C语言用六种方法求定积分.docx

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C语言用六种方法求定积分

C语言用六种方法求定积分

C语言实验报告

求定积分

班级10信息与计算科学一班

姓名戴良伟

学号2010750221

1.描述问题

利用?

左矩形公式，?

中矩形公式，?

右矩形公式，?

梯形公式，?

simpson公式，?

Gauss积分公式求解定积分。

2.分析问题

2.1定积分

21.1定积分的定义

定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积。

即fxab,，，,,

所包围的面积。

这个图形称为曲边梯形，特例是曲yxaxbyfx,,,,0,,,，，

边梯形。

如下图:

（图1）

设一元函数,在区间内有定义。

将区间分成个小区nyfx,ab,ab,，，,,,,

,,xxx,x间。

设，取区间中曲线上任意一axxxxxxb,,,,,......,,,,,,,,,iii,1i00112i

点记做，作和式:

f,，，i

n,,limfixi,,，，,,,,，,n1,i,,

若记λ为这些小区间中的最长者。

当时，若此和式的极限存在，,,0

则称这个和式是函数在区间上的定积分。

fxab,，，,,

b记作:

fxdx，，,a

其中称为积分下限，为积分上限，为被积函数，为被afxfxdxb，，，，积式，?

为积分号。

之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

[1]21.2定积分的几何意义

它是介于x轴、函数f（x）的图形及两条直线x=a，x=b之间的各个部分面积的代数和。

在x轴上方的面积取正号;在x轴下方的面积取负号。

如图

2.2言实现定积分计算的算法

22.1利用复合梯形公式实现定积分的计算

假设被积函数为，积分区间为，把区间等分成个小区间，nfxab,ab,，，,,,,各个区间的长度为，即，称之为“步长”。

根据定积分的定义及几hban,,/h，，

何意义，定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积。

将积分fxab,，，,,

区间等分，各子区间的面积近似等于梯形的面积，面积的计算运用梯形公n

式求解，再累加各区间的面积，所得的和近似等于被积函数的积分值，越n

大，所得结果越精确。

以上就是利用复合梯形公式实现定积分的计算的算法思

想。

复合梯形公式:

n,1h,,[2]2Tfafxfb,，，，，，，，，,ni,,2,,i,1

具体算法如下:

算法一1:

输入积分区间的端点值和;ab

2:

输入区间的等分个数（要求尽可能大，以保证程序运行结果有较高nn

的精确度）;

3:

计算步长;hban,,/，，

4:

对累加和赋初值;Tff,,/2，，ab

5:

计算累加和

n,1

Tfx,，，,ii,1

TTh,，6:

算出积分值;n

T7:

输出积分近似值，完毕。

n

1.2.2利用Smpson公式实现定积分的计算

假设被积函数为，积分区间为，把区间等分成n个小区间，fxab,ab,，，,,,,各个区间的长度为。

在复合梯形公式的基础上，构造出一种加速计算积分的方h

法。

作为一种外推算法，它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。

具体算法如下:

算法二1:

输入积分上限和下限a;b

2:

输入区间的等分个数n（要求n尽可能大，以保证程序运行结果有较高

的精确度）;

[2]SnTnTn,，,42/33:

利用辛甫生公式:

，实现对定积分的求解（其中,,,,,,，，

，均为梯形公式计算所得的结果，由此可见辛甫生公式是以梯形公式Tn2Tn,,,,

为基础的）;

S;4:

算出积分值n

S5:

输出积分近似值，完毕。

n

1.2.3利用Guass公式实现定积分计算

Guass型求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。

他是通过让节点和

积分系数待定让函数f（x）以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成

立来求出积分节点和积分系数。

高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。

通

+1的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换x=（b-a）t/2常运用的是-1---

+（a+b）/2变换到-1到1之间积分。

算法三

1:

输入积分上限和下限;ab

2:

利用Guass公式，求定积分

S4:

算出积分值;n

S5:

输出积分近似值，完毕。

n

3.程序的编写

3.1程序一（左矩形公式）

3.1.1源程序

#include#includevoidmain（）

{doublef（doublex）;/*f（x）为函数举例，即被积函数*/inti,n;

/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/doublea,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/printf（"积分下限a:

\n"）;scanf（"%lf",&a）;printf（"积分上限b:

\n"）;scanf（"%lf",&b）;printf（"区间等分个数n:

\n"）;scanf（"%d",&n）;h=（b-a）/n;/*步长的计算*/

s=f（a）*h;

for（i=1;i

{s=s+f（a+i*h）*h;}

f（x）的积分值为s=%10.6f\n",s）;printf（"函数

}

/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/doublef（doublex）{doubley;

y=sqrt（4-x*x）;return（y）;}

3.1.2程序一的编译运行

被积函数为f（x）=sqrt4-（x*x）的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下:

输入0+回车

输入2+回车

输入1000+回车

3.2程序二（中矩形公式）

3.2.1源程序

#include#includevoidmain（）

{doublef（doublex）;/*f（x）为函数举例，即被积函数*/

inti,n;

/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/doublea,b,h,s;

/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/printf（"积分下限a:

\n"）;

scanf（"%lf",&a）;printf（"积分上限b:

\n"）;

scanf（"%lf",&b）;printf（"区间等分个数n:

\n"）;scanf（"%d",&n）;

h=（b-a）/n;/*步长的计算*/

s=0.5*（f（a）+f（a+h））*h;for（i=1;i

}

printf（"函数f（x）的积分值为s=%10.6f\n",s）;

