旋转综合题及答案.docx
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旋转综合题及答案.docx
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旋转综合题及答案
旋转综合题
一•解答题(共14小题)
1•阅读与理解:
图1是边长分别为a和b(a>b)的两个等边三角形纸片ABC和C'D叠放在一起(C与C'重合)的图形.
操作与证明:
(1)操作:
固定△ABC,将厶C'D绕点C按顺时针方向旋转30°连接AD,BE,如图2;在图2中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系?
证明你的结论;
(2)操作:
若将图1中的△CD,绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度a连接AD,BE,如图3;在图3中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系?
证明你的结论;猜想与发现:
根据上面的操作过程,请你猜想当a为多少度时,线段AD的长度最大是多少?
当a为多少度时,线段AD的长度最小是多少?
2•如图1、2是两个相似比为1:
:
的等腰直角三角形,将两个三角形如图3放置,小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.
(1)在图3中,绕点D旋转小直角三角形,使两直角边分别与AC、BC交于点E,F,如图4.求证:
A^+BF^eF;
(2)若在图3中,绕点C旋转小直角三角形,使它的斜边和CD延长线分别与
AB交于点E、F,如图5,此时结论AE;+BFl=eF是否仍然成立?
若成立,请给出
(3)如图6,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半,AE、AF分别与对角线BD交于M、N,试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长?
若能,指出三角形的形状,并给出证明;若不能,请说明理由.
3•某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含60。
角的直
角三角板ABC与AFE按如图
(1)所示位置放置放置,现将RtAAEF绕A点按逆时针方向旋转角a(0°VaV90°,如图
(2),AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交于点P.
(1)求证:
AM=AN;
(2)当旋转角a=30时,四边形ABPF是什么样的特殊四边形?
并说明理由.
4.如图1,在厶ABC中,/A=36°,AB=AC/ABC的平分线BE交AC于E.
(1)求证:
AE=BC
(2)如图
(2),过点E作EF//BC交AB于卩,将厶AEF绕点A逆时针旋转角a
(O°vav144°得到△AE,连结CE,BF,求证:
CE=B;
CE/AB?
若存在,求出相应的旋转角a;
(3)在
(2)的旋转过程中是否存在
5.在RtAABC中,/C=90°,AC=1,BC==,点O为RtAABC内一点,连接AO、
BOCO,且/AOC=ZCOB=BOA=12°按下列要求画图(保留画图痕迹):
以点B为旋转中心,将厶AOB绕点B顺时针方向旋转60°得到△AO'(得到A、
O的对应点分别为点A(O'),并回答下列问题:
/ABC=,/AB,OA+OB+OC
6.在△ABC中,BA=BC/BAC=aM是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2a得到线段PQ.
(1)若a=60且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出/CDB的度数;
(2)在图2中,点P不与点B,M重合,线段CQ的延长线于射线BM交于点D,猜想/CDB的大小(用含a的代数式表示),并加以证明;
(3)对于适当大小的a当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B,M重合)时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=QD,请直接写出a的范围.
7•已知,在△ABC中,AB=AC过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角9,直线a交BC边于点P(点P不与点B、点C重合),△BMN的边MN始终在直线a上(点M在点N的上方),且BM=BN,连接CN.
(1)当/BACKMBN=9°时,
1如图a,当9=45寸,/ANC的度数为;
2如图b,当片45°寸,①中的结论是否发生变化?
说明理由;
(2)如图C,当/BACKMBNm90°时,请直接写出/ANC与/BAC之间的数量关系,不必证明.
8.如图,四边形ABCD是边长为3「的正方形,长方形AEFG的宽AE=,,长EF==匕.将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH(如图),这时
二
BD与MN相交于点O.
(1)求/DOM的度数;
(2)在图中,求D、N两点间的距离;
(3)若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ请问此时点
B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上?
并说明理由.
圍1
9•某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:
如图1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,/BAC=90,小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角a,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E.
(1)小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现:
若AD平分/BAM,则AE也平分/MAC.请你证明小敏发现的结论;
(2)当0°Va<45°时,小敏在旋转中还发现线段BD、CEDE之间存在如下等量关系:
bX+cE^dW.
同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决;
小颖的想法:
将厶ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,连接EF(如图2)小亮的想法:
将厶ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG连接EG(如图3);请你从中任选一种方法进行证明;
(3)小敏继续旋转三角板,在探究中得出当45°VaV135°且a90°时,等量关系bD2+C^=DE2仍然成立,先请你继续研究:
当135°VaV180°时(如图4)等量关系bD'+cEmdW是否仍然成立?
