数学实验 矩阵和代数方程.docx
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数学实验矩阵和代数方程
.1矩阵和代数方程
.1.1矩阵运算和特征参数
10一矩阵运算
【例4.2-1】已知矩阵
,
,采用三种不同的编程求这两个矩阵的乘积
。
(1)
clear
rand('twister',12)
A=rand(2,4);B=rand(4,3);
%------------------
C1=zeros(size(A,1),size(B,2));
forii=1:
size(A,1)
forjj=1:
size(B,2)
fork=1:
size(A,2)
C1(ii,jj)=C1(ii,jj)+A(ii,k)*B(k,jj);
end
end
end
C1
C1=
0.73370.83960.3689
1.06241.17341.3787
(2)
%------------------
C2=zeros(size(A,1),size(B,2));
forjj=1:
size(B,2)
fork=1:
size(B,1)
C2(:
jj)=C2(:
jj)+A(:
k)*B(k,jj);
end
end
C2
C2=
0.73370.83960.3689
1.06241.17341.3787
(3)
C3=A*B,
C3=
0.73370.83960.3689
1.06241.17341.3787
(3)
C3_C3=norm(C3-C1,'fro')
C3_C2=norm(C3-C2,'fro')
C3_C3=
0
C3_C2=
0
【例4.2-2】观察矩阵的转置操作和数组转置操作的差别。
formatrat
A=magic
(2)+j*pascal
(2)
A=
Column1
1+1i
4+1i
Column2
3+1i
2+2i
%
A1=A'
A2=A.'
A1=
Column1
1-1i
3-1i
Column2
4-1i
2-2i
A2=
Column1
1+1i
3+1i
Column2
4+1i
2+2i
B1=A*A'
B2=A.*A'
C1=A*A.'
C2=A.*A.'
B1=
Column1
12
13+1i
Column2
13-1i
25
B2=
Column1
2
13-1i
Column2
13+1i
8
C1=
Column1
8+8i
7+13i
Column2
7+13i
15+16i
C2=
Column1
0+2i
11+7i
Column2
11+7i
0+8i
10二矩阵的标量特征参数
【例4.2-3】矩阵标量特征参数计算示例。
A=reshape(1:
9,3,3)
r=rank(A)
d3=det(A)
d2=det(A(1:
2,1:
2))
t=trace(A)
A=
Columns1through2
14
25
36
Column3
7
8
9
r=
2
d3=
0
d2=
-3
t=
15
【例4.2-4】矩阵标量特征参数的性质。
formatshort
rand('twister',0)
A=rand(3,3);
B=rand(3,3);
C=rand(3,4);
D=rand(4,3);
tAB=trace(A*B)
tBA=trace(B*A)
tCD=trace(C*D)
tDC=trace(D*C)
tAB=
2.6030
tBA=
2.6030
tCD=
4.1191
tDC=
4.1191
d_A_B=det(A)*det(B)
dAB=det(A*B)
dBA=det(B*A)
d_A_B=
0.0094
dAB=
0.0094
dBA=
0.0094
dCD=det(C*D)
dDC=det(D*C)
dCD=
0.0424
dDC=
-2.6800e-018
.1.2矩阵的变换和特征值分解
【例4.2-5】行阶梯阵简化指令rref计算结果的含义。
(1)
A=magic(4)
[R,ci]=rref(A)
A=
162313
511108
97612
414151
R=
1001
0103
001-3
0000
ci=
123
(2)
r_A=length(ci)
r_A=
3
(3)
aa=A(:
1:
3)*R(1:
3,4)
err=norm(A(:
4)-aa)
aa=
13
8
12
1
err=
0
【例4.2-6】矩阵零空间及其含义。
A=reshape(1:
15,5,3);
X=null(A)
S=A*X
n=size(A,2);
l=size(X,2);
n-l==rank(A)
X=
0.4082
-0.8165
0.4082
S=
1.0e-014*
-0.2665
-0.1776
-0.0888
-0.0888
-0.0888
ans=
1
【例4.2-7】简单实阵的特征值分解。
(1)
A=[1,-3;2,2/3]
[V,D]=eig(A)
A=
1.0000-3.0000
2.00000.6667
V=
0.77460.7746
0.0430-0.6310i0.0430+0.6310i
D=
0.8333+2.4438i0
00.8333-2.4438i
(2)
[VR,DR]=cdf2rdf(V,D)
VR=
0.77460
0.0430-0.6310
DR=
0.83332.4438
-2.44380.8333
(3)
A1=V*D/V
A1_1=real(A1)
A2=VR*DR/VR
err1=norm(A-A1,'fro')
err2=norm(A-A2,'fro')
A1=
1.0000+0.0000i-3.0000
2.0000-0.0000i0.6667
A1_1=
1.0000-3.0000
2.00000.6667
A2=
1.0000-3.0000
2.00000.6667
err1=
7.0290e-016
err2=
4.4409e-016
.1.3线性方程的解
10一线性方程解的一般结论
10二除法运算解方程
【例4.2-8】求方程
的解。
(1)
A=reshape(1:
12,4,3);
b=(13:
16)';
(2)
ra=rank(A)
rab=rank([A,b])
ra=
2
rab=
2
(3)
xs=A\b;
xg=null(A);
c=rand
(1);
ba=A*(xs+c*xg)
norm(ba-b)
Warning:
Rankdeficient,rank=2,tol=1.8757e-014.
ba=
13.0000
14.0000
15.0000
16.0000
ans=
1.0658e-014
10三矩阵逆
【例4.2-9】“逆阵”法和“左除”法解恰定方程的性能对比
(1)
randn('state',0);
A=gallery('randsvd',300,2e13,2);
x=ones(300,1);
b=A*x;
cond(A)
ans=
1.9997e+013
(2)
tic
xi=inv(A)*b;
ti=toc
eri=norm(x-xi)
rei=norm(A*xi-b)/norm(b)
ti=
0.0728
eri=
0.0918
rei=
0.0050
(3)
tic;
xd=A\b;
td=toc
erd=norm(x-xd)
red=norm(A*xd-b)/norm(b)
td=
0.0172
erd=
0.0291
red=
9.7167e-015
.1.4一般代数方程的解
【例4.2-10】求
的零点。
(1)
S=solve('sin(t)^2*exp(-0.1*t)-0.5*abs(t)','t')
S=
0.
(2)
y_C=inline('sin(t).^2.*exp(-0.1*t)-0.5*abs(t)','t');
t=-10:
0.01:
10;
Y=y_C(t);
clf,
plot(t,Y,'r');
holdon
plot(t,zeros(size(t)),'k');
xlabel('t');ylabel('y(t)')
holdoff
图4.2-1函数零点分布观察图
zoomon
[tt,yy]=ginput(5);zoomoff
图4.2-2局部放大和利用鼠标取值图
tt
tt=
-2.0039
-0.5184
-0.0042
0.6052
1.6717
[t4,y4]=fzero(y_C,0.1)
t4=
0.5993
y4=
1.1102e-016
- 配套讲稿:
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