}

/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/doublef（doublex）{doubley;

y=sqrt（4-x*x）;

return（y）;}

3.2.2程序二的编译运行

被积函数为f（x）=sqrt4-（x*x）的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下:

输入0+回车

输入2+回车

输入1000+回车

3.3程序三（右矩形公式）

3.3.1源程序

#include#includevoidmain（）

{doublef（doublex）;/*f（x）为函数举例，即被积函数*/inti,n;

/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/doublea,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/printf（"积分下限a:

\n"）;scanf（"%lf",&a）;printf（"积分上限b:

\n"）;scanf（"%lf",&b）;printf（"区间等分个数n:

\n"）;scanf（"%d",&n）;h=（b-a）/n;/*步长的计算*/

s=f（a+h）*h;

for（i=1;i

printf（"函数f（x）的积分值为s=%10.6f\n",s）;

}

/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/doublef（doublex）{doubley;

y=sqrt（4-x*x）;

return（y）;}

3.3.2程序三的编译运行

被积函数为f（x）=sqrt4-（x*x）的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下:

输入0+回车

输入2+回车

输入1000+回车

3.4程序四（梯形公式）

3.4.1源程序

#include#include

voidmain（）

{doublef（doublex）;/*f（x）为函数举例，即被积函数*/

inti,n;

/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/doublea,b,h,s;

/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/printf（"积分下限a:

\n"）;

scanf（"%lf",&a）;printf（"积分上限b:

\n"）;

scanf（"%lf",&b）;printf（"区间等分个数n:

\n"）;scanf（"%d",&n）;

h=（b-a）/n;/*步长的计算*/

s=0.5*（f（a）+f（a+h））*h;for（i=1;i

}

printf（"函数f（x）的积分值为s=%10.6f\n",s）;

}

/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/doublef（doublex）{doubley;

y=sqrt（4-x*x）;

return（y）;}

3.4.2程序四的编译运行

被积函数为f（x）=sqrt4-（x*x）的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下:

输入0+回车

输入2+回车

输入1000+回车

3.5程序五（Simpson公式）

3.5.1源程序

#include

#include

voidmain（）

{doubleT（doublex,doubley,intz）;

doublea,b,s;

intn;

printf（"积分下限a:

\n"）;

scanf（"%lf",&a）;

printf（"积分上限b:

\n"）;

scanf（"%lf",&b）;

printf（"区间等分个数n:

\n"）;scanf（"%d",&n）;

s=（4*T（a,b,2*n）-T（a,b,n））/3;

/*利用辛甫生公式求解定积分*/

printf（"函数f（x）的积分值为s=%f\n",s）;}

/*以下为复合梯形公式的定义*/

doubleT（doublex,doubley,intz）

{doubleh,Tn;

inti;

doublef（doublet）;

h=（y-x）/z;

Tn=（f（x）+f（y））/2;for（i=1;i

return（Tn）;

}

/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/doublef（doublet）{doubles;

s=sqrt（4-t*t）;return（s）;}

3.5.2程序四的编译运行

被积函数为f（x）=sqrt4-（x*x）的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下:

输入0+回车

输入2+回车

输入1000+回车

3.6程序六（Guass公式）

3.6.1源程序

#include

#include

#defineN3

floatgass_integral（float（*）（float）,float,float,int）;voidmain（）

{

floatfunction_name（float）;

floata,b;

printf（"请输入积分上限b\n"）;

scanf（"%f",&b）;

printf（"请输入积分下限a\n"）;

scanf（"%f",&a）;

floatans;

ans=gass_integral（function_name,a,b,N）;

printf（"ans=%f",ans）;

}

//高斯求积:

代数精度为2n-1.-1---+1之间

floatgass_integral（float（*func）（floatx）,floata,floatb,intn）{

//高斯点及其求积系数列表

-----------------------------------------------------------------------------------

--------

floatx1[1]={0.0};floatA1[1]={2};

floatx2[2]={-0.5573503,0.5573503};floatA2[2]={1,1};

floatx3[3]={-0.7745967,0.0,0.7745967};floatA3[3]={0.555556,0.888889,0.555556};

floatx4[4]={0.3399810,-0.3399810,0.8611363,-0.8611363};

floatA4[4]={0.6521452,0.6521452,0.3478548,0.3478548};floatx5[5]={0.0,0.5384693,-0.5384693,0.9061799,-0.9061799};

float

A5[5]={0.5688889,0.4786287,0.4786287,0.2369269,0.2369269};

//---------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------float*p,*t;

switch（n）

{case1:

p=x1;t=A1;break;

case2:

p=x2;t=A2;break;

case3:

p=x3;t=A3;break;

case4:

p=x4;t=A4;break;

case5:

p=x5;t=A5;break;

default:

printf（"intputwrong!

"）;}

floatg=0;

for（inti=0;i

{g+=（*func）（（b-a）*p[i]/2+（a+b）/2）*t[i];}g*=（b-a）/2;

returng;

}

floatfunction_name（floatx）

{return（sqrt（4-x*x））;

}

3.6.2程序四的编译运行

被积函数为f（x）=sqrt4-（x*x）的情况

先编译，再运行，屏幕显示及操作如下:

输入2+回车

输入0+回车

4误差分析

手工计算结果为:

3.156173.，左矩形公式误差:

0.39%，中矩形公式误差:

0.46%，右矩形公式误差:

0.52%，梯形公式误差:

0.46%，辛普森公式和高斯公式误差几乎等于0，六个程序运行结果对比，在计算相同的函数f（x）=sqrt（4-x*x）的定积分，Simpson公式和Guass公式比矩形和梯形公式更可行，更有效。