若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
图3
圏1
图斗
10•如图,将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角a(o°vav45°,得到正方形OAiBQ.设边BiCi与OC的延长线交于点M,边B〔Ai与OB交于点N,边BiAi与OA的延长线交于点E,连接MN.
(1)求证:
△OCMOAE;
(2)试说明:
△OMN的边MN上的高为定值;
(3)AMNBi的周长p是否发生变化?
若发生变化,试说明理由;若不发生变化,
11.在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF丄AB交BD于点F,取FD的中点G,连接EGCQ如图
(1),易证EG=CG且EG丄CG.
(1)将厶BEF绕点B逆时针旋转90°如图
(2),则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?
请直接写出你的猜想.
(2)将ABEF绕点B逆时针旋转180°,如图(3),则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?
请写出你的猜想,并加以证明.
12.己知:
正方形ABCD
(1)如图1,点E、点F分别在边AB和AD上,且AE=AF此时,线段BEDF的数量关系和位置关系分别是什么?
请直接写出结论.
(2)如图2,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转/a,当0°VaV90
时,连接BE、DF,此时
(1)中的结论是否成立,如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
(3)如图3,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转/a,当a=90°时,连接BE、DF,猜想沟AE与AD满足什么数量关系时,直线DF垂直平分BE•请直接写出结论.
(4)如图4,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转/a,当90°VaV180°时,连接BDDEEF、FB得到四边形BDEF则顺次连接四边形BDEF各边中点
所组成的四边形是什么特殊四边形?
请直接写出结论.
13.如图,点O是等边△ABC内一点,/AOB=3,ZBOCa.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得厶ADC,连接OD.
(1)当B=10°a=150寸,试判断厶AOD的形状,并说明理由.
(2)探究:
若B=110;那么a为多少度,△AOD是等腰三角形?
(只要写出探究结果)a.
(3)请写出△AOD是等边三角形时aB的度数.a=度;B度.
14•已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:
EG=CG
(2)将图①中厶BEF绕B点逆时针旋转45°如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)将图①中厶BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,
问
(1)中的结论是否仍然成立?
通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).
旋转综合题参考答案与试题解析
一•解答题(共14小题)
1.(2017?
连云港四模)阅读与理解:
图1是边长分别为a和b(a>b)的两个等边三角形纸片ABC和C'D叠放在一起(C与C'重合)的图形.
操作与证明:
(1)操作:
固定△ABC,将厶C'D绕点C按顺时针方向旋转30°连接AD,BE,如图2;在图2中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系?
证明你的结论;
(2)操作:
若将图1中的△CD,绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度a连接AD,BE,如图3;在图3中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系?
证明你的结论;猜想与发现:
根据上面的操作过程,请你猜想当a为多少度时,线段AD的长度最大是多少?
当a为多少度时,线段AD的长度最小是多少?
【解答】解:
操作与证明:
(1)BE=AD
•••△CD绕点C按顺时针方向旋转30°
•••/BCEWACD=30®,
•••△ABC与△CDE是等边三角形,
•••CA=CBCE=CD
•••△BCE^AACD,
•••BE=AD
(2)BE=AD
•••△CD绕点C按顺时针方向旋转的角度为a,
•••/BCEWACDa,
•••△ABC与△CD是等边三角形,
•••CA=CBCE=CD
•••△BCE^AACD,
•••BE=AD
猜想与发现:
当a为180°时,线段AD的长度最大,等于a+b;当a为0°(或360°时,线段AD的长度最小,等于a-b.
2.(2014?
长沙校级自主招生)如图1、2是两个相似比为1:
匚的等腰直角三角形,将两个三角形如图3放置,小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.
(1)在图3中,绕点D旋转小直角三角形,使两直角边分别与AC、BC交于点E,F,如图4.求证:
A^+BF^eF;
(2)若在图3中,绕点C旋转小直角三角形,使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F,如图5,此时结论A呂+bF^=eF是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)如图6,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半,AE、AF分别与对角线BD交于M、N,试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长?
若能,指出三角形的形状,并给出证明;若不能,请说明理由.
【解答】证明:
(1)连CD,如图4,
•••两个等腰直角三角形的相似比为1:
_,
而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边,
•••点D为AB的中点,
•••CD=AD/4=ZA=45,
又•••/1+Z2=Z2+Z3=90°,
•/3=71,
•△CDF^AADE,
•CF=AE
同理可得厶CED^ABFD,
•CE=BF
而cE+cF^eF,
•ae?
+bf2=ef^;
(2)结论A^+bF^eF仍然成立.理由如下:
把厶CFB绕点C顺时针旋转90°,得到△CGA如图5
•CF=CGAG=BF74=71,7B=7GAC=45,
•7GAE=90,
而73=45°°
•••/2+Z4=90°-45°45°,
•••/1+Z2=45°,
•••△CGE^ACFE
•••GE=EF
在RtAAGE中,AE2+AG2=GE2,
•••ae2+bF^=eF;
(3)线段BM、MN、DN能构成直角三角形的三边长•理由如下:
把厶ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABP,点N的对应点为Q,如图
PBEC
•/4=Z2,Z1+Z3+Z4=90°,BP=DFBQ=DN,AF=AP
•••△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半,
•EF=BEDF,
•EF=EP
•△AEF^AAEP,
•Z1=Z3+Z4,
而AQ=AN,
•△AMQ^AAMN,
•MN=QM,
而ZADN=ZQBA=45,ZABD=45,
•ZQBN=90,
•b&+bm2=qm2,
•bm2+dn2=mn2.
3.(2013?
娄底)某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图
(1)所示位置放置放置,现将RtAAEF
绕A点按逆时针方向旋转角a(O°VaV90°,如图
(2),AE与BC交于点M,
AC与EF交于点N,BC与EF交于点P.
(1)求证:
AM=AN;
(2)当旋转角a=30时,四边形ABPF是什么样的特殊四边形?
并说明理由.
【解答】
(1)证明:
•••用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图
(1)所示位置放置放置,现将RtAAEF绕A点按逆时针方向旋转角a(0VaV90°,
•••AB=AF/BAM=ZFAN,在厶ABM和厶AFN中,
'Zfan=Zbm
•AB二AF,
lzb=zf
•••△ABM^AAFN(ASA,
•••AM=AN;
(2)解:
当旋转角a=30寸,四边形ABPF是菱形.
理由:
连接AP,
vZa=30;
•••/FAN=30°
•••ZFAB=120,vZB=60°,
•ZB+ZFAB=180,
•AF//BP,
•ZF=ZFPC=60,
:
丄FPC玄B=60°,
•••AB//FP,
•••四边形ABPF是平行四边形,
•••AB=AF
•••平行四边形ABPF是菱形.
4.(2013?
益阳)如图1,在厶ABC中,/A=36°,AB二AC/ABC的平分线BE交
AC于E.
(1)求证:
AE=BC
(2)如图
(2),过点E作EF/BC交AB于F,将厶AEF绕点A逆时针旋转角a
(0°VaV144°得到△AEF'连结CE,BF',求证:
CE=B;
(3)在
(2)的旋转过程中是否存在CE/AB?
若存在,求出相应的旋转角a;
若不存在,请说明理由.
【解答】
(1)证明:
:
AB=BC/A=36°,
•••/ABC2C=72,
又•••BE平分/ABC,
:
丄ABENCBE=36,
•••/BEC=180-ZC-ZCBE=72,
•••/ABE=ZA,ZBEC=ZC,
•••AE=BEBE=BC
•••AE=BC
(2)证明:
:
AC=AB且EF//BC,•••AE=AF
由旋转的性质可知:
ZEAC=F'ABAE=AF
•••在△CAEffi^BAF中
fAC=AB
ZEXAC=ZFZAB,屈二AT
•••△CAE^ABAF,
•••CE二BF
(3)存在CE//AB,
E点经过
理由:
由
(1)可知AE=BC所以,在△AEF绕点A逆时针旋转过程中,的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线I交于M、N两点,如图:
①当点E的像E与点M重合时,则四边形ABCM为等腰梯形,
•••ZBAM=ZABC=72,又ZBAC=36,
•••a=CAM=3°.
②当点E的像E与点N重合时,
由AB//I得,ZAMN=ZBAM=72,
•••AM=AN,
•ZANM=ZAMN=7°,
•ZMAN=18°-2X72O=36°,
•a=CAN=ZCAM+ZMAN=7°.
所以,当旋转角为36°或72°寸,CE//AB.
5.
CO,且/AOCNCOB二BOA=120按下列要求画图(保留画
(2013?
常州)在RtAABC中,ZC=90°,AC=1,BC二二,点O为RtAABC内一点,连接AO、BO、图痕迹):
将厶AOB绕点B顺时针方向旋转60°得到△AO'(得到A、
OA+OB+OCj二_•
60°,
60°得到△AO',B
【解答】解:
vZC=90,AC=1,
•••tanZABC,=-=-,
BCV33'
•••ZABC=30,
•••△AOB绕点B顺时针方向旋转
/ABC^ABG60°=30°+60°=90°,
vZC=90,AC=1,/ABC=30,•••AB=2AC=2
•••△AOB绕点B顺时针方向旋转
•••AB=AB=2BO=BO,AO=,O
•••△BOO是等边三角形,
•••BO=OO,ZBOONBO0=60
vZAOC=/COB=/BOA=120,
•••/COBVBOO二ZBOAZBOO=120°O°=18O°,
•••CO、A'、O'四点共线,
在RtAAB中,A--:
:
L=二
•OA+OB+OC=AO+OO'+OC=AC=—.
故答案为:
30°90°斤
6.(2012?
北京)在厶ABC中,BA=BCZBAC=a,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2a得到线段PQ.
(1)若a=60°点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出ZCDB的度数;
(2)在图2中,点P不与点B,M重合,线段CQ的延长线于射线BM交于点D,猜想ZCDB的大小(用含a的代数式表示),并加以证明;
(3)对于适当大小的a,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B,M重合)时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=QD,请直接写出a的范围.
o
【解答】解:
(1)vBA=BC/BAC=60,M是AC的中点,•••BM丄AC,AM=MC,
•••将线段PA绕点P顺时针旋转2a得到线段PQ,
•••AM=MQ,ZAMQ=12°,•••CM=MQ,ZCMQ=60,•••△CMQ是等边三角形,•••/ACQ=60,
•••/CDB=30;
(2)如图2,连接PC,AD,
•••AB=BCM是AC的中点,
•••BM丄AC,
即BD为AC的垂直平分线,
•••AD=CDAP=PCPD=PD
在^APD与厶CPD中,
fAD=CD
PD二PD,
iPA二PC
•••△APD^ACPD(SSS,
•••/ADB=ZCDB/PAD=ZPCD,
又•••PQ=PA
•••PQ=PC/ADC=2/1,/4=ZPCQ=/PAD
•••/PADfZPQD=Z4+ZPQD=180,
•••/APC+ZADC=360-(ZPAC+ZPQD)=180°,
•••/ADC=180-ZAPQ=180-2a,
•••2ZCDB=180-2a,
•••/CDB=90—
a;
(3)如图1,延长BM,CQ交于点D,连接AD,
vZCDB=90-a,且PQ=QD
•••/PAD=/PCQ=/PQC=2/CDB=180-2a,
v点P不与点B,M重合,
•••ZBAD>ZPAD>ZMAD,
v点P在线段BM上运动,ZPAD最大为2a,ZPAD最小等于a,
•2a>180°-2a>a,
•45°VaV60°.
圉1
7.(2012?
本溪)已知,在厶ABC中,AB=AC过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角9,直线a交BC边于点P(点P不与点B、点C重合),△BMN的边MN始终在直线a上(点M在点N的上方),且BM=BN,连接CN.
(1)当ZBACKMBN=90时,
1如图a,当
2如图b,当
9=45°,ZANC的度数为45°:
片45°时,①中的结论是否发生变化?
说明理由;
(2)如图c,当ZBACKMBNm90°时,请直接写出ZANC与ZBAC之间的数量关系,不必证明.
CB
【解答】解:
(1)①I/BAC=90,9=45;
•••APIBC,BP=CP(等腰三角形三线合一),
•••AP=BP(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)又•••/MBN=90,BM=BN,
•••AP=PN(等腰三角形三线合一),
AP=PN=BP=P,C且AN丄BC,
•••四边形ABNC是正方形,
ANC=45;
②连接CN,当片45°时,①中的结论不发生变化.
理由如下:
BAC/MBN=90,AB=ACBM=BN,
ABC=/ACB=/BNP=45,
又•••/BPN=ZAPC,
•••△BNF^AACF,
.聖型
又•••/APBNCPN,
•••△ABF^ACNP,
•••/ANCNABC=45;
(2)ZANC=90-1/BAC.
2
理由如下:
I/BAC=/MBNm90°AB=ACBM=BN,•••/ABC=/ACB=/BNP」(180°-/BAC),
2
又•••/BPN=/APC,
•••△BNP^AACP
•厂J®
又•••/APB=/CPN,
•••△ABP^ACNP,
•••/ANC=/ABC,
在厶ABC中,/ABC丄(180°-/BAC)=90°-丄/BAC
22
8.(2012?
怀化)如图,四边形ABCD是边长为3「的正方形,长方形AEFG的宽AE=,长EF=二.将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15得到长方形AMNH(女口图),这时BD与MN相交于点O.
(1)求/DOM的度数;
(2)在图中,求D、N两点间的距离;
(3)若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ请问此时点
图1
外部、还是边上?
并说明理由.
【解答】解:
(1)根据题意得:
/BAM=15,
•••四边形AMNH是矩形,
•••/M=90,
•••/AKM=90-ZBAM=75,
•••/BKO=/AKM=75,
•••四边形ABCD是正方形,
•••Z
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