=3-4x
作业
1.有下列函数:
①y=πx,②y=2x-1,③y=22-3x,④y=x2-1,其中是一次函数的有( )
A.4个B.3个
C.2个D.1个
2.若y-1与x成正比例关系,且当x=2时,y=5,则y与x的函数关系式为( )
A.y-1=x-2B.y=x+1
C.y-1=2(x-2)D.y=2x+1
3.[2018·宿迁]某种型号汽车的油箱容量为40L,每行驶100km耗油10L.设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x(km),行驶过程中油箱内剩余油量为y(L).
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)为了有效延长汽车使用寿命,厂家建议每次加油时,油箱内剩余油量不低于油箱容量的
,按此建议,求该辆汽车最多行驶的路程.
4.若函数y=(k+1)xk2+k+1是一次函数,则k的值为( )
A.1B.1或-1
C.-1D.0
5.(数学建模)甲、乙两个仓库要向A,B两地运送水泥,已知甲仓库可调出100t水泥,乙仓库可调出80t水泥,A地需70t水泥,B地需110t水泥,两仓库到A,B两地的路程和运费如下表(表中运费栏表示每吨水泥运送1km所需的钱数).设甲仓库运往A地水泥xt,求总运费y(元)关于x(t)的函数关系式.
一次函
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- 初二 数学 寒假 补习 一次 